精品解析：江苏省南通市启东市长江中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

启东市长江中学2025～2026学年度第一学期第一次错题再练 八年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边．运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：由3、4、7可得，，故不能组成三角形； 由6、7、12可得，，故能组成三角形； 由5、8、14可得，，故不能组成三角形； 由3、3、8可得，，故不能组成三角形； 故选：B． 2. 下列各组图形、是全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据全等图形能够完全重合解答即可． 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；   故选：D． 3. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 4. 如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理进行判断作答即可． 【详解】解：，，则，故A不符合要求； ，，则，故B不符合要求； ，，无法使，故C符合要求； ，，则，故D不符合要求 故选：C． 5. 如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（　　） A. 10 B. 16 C. 8 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】证明，则，，由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，， 由题意知，， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系． 6. 如图，在中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判断定理是解题的关键． 7. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（ ） A. 6＜AD＜8 B. 6≤AD≤8 C. 1＜AD＜7 D. 1≤AD≤7 【答案】C 【解析】 【分析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接CE，利用SAS易证△ADB≌△EDC，从而可得AB=CE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得AC-CE＜AE＜AC+CE，从而易求1＜AD＜7． 【详解】解：如图，延长AD至点E，使AD=DE，连接CE， ∵AD是边BC上的中线， ∴CD=BD， 在△ABD和△CED中， ， ∴△ABD≌△CED， ∴AB=CE=6， 在△ACE中，8-6<AE<6+8，即2<AE<14， ∴1＜AD＜7， 故选：C． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 8. 如图，，若，，，与交于点F，则的度数为（ ）度 A. 75 B. 80 C. 60 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理．利用全等三角形的性质结合三角形的内角和定理求得，根据比例分配求得，再根据三角形的内角和定理结合对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 故选：B． 9. 如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质和判定、全等三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． 作可通过角平分线的性质判断①；根据角平分线的判定判断②；利用和推得，，再根据即可判断③，综上即可得解． 【详解】解：作于点， 、分别平分、， 且、、， ，， ， 正确； 且、， 在的平分线上， 正确； 四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， 错误； 综上，正确． 故答案为：2． 10. 如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题11，12每小题3分，13-16每小题4分共22分） 11. 如图，欲证，若，请再添加一个已知条件是____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了添加条件证明三角形全等，添加已知条件，利用“”证明即可． 【详解】解：添加已知条件， 则在和中， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质定理，三角形外角的性质． 过P点作 于F，于N，于M，根据角平分线的性质定理得到，，，根据角平分线的判定定理得到，最后根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：过P点作 于F，于N，于M， 设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， 又∵于F，于M， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，、的平分线交于O点，过O点作交、于点E、F．当，时，的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到，，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵、的平分线交于O点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：3． 14. 如图，在中，，高交于点H．若，则____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等是解题的关键；由是高及，得，从而得；再证明，则得，则可求得的长． 【详解】解：∵是高，， ∴， ∴， ∴； ∵是三角形的高， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 你， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，于点A，于点B，且．点P从点B开始以的速度向点A运动；点从点B开始以的速度向点D运动．P、Q两点同时出发，要使，则运动的时间为_____s． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据两三角形全等需满足，则，根据路程除以速度即可得到答案． 【详解】解：∵欲使 则需 ∴点A的运动时间是，点Q的运动时间是， 则当时，，又 ∴ 故答案为：4 16. 如图，在和中，，，，．连接，交于点，与交于点E，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有___________ （填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由题意易证，即得出，，故②正确；结合，即可求出，故①正确；由角平分线的定义可知，从而可证，进而可证．即可利用“”证明故③正确；过点O作于点G，于点H，易证，即得出，说明平分，即．假设成立，得出，从而可求出，进而可证平分．因为不确定平分，不一定成立，故④错误． 【详解】解： ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故①正确； ∵若平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴，故③正确； 如图，过点O作于点G，于点H， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，即． 假设成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分． ∵不确定平分， ∴不一定成立，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的有关计算，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 三、解答题（共9小题，满分98分） 17. 已知a，b，c是的三边． （1）若，．求第三边c的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． （1）根据三角形三边关系即可求解； （2）根据三角形三边关系得到，，，再根据绝对值的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵a，b，c是的三边，，， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵a，b，c是的三边， ∴，，， ∴，，， ∴ ． 18. 如图，在中，平分，平分，与相交于点G，于点F，若，求与的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线和高，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义得到，根据得到，进而求出；利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到，再利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，D是的边上一点，，交于点E，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质， （1）根据平行线得到角度关系，再根据角角边判定直接证明即可得到答案； （2）根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即的长是3． 20. 如图，在中，为的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）请你画出的中线，再找出的中点，连接．若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的有关计算，根据三角形的中线求面积． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）根据要求画出图形，根据三角形中线的性质求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以． 因为为的平分线， 所以． 在中，； 【小问2详解】 如图所示，即为所求． 因为是的中线，， 所以． 又因为为的中点，即是的中线， 所以． 21. 在中，三个内角的平分线交于点，过作，交边于点，如图． （1）若，则　　，　　； （2）猜想与的关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：相等，理由： 设， ， 中，三个内角的平分线交于点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）设，根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论． 【小问1详解】 解：①， ， 中，三个内角的平分线交于点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：，， 【小问2详解】 略 22. 如图，，点E是的中点．平分． （1）求证：是的平分线； （2）已知，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点， ∵平分， ∵是的中点， ∴是的平分线； （2）12 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得，进而结合中点的定义得，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得结论； （2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得，利用判断出，根据全等三角形的性质得，同理，推出，进而根据直角三角形的面积计算方法算出的面积，最后根据即可算出答案． 本题考查角平分线定理的应用，三角形全等的判定与性质． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 均是直角三角形， 又∵平分， 在和中， ， ， 同理， ， ， ． ， ∴四边形的面积为12． 23. 如图，已知D是内一点，．求证：．小红的解答如下： 证明：在和中， ∵， ∴．……第一步 ∴．……第二步​ （1）小红的证明过程从第 步开始出现错误； （2）请写出你认为正确的证明过程． 【答案】（1）一 （2） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题重点考查全等三角形的判定与性质等知识点， （1）题中所给的条件满足“两边和其中一边的对角分别相等”，不能由此直接证明，可知小红的证明从第一步开始出现错误，于是得到问题的答案； （2）由，得，而，可推导出，得AC＝BC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明 能判定出题中所给的条件是“两边和其中一边的对角分别相等”，不能由此直接证明，是解题时的关键． 【小问1详解】 ∵由不能证明， ∴从第一步开始出现错误， 故答案为：一． 【小问2详解】 略 24. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】（1） （2） ①∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角度关系的探究，解题的关键是推导出，结合已知边相等构造全等三角形 （1）由推导出，再得出，再求出； （2）①根据全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和、邻补角等关系，建立与的等量关系；②点在延长线上，的构成不同，需分别推导，证全等思路一样，再利用建立关系． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 ①略 ②略 25. 【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启东市长江中学2025～2026学年度第一学期第一次错题再练 八年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组图形、是全等图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（　　） A. 10 B. 16 C. 8 D. 5 6. 如图，在中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（ ） A. 6＜AD＜8 B. 6≤AD≤8 C. 1＜AD＜7 D. 1≤AD≤7 8. 如图，，若，，，与交于点F，则的度数为（ ）度 A. 75 B. 80 C. 60 D. 70 9. 如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 10. 如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（本大题共6小题11，12每小题3分，13-16每小题4分共22分） 11. 如图，欲证，若，请再添加一个已知条件是____________． 12. 如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则___________ 13. 如图，在中，、的平分线交于O点，过O点作交、于点E、F．当，时，的长为___________． 14. 如图，在中，，高交于点H．若，则____． 15. 如图，于点A，于点B，且．点P从点B开始以的速度向点A运动；点从点B开始以的速度向点D运动．P、Q两点同时出发，要使，则运动的时间为_____s． 16. 如图，在和中，，，，．连接，交于点，与交于点E，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有___________ （填序号）． 三、解答题（共9小题，满分98分） 17. 已知a，b，c是的三边． （1）若，．求第三边c的取值范围； （2）化简：． 18. 如图，在中，平分，平分，与相交于点G，于点F，若，求与的度数． 19. 如图，D是的边上一点，，交于点E，． （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 如图，在中，为的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）请你画出的中线，再找出的中点，连接．若，求的面积． 21. 在中，三个内角的平分线交于点，过作，交边于点，如图． （1）若，则　　，　　； （2）猜想与的关系，并说明理由． 22. 如图，，点E是的中点．平分． （1）求证：是的平分线； （2）已知，求四边形的面积． 23. 如图，已知D是内一点，．求证：．小红的解答如下： 证明：在和中， ∵， ∴．……第一步 ∴．……第二步​ （1）小红的证明过程从第 步开始出现错误； （2）请写出你认为正确的证明过程． 24. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 25. 【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $