精品解析：河南省新乡市大联考2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

2025—2026年度上学期河南省高三年级第一次联考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数、平面向量和数列． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ＝（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的模的公式进行求解即可. 【详解】. 故选：D. 2. 已知集合，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集与补集运算，可得答案. 【详解】由题意可得，，则，所以. 故选：B. 3. 已知向量，，则＝（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积表示及向量模求解即可. 【详解】因为， 所以， 即． 故选：D 4. 已知，则＝（ ） A. B. C. 6 D. －6 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式以及同角三角函数关系式，化简整理，可得答案. 【详解】 . 故选：A. 5. 对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称其为“取整函数”．已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例得到充分性不成立，由，得到，故必要性成立，得到答案. 【详解】A选项，充分性，，不妨令，满足， 但此时，，充分性不成立， 必要性，画出的图象，如下： 因为，所以，故，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 与有关 【答案】A 【解析】 【分析】先计算定义域，结合定义域化简函数解析式，再计算出为定值即可得解. 【详解】由，则，解得， 则，故， 则， ， 故. 故选：A. 7. 若，且满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 18 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由题设条件可得，利用“乘1法”与基本不等式求最小值. 【详解】由， 则 . 当且仅当时取等号，即，再结合， 可得，时取等号. 故选：C 8. 设直线与函数图象的相邻3个公共点自左向右依次为A、B、C，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合余弦函数的图象的周期、对称性，利用诱导公式计算即得. 【详解】函数和在同一直角坐标系的图象如下图所示： 函数的最小正周期为， 令，对称轴为， 由题意，结合图形可知：，又，所以， 因此点横坐标为， 所以， 当为奇数时，，舍去， 当为偶数时，，符合题意， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 公比为q的等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等比数列的通项，由题意建立方程组，求得公比与首项，利用等比数列的通项公式以及求和公式，可得答案. 【详解】由题意可得， 两式作比可得，解得，故B错误； 由，则解得，故A正确； 所以等比数列的通项公式，前项和公式. 可得，故D错误；，故C正确. 故选：AC. 10. 在Rt△ABC中，，E为BC的中点，动点P在以点E为圆心且与AB相切的圆上，点P在该三角形内部（包括边界），则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为4 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立合适的平面直角坐标系，求出各点坐标，用坐标表示可求其最值，再以坐标表示求出与关系，并求最值. 【详解】过作，以为原点，，分别为轴，轴，建立平面直角坐标系. 则，，，因此直线：，点到直线的距离为. 所以动点的轨迹为,，设， 则，. 故，因，所以当时，有最小值，当或时，有最大值，故选项A和B正确. ，因为，所以. 所以，当或时，有最大值；当时，有最小值. 故选项C错误，选项D正确. 故选：ABD 【点睛】 11. 已知的面积为1，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角函数恒等式化简整理题目当中的方程，可解得三角形的形状，根据直角三角形的性质与面积，可得答案. 【详解】由，则， 即，可得， 化简可得， 根据和差化积公式可得， 由，则， 代入上式可得， 即. 因为，所以，，则， 所以或，. 因为是三角形的内角，所以或， 当时，，即，不合题意. 当时，，即； 所以，，， 由，则， 由的面积为，则，即，故D正确； 由，解得，故B正确； 若，由，解得， 由，不合题意，故A错误； ，故C正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知命题“”为假命题，则a的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据特称命题的否定，结合一次函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得命题“”为真命题，则可得，解得. 故答案为：. 13. 已知数列满足，则的通项公式为＝______，若，则＝______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式可求出，再利用平方差公式结合等差数列的前项和公式进行计算即可. 【详解】因为， 所以数列是等差数列，该等差数列的前两项分别为， 所以有； 因为， 所以 ， 故答案为：；. 14. 设函数，若，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照与分类讨论，拆分成两个函数的零点即可. 【详解】当时，，则，即恒成立， 设，则，所以当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以有最大值为，； 当时，函数均单调递减， 若要使恒成立，则有相同的零点，设为， 则，所以， 所以，解得； 所以a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及其图象的对称中心的坐标； （2）将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象上的各点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】（1）解析式：，对称中心：，. （2） 【解析】 【分析】（1）由图可得函数的最值、周期以及已知点，分别建立方程，解得解析式；根据正弦函数的对称中心，利用整体思想，可得答案. （2）根据函数图象变换，解得函数解析式，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得答案. 【小问1详解】 由图象可知，函数的最大值为，最小值为，因为，所以. 又因为，所以周期；据周期公式，可得. 此时，图象过点， 将其代入函数可得，即. 所以，，解得，. 又因为，所以，.因此. 令，，解得，. 所以图象的对称中心的坐标为，. 【小问2详解】 将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象； 再将所得图象上的各点向右平移个单位长度，得到的图象. 当时，则， 由在上单调递增，在上单调递减； 当时，，； 当时，，； 所以在区间上的值域为. 16. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）讨论在上的单调性． 【答案】（1） （2）当时，函数在上单调递增； 当时，在单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）先求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，得到方程即可； （2）求导，分和两种情况，利用导数讨论单调性即可. 【小问1详解】 若，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意可知：函数的定义域为，且， 当时，，可知函数在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 可知在单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，函数在上单调递增； 当时，在单调递增，在上单调递减. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求； （2）已知，E，F分别为边AB，AC上一点，D在线段EF上，若，，求四边形EFCB面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，化简得，，又，由正弦定理可得，再由余弦定理求； （2）设，，由结合基本不等式，由面积的最小值，可求得四边形EFCB面积的最大值. 【小问1详解】 由，可得， 中，，所以，即． 因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，故，可得． 【小问2详解】 时，由（1）可知，， 设，，，， 由，有， 化简得，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，而． 当的面积最小时，四边形EFCB的面积最大，最大值为． 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）证明：数列中任意三项不能构成等差数列． （3）已知，若对一切正整数n成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 假设数列中存在三项构成等差数列， 根据等差数列性质可得， 由（1）知，所以，即， 两边同时除以，得到， 因为，所以，，则和都是偶数， 由是奇数，而是偶数，所以假设不成立， 即数列中任意三项不能构成等差数列. （3） 【解析】 【分析】（1）通过与的关系，结合等比数列定义求通项； （2）用反证法，假设存在三项成等差，推出矛盾来证明； （3）先求，再对数列求和，结合数列单调性确定的范围. 【小问1详解】 当时，由，则； 当时，由，则，即； 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知， 则， 设， 则， 设，， 两式相减可得， 所以， 设、 ， 综上可得，则， 因为，所以， 设，则 ， 所以数列是递增数列，， 所以，即实数的取值范围是. 19. 定义“下凸函数”在区间上，对任意、、、，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求的取值范围． （2）①证明：函数在上为“下凸函数”． ②证明：当时，． （3）已知正实数、、、满足，求的最小值（用的代数式表示）． 【答案】（1） （2）①证明：由，可得，， 当时，， 根据“下凸函数”的充要条件可知函数在上为“下凸函数”． ②证明：因为 ， 所以． 令，因为，所以，则， 令，，则， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“下凸函数”的定义，可得出对任意的恒成立，结合参变量分离法可得出实数的取值范围； （2）①证明出对任意的恒成立，结合“下凸函数”的定义可证得结论成立； ②化简得出，由得，令，可得出，构造函数，，利用导数证明出即可； （3）令，可得出，推导出函数为上的“下凸函数”，结合“下凸函数”的定义可求出与对数函数的单调性可求出的最小值. 【小问1详解】 由，可得，则， 因为是上的“下凸函数”，所以对任意的恒成立， 即恒成立，所以在上恒成立， 令，则函数在上单调递减，所以， 所以，所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 令，则， 考虑函数，求导得， 则， 当时，，则， 故在上为“下凸函数”， 所以， 即， 即， 即， 当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026年度上学期河南省高三年级第一次联考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数、平面向量和数列． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ＝（ ） A. 3 B. C. 4 D. 2. 已知集合，则＝（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则＝（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知，则＝（ ） A. B. C. 6 D. －6 5. 对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称其为“取整函数”．已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 与有关 7. 若，且满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 18 C. D. 9 8. 设直线与函数图象的相邻3个公共点自左向右依次为A、B、C，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 公比为q的等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在Rt△ABC中，，E为BC的中点，动点P在以点E为圆心且与AB相切的圆上，点P在该三角形内部（包括边界），则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为4 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为1 11. 已知的面积为1，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知命题“”为假命题，则a的最小值为______． 13. 已知数列满足，则的通项公式为＝______，若，则＝______． 14. 设函数，若，则a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及其图象的对称中心的坐标； （2）将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象上的各点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． 16. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）讨论在上的单调性． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求； （2）已知，E，F分别为边AB，AC上一点，D在线段EF上，若，，求四边形EFCB面积的最大值． 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）证明：数列中任意三项不能构成等差数列． （3）已知，若对一切正整数n成立，求实数的取值范围． 19. 定义“下凸函数”在区间上，对任意、、、，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求的取值范围． （2）①证明：函数在上为“下凸函数”． ②证明：当时，． （3）已知正实数、、、满足，求的最小值（用的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $