精品解析：江苏省南通市海门区2026届高三第一次调研测试数学试卷

江苏省南通市海门区2026届高三第一次调研测试数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合满足，则（   ） A. B. C. D. 2. 若，则（   ） A. B. C. D. 3. 下列函数与函数的图象相同的是（   ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，设甲：，乙：不是减函数，则（   ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5. 已知，则的最小值为（   ） A. 4 B. 5 C. D. 6. 若是正方体的面上的一个动点，则下列结论不可能成立的是（   ） A. B. C. D. 7. 在平面四边形ABCD中，已知，则的外接圆的直径长度为（   ） A. 4 B. 5 C. D. 8. 已知，其中e为自然对数的底数，则（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m、n是两条不同直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的有（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 记的内角的对边分别为，若的面积为，，则（   ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（   ） A. B. 是的极值点 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若两个平行平面之间的距离为6，一条直线与这两个平面分别交于A，B两点，线段AB与其中一个平面所成角为，则AB的长度为____________. 13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______. 14. 若对于，总，使得，则实数的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求； （2）若在上是增函数，求的取值范围. 16. 已知偶函数与奇函数的定义域均为. （1）求函数的解析式； （2）若在上有2个不同的零点，求实数的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，平面，. （1）求证：平面； （2）设为棱PD上一点，若平面ABC与平面EAC的夹角的正弦值为，求. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求. （2）若在AB上，CD平分. （i）若，求BD； （ii）若在AC上，BE平分，且，求. 19. （1）若函数在处取得极值，求实数的值； （2）已知，求证：对于任意； （3）若是关于的方程的两个不等实根，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市海门区2026届高三第一次调研测试数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合满足，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合补集的定义可得. 【详解】因为全集，集合满足，所以. 故选：C. 2. 若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：因为，所以，所以，即.所以选项A错误； 选项B：因为，所以，所以，即.所以选项B正确； 选项C：因为，所以，即.所以选项C错误； 选项D：因为，所以.所以选项D错误； 故选：B. 3. 下列函数与函数的图象相同的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的周期性可得. 【详解】因为函数的最小正周期是.所以函数的图象与函数的相同. 故选：A. 4. 已知函数的定义域为，设甲：，乙：不是减函数，则（   ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据减函数定义判断充分性，举特例可判断必要性. 【详解】充分性：如果，那么不是减函数，因为减函数要求增大时减小， 所以甲能推出乙，即甲是乙的充分条件； 必要性：不是减函数，它可能是增函数、常函数、或非单调函数， 如果，则，不满足， 所以乙不能推出甲，即甲不是乙的必要条件； 综上，甲是乙的充分条件但不是必要条件， 故选：A. 5. 已知，则的最小值为（   ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1的妙用”即可求解，注意取等条件. 【详解】因为， 所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 6. 若是正方体的面上的一个动点，则下列结论不可能成立的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中根据线面位置关系判断线线平行和线线垂直. 【详解】是正方体的面上的一个动点， 对于A，在正方体中当点与重合时，为平行四边形，则，A成立； 对于B，在正方体中若，那么共面， 因为是面上的一个动点，则不能在同一平面，B不成立； 对于C，在正方体中当点与重合时，平面， 因为平面，所以，C成立； 对于D，在正方体中当点与重合时，平面， 因为平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以，D成立； 故选：B. 7. 在平面四边形ABCD中，已知，则的外接圆的直径长度为（   ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在和中，分别利用余弦定理得，结合已知及列方程求出，利用同角三角函数基本关系求得，最后在中利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 得， 在中，， 在中， ， 所以，所以，所以． ，所以， 在中，利用正弦定理得，的外接圆的直径长度为． 故选：D 8. 已知，其中e为自然对数的底数，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意构造函数，利用导数求出函数单调性，再由单调性比较大小即可. 【详解】由题意， 由可得，由可得，由可得， 令，则有，，， 又，当时，， 所以在上单调递增，所以，， 因为， 所以，所以， 由在上单调递增知，. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m、n是两条不同直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的有（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面、面面的位置关系，性质定理和判定定理逐项判断各项的正误即可. 【详解】选项A：若，由线面垂直的性质可知，故A选项正确；     选项B：若，则不一定正确，因为与可能相交，故选项B不正确； 选项C：若，由线面垂直的性质和面面平行的定义或判定定理可知，故C选项正确； 选项D：若，则不一定正确，因为m与n可能相交，也可能m与n异面，选项D不正确； 故选：AC 10. 记的内角的对边分别为，若的面积为，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据余弦定理推论和三角形面积公式化简得到和，联立方程组解得边长的值，根据边角关系，勾股定理，正弦定理计算验证各个选项. 【详解】因为，所以，化简得，可知， 因为，所以， 因为的面积为，所以，化简得， 联立方程组，解得或 对于A，因为，所以，A错误； 对于B，由上分析可知，B正确； 对于C，由上分析可知，C正确； 对于D，因为正弦定理，所以， 则 当，，时，， 当，，时，，D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，则（   ） A. B. 是的极值点 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接求的值可判断选项A，利用导数分析函数的单调性，可判断选项B,C；分析函数的对称性并结合单调性可判断选项D. 【详解】选项A：由题可知：，所以选项A正确； 选项B：由得函数的定义域为， 在上恒成立，所以函数单调递增，没有极值点，所以选项B错误； 选项C：当时，因为，所以，由选项B知，函数单调递增，所以，所以选项C正确； 选项D：因为函数， 所以， 所以，所以. 当时，，即，由选项B知函数单调递增，所以，所以所以选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若两个平行平面之间的距离为6，一条直线与这两个平面分别交于A，B两点，线段AB与其中一个平面所成角为，则AB的长度为____________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面夹角及面面距离的意义求解. 【详解】如图平面，，过作于，连接， 依题意，，所以， 所以AB的长度为12. 故答案为：12 13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设两曲线上的切点，从而得到两曲线的切线，由共切线建立关于的方程组，求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 与曲线的切点为， 而的导函数为，的导函数为， 所以两曲线的切线分别为， 两条切线对应相同，且切线为， 可得，解得， 所以. 故答案为： 14. 若对于，总，使得，则实数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数性质解不等式，由题意，列不等式求解即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的解集为， 对于，总，使得， 所以，，， 所以， 所以，即实数的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求； （2）若在上是增函数，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式得到，平方后可得，根据同角三角函数关系式可得，代入可得结果； （2）分析据函数的单调增区间，可得结果. 【小问1详解】 因为函数，且， 所以，所以. 所以， 所以. 【小问2详解】 . 当时，， 若在上是增函数，则，所以. 所以的取值范围是. 16. 已知偶函数与奇函数的定义域均为. （1）求函数的解析式； （2）若在上有2个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数和偶函数的性质可得关于与的方程组，解这个函数方程组可得与的解析式. （2）令，则在区间存在2个不同的零点可转换为一元二次方程根的分布问题，进而可求解. 【小问1详解】 因为，故， 而是偶函数，是奇函数，故， 由，可得. 【小问2详解】 由（1）可知： ， 所以， 令， 因为，由单调性可知， 故在上有2个不同的零点， 即在有2个不同的零点， 则， 解得：， 所以实数的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，平面，. （1）求证：平面； （2）设为棱PD上一点，若平面ABC与平面EAC的夹角的正弦值为，求. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以. 因为，所以. 因为所以. 因为，所以. 所以，所以. 因为平面，，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证； （2）分析垂直关系，建立恰当的空间直角坐标系，根据平面与平面夹角的向量求法可解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以. 因为，所以.所以三线两两垂直. 如图所示，分别所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则所以. 设，则，. 设平面EAC的法向量为，则， 所以，令则. 由题易知是平面的一个法向量， 所以，解得. 所以，即. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求. （2）若在AB上，CD平分. （i）若，求BD； （ii）若在AC上，BE平分，且，求. 【答案】（1） （2）（i）或 （ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正弦公式及诱导公式可得； （2）根据正弦、余弦定理解三角形即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理 得：， 因为，所以. 因为，所以，所以，所以. 【小问2详解】 因为CD平分，所以 （i）中，，由余弦定理， 得：，所以，或. 当时，，所以，所以，所以. 所以，所以. 当时，，所以，所以， 所以，所以，所以. （ii）设，则，因为， 所以，， 由正弦定理，得，. 因为BC，所以 因为所以，即 所以 因为， 所以， 即， 所以. 因为，所以，所以， 所以，所以，所以. 19. （1）若函数在处取得极值，求实数的值； （2）已知，求证：对于任意； （3）若是关于的方程的两个不等实根，求证：. 【答案】（1）；（2）因为，所以， 所以当时，恒成立 要证任意， 即证：． 设， 因为， 令，则时，， 所以在上单调递增，即， 所以在上单调递减， 所以，即证． （3）法1：由题意， 设，所以， 当时，恒成立，此时单调递增，不会存在两个零点，故， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． 不妨设，则 由（2）得，令， 所以， 所以， 化简得，①： 同理，②； ①②得， 因为，所以， 所以， 即证． 法2：同法1得到， 令，则（）， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，且． 不妨设． （）式可以化为，取对数得，， 所以． 由（2）得，则， 所以， 即， 所以，即，所以． 要证：，即证：． 因为，所以只要证． 设． 因为， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即证． 法3：令，因为， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为在定义域内有2个零点， 所以，且， 所以． 因为，不妨设． 令， 所以， 所以在上单调递增． 因为，所以， 所以，即, 因为在上单调递增， 所以，即. 因为， 设， 因为， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导得，根据求出，再验证即可； （2）转化为证明，设，利用二次求导得到其最值即可； （3）法1：首先求出，再设，结合（2）结论有，再代入作差即可证明；法2：同法1得到，令，再代入得到，最后构造函数，求导得其最值即可证明；法3：令，求导得到其最值从而有，构造函数，利用导数得到，最后再构造新函数即可证明. 【详解】（1）因为， 因为，所以，即． 当时，， 所以， 所以满足在处取得极值． （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $