专题06 锐角三角函数与直角三角形6大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06锐角三角函数与直角三角形 目录 典例详解 类型一、正弦、余弦、正切的概念辨析 类型二、特殊角的三角函数求角度 类型三、特殊角的三角函数的混合运算 类型四、根据三角函数判断锐角的取值范围 类型五、解直角三角形 类型六、构造垂线解非直角三角形 压轴专练 典例详解 在类型一、正弦、余弦、正切的概念辨析 【例1】在R△A8C中，∠C=90,sinA=号，则cosA的值是() D.5V34 34 【例2】如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”.图形是由 四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是120，小正方形面积 是20，则sin0-cos0=一 【变式1-1】如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB的长为10m,倾斜角为a,则自动扶梯 的垂直高度BC等于() 1/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A 10 10 A.10tana B. C.10sina D. tang sina 【变式1-2】如图，是《周髀算经》中的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形都全等，如果大正方形的面积 是小正方形面积的5倍，那么∠ABE的余切值是一， 【变式13】如图，在Rt△4BC中，∠C=90,点D在BC上，4D=BC=5,os∠ADC=子则aB的 值是 ≈类型二、特殊角的三角函数求角度 【例3】若(V5tanA-3+2cosB-5=0,则aABC() A.是直角三角形 B.是等边三角形 C.是含有60°的任意三角形 D.是顶角为钝角的等腰三角形 【例4】a为锐角，且关于x的方程x2±2√2sina·x+1=0有两个相等的实数根，则a= 【变式2-1】已知ABC中的∠A与∠B满足(I-tan4)2+sinB- =0 2 (I)试判断ABC的形状 (2)求2cos2A-(1+tanB)2+(3-tanC)°的值. 2/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-2】已知2-√3是关于x的方程x2-4r+√2cosa=0的一个实数根，则锐角a的度数为() A.30° B.90° C.60° D.45° 【变式2-3】a为锐角，当 1 1-tana 无意义时，则sin(a+15)+cosa-15)=_ 类型三、特殊角的三角函数的混合运算 【例5】计算： tan 450 (1) +sin45°-√3tan30°： 1 (2)V3cos245°-sin30°tan60°+。sin60°. 2 【例6】(1)计算：4sin30°-2cos30°+tan60° (2)已知a为锐角，且tan(a+15)=V3,求2sin2a+cos2a-V3tana的值. -2 【变式3-1】(1)计算： +2sin45°-(N2-1)°-27 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)计算：cos60°-sin245°+3tan230°+1sin30-l-1-tan60 【变式3-2】计算： (1)3tan30°-tan45°+2sin60o (2)cos230°+sin230×tan60° 匝+(x-201s+0 -6tan30°. (4)(π-2020)°+4sin60°-V12+-3 【变式3-3】(1)计算：(3tan30°+tan45)(2sin60°-1). (2)已知a是锐角，且sima= ,求3cos2a+sin(a-15)tan(@+159)-V5cosa-15)的值 2 类型四、根据三角函数判断锐角的取值范围 【例7】用计算器求sinl5°、sin25°、sin35°、sin45°、sin55°、sin65°、sin75°、sin85°的值，研究 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 sina的值随锐角a变化的规律，根据这个规律判断：若)sina<5 则() 2 A.30°<4<60°B.30°<a<90° C.0°<a<60° D.60°<a<90 【例8】若30°<a<B<90°，则(cos B-cosa月 cosβ- +1-cosa = 【变式4-1】设点A(x,0)与点B(x2,0)为直角坐标平面内x轴上的两点，它们的横坐标x,x2x,<x2)是关于 x的方程x2-(k-3)x+k+4=0的两个实数根.点C在y轴正半轴上，设∠CAB=a,∠CBA=B,若oB都 是锐角，则两角的大小关系为() A.a>B B.a<B C.a=β D.与k的取值有关 【变式4-2】如图，ABC中，BC=AC,AD⊥BC,BE⊥AC,AD=4,CD=3,则关于∠FBD、 ∠FCD、∠FCE的大小关系() E A.∠FBD>LFCD B.∠FBD<∠FCDC.∠FCE>LFCD D.LFCE<LFCD 【变式4-3】O是锐角三角形的一个内角，已知y关于x的函数y=(cos0)x2-(4sin0)x+6图像与x轴没有 交点，则O的取值范围是 类型五、解直角三角形 【例9】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AE垂直平分BO,若AE=2V3cm,则 OD= B C 【例10】如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,点E是BC上的一点，AE=BE,AB=10, 5/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 coS∠ACD= 4 5 求AC的长和tan∠AEC的值， D B 【变式5-1】如图，ABC中，AB=AC=5,BC=6,D为BC的中点，CE⊥AB于点E,AD与CE相交于点O ,则=() E C D B. 3-5 c D. 【变式5-2】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠DAC=45°，AB=3,DC=5,则BD= D B 【变式5-3】如图所示，在ABC中，∠A=60°，过点B作BE⊥AC,垂足为点E,AC=6,AD=3, BD=1,求： 6/11 函学科风网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)边BC的长； (2)sin∠ADE的值. 类型六、构造垂线解非直角三角形 【例11】一个三角形的两边之长分别为5、2x2,这两边夹角的余弦值为 11 ,则这个三角形的面积是(） A.5V42 B.50W2 C.2√21 D.1102 11 11 21 4 【例12】在ABC中，AB=AC,BC=6,sinB= 5 A B C (I)求AB的长 (2)延长BC至点D,使CD=4√5-3，连接AD,求∠ADB的度数. 【变式6-1】在△ABC中，AB=6,AC=8√5，ABC的面积为12√5，则∠A= 【变式6-2】在菱形ABCD中，边长为6，∠B=60°，点M是AB的中点，连接AC.N是BC上一动点，把 ABC沿MN折叠，使点B恰好落在AC边上的B处，且AB':B'C=2:I,，则BN=一· 7/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B B 【变式6-3】如图，在R1s4BC中，∠B=90,sinA=},点D在AB边上，且∠BDC=45,BC=5. B (I)求AD长； (2)求LACD的正弦值. 压轴专练 一、单选题 1.已知)cosa<sin80°，则锐角a的取值范围是(） A.30°<a<80°B.10°<a<80° C.60°<a<80° D.10°<a<60 2.如图所示，菱形ABCD的周长为20cm,DE1AB,垂足为E,sinA-},下列结论正确的是() ①DE=3cm,②8E=lcm,③S装影=7.5cm2,④cos∠CDB=10 10 8/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 3.如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB,点M,N分别在边BC,AD上.连接MN,将四边形CMND沿 MN翻折，点C,D分别落在点A,E处.则tan∠AMN的值是() N D M A.2 B.2 C.§ D.5 4.如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，将。ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，连接DF ,那么∠EDF的正切值是() E A.2 B. C.v5 D.25 5 5 二、填空题 5. ABC中，∠A、∠B为锐角且(2cosA-1)2+N5-tanB=0,则∠C=_ 6.如图，正六边形和正八边形的顶点A,B,C,D在同一直线上，顶点E重合，若CE=2,则正六边形的 边长为 A B CD 7.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=I0,将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在N处，若EA的延长线 恰好过点C,则tanZABE=— 9/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 三、解答题 8先南，求恤：+关市兽+小-254-广-m 9.如图，在A8c中，已知mB=anC-号，BC=1en,求A8c的面积 A B 10.已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为2√3，求另一条对角线的长. 11.如图，在ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a、b、,若2b=a+c,∠B=60°，ABC的 10/11函学科网·上好课 www zxxk com 专题06锐角三角函数与 目录 典例详解 类型一、正弦、余弦、正切的概念辨析 类型二、特殊角的三角函数求角度 类型三、特殊角的三角函数的混合运算 类型四、根据三角函数判断锐角的取值范围 类型五、解直角三角形 类型六、构造垂线解非直角三角形 压轴专练 典例详解 类型一、正弦、余弦、正切的概念辨析 【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,则cosA的值是( A B. 3 c 【答案】C 【详解】解：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3 BC 3 AB5' 设BC=3k,AB=5k, 1/30 上好每一堂课 直角三角形 D.5V34 34 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得：AC=VAB2-BC2=4k, cosA=4C 4k 4 AB 5k5' 故选：C 【点晴】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键. 【例2】如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”.图形是由 四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是120，小正方形面积 是20，则sin0-cos0= 【答案】-V6 6 【详解】解：如图所示： AZ-30 D 大正方形的面积是120，小正方形面积是20， ·大正方形的边长AB=2V30,小正方形的边长CD=2√5， :AC=BD, :.sine-cos0=BD_4D-_AD-BD__CD_215 6 ABAB AB AB2√306 故答案为： 、6 6 【变式1-1】如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB的长为10m,倾斜角为α，则自动扶梯 的垂直高度BC等于() 2/30 00学科网·上好课 ww ， zxx k， com 上好每一堂课 B a A C A.10tana $$B . \frac { 1 0 } { \tan \alpha }$$ C.10sina $$D . \frac { 1 0 } { \sin \alpha }$$ 【答案】C 【详解】解：由题意可得：. AB=10，∠BAC=α， $$\because \sin \alpha = \frac { B C } { A B } = \frac { B C } { 1 0 }$$ ∴BC=10sina， 故选：C. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握掌握正弦的定义是解题的关键. 【变式1-2】如图，是《周髀算经》中的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形都全等，如果大正方形的面积 是小正方形面积的5倍，那么 ∠ABE 的余切值是 A F E B D G H C 【答案】2 【详解】解：设小正方形EFGH面积是 $$a ^ { 2 } ，$$ ，则大正方形 ABCD 的面积是 $$5 a ^ { 2 } ，$$ ：小正方形 EFGH 边长是 a， ：图中的四个直角三角形是全等的， ∴AE=BF， 设 AE=BF=x， 在 $$R t _ { \triangle A E B }$$ 中， $$A B ^ { 2 } = A E ^ { 2 } + B E ^ { 2 }$$ 即 $$5 a ^ { 2 } = x ^ { 2 } + \left( x + a \right) ^ { 2 } ，$$ 解得： $$x _ { 1 } = a ， x _ { 2 } = - 2 a$$ a (舍去)， ∴AE=a，BE=2a， ∴∠ABE 的余切值 $$= \frac { B E } { A E } = 2 ，$$ 3/30 而学科网·上好课 上好每一堂课 故答案为：2. 【变式13】如图，右R1△ABC中，∠C=90,点D在BC上，4D=BC=5,os∠ADC-,则anB的 值是 D 【答案】08 【详解】解：：AD=BC=5,cos∠ADC= 5 CD 3 AD5' CD=3, 由勾股定理得：AC=√AD2-CD2=V52-32=4, AC 4 .'tan B= 故答案为：5 4 【点晴】考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟记三角函数的定义及勾股定理是解题关键. 类型二、特殊角的三角函数求角度 【例3】若(V3tanA-3+2cosB-V3=0,则aABC() A.是直角三角形 B.是等边三角形 C.是含有60°的任意三角形 D.是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【详解】解：：(V5tanA-3+2cosB-V3=0, √3tanA=3,2cosB=V3, an=3,cosB= 2 ∠A=60°，∠B=30°， 4/30 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠A+∠B=60°+30°=90°， :△ABC是直角三角形. 故选：A. 【点晴】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值， 【例4】oa为锐角，且关于x的方程x2±22sina·x+1=0有两个相等的实数根，则a= 【答案】45°/45度 【详解】解：：方程x2±2√2sina·x+1=0有两个相等的实数根， .△=（±2√2sinu)2-4=0, 解得sinu=± 2 a为锐角， sina= 2 a=45°， 故答案为：45°. 【变式2-1】已知ABC中的∠A与∠B满足(1-tanA)2+sinB- =0 2 (1)试判断ABC的形状. (2)求2cos2A-(1+tanB)2+(3-tanC)°的值. 【答案】(I)ABC是锐角三角形. (2)-2-2V3 【详解】解：(1)：-tan4+SinB- =0, 2 tan A=lsin B=3 2∠A=459,∠B=609, ∠C=180°-∠A-∠B=75°， △ABC是锐角三角形 (2):∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°， 原式=2× -(1+V3)2+1=1-1+2W3+3)+1=-2-25. 2 【点晴】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键 5/30 品学科网·上好课 www zxxk com 【变式2-2】已知2-√5是关于x的方程x2-4x+√2cosa=0的一个实数根， A.30° B.90° C.60° D.45° 【答案】D 【详解】解：设方程的另一个根为m,则： 2-V3+m=4, m=2+5, :(2+V5)2-V5)=-2cosa, ∴.c0sa= 2 2 0=45° 故选：D 【变式2-3】u为锐角，当 1 无意义时，则sin(a+15)+cos(a-15）= -tana 【答案】√3 【详解】解： 1 一无意义， 1-tan .1-tana=0,即tana=1, :为锐角， a=45°， .sin(a +15)+cos(a-150) =sin(45°+15）+c0s45°-15】 =sin60°+c0s309 3,5 2+2 =√5. 故答案为：√. 类型三、特殊角的三角函数的混合运算 【例5】计算： tan 450 (1) -+sin45°-V3tan30°； √2 6/30 上好每一堂课 则锐角0的度数为() 函学科网·上好课 (2)V3cos245°-sin30°tan60°+sin60°， 【答案】(1)√2-1 23 【详解】(1)解：tan45 +sin45°-√3tan30° √2 = Γ√22 3 =√2-1； (2)解：√5cos245°-sin30°tan60°+号 1V3 x 2 22 = 22 Γ4 【例6】(1)计算：4sin30°-2cos30°+tan60° (2)已知a为锐角，且tana+15)=V3,求2sin2a+cos2a 【答案】1)2：(2)3-5 【详解】解：(1)4sin30°-2cos30°+tan60 成=4号250 =2-V3+V3 =2 (2)u为锐角，且tan(a+15)=V3, a+15°=60°， 故a=45C, ∴原式=2sin245☐+cos245☐-√3tan45☐ -29-5 7/30 上好每一堂课 V5tana的值. 高学科网·上好课 www.zxxk.com -2x分6 3-5 【变式3-1】(1)计算： +2sin45°-(2-1)°-27 (2)计算：cos60°-sin245°+3tan230°+sin30°-l-l-tan60 【答案】(1)√2；(2)2-V3 【详解】解：(1) +2sin45°-(2-1)°-27 =4+2x2-1-3 =4+√2-1-3 =√2； 2)os60-sn245+n230r+5n30-1-1m60 网 1_1+1+1--5+1 222 2 =2-5. 【变式3-2】计算： (1)3tan30°-tan45°+2sin60° (2)cos230°+sin230）×tan60° (3)V2+(π-2015)°+ -6tan30°. (4π-2020)°+4sin60°-V12+-3 【答案】(1)25-1 (2)3 (3)3 (4)4 8/30 系一每丁 可学科网·上好课 www zxxk.com 【详解】(1)解：3tan30°-tan45°+2sin60 3x ,5 3 -1+2×1 =√5-1+V5 =2W5-1 (2)解：cos230°+sin230×tan60° =3 (3)解：、 +1x-2015r+) -6tan30° =25+1+2-6× 5 =25+1+2-2V5 =3 (4)解：（π-2020）°+4sin60°-12+-3 =1+4x5 -2√5+3 2 =1+2√5-2V3+3 =4 【变式3-3】(1)计算：(3tan30°+tan45)(2sin60°-1). (2)已知a是锐角，且sina=2 求3cos2a+sin(a-15°)tan(a+15) 2 【答案】(1)2(2)3 【详解】解：(1)原式= =(3+15- =3-1 =2 9/30 上好每一堂课 √3cos(a-15)的值. 可学科网·上好课 (2).sina= 2且u是锐角， a=45°， ..3cos2a sin(a-15)tan(a +15)-v3 cos(a -15) =3c0s245°+sin(45°-15)tan(45°+15)-V3c0s(45°-15) 2)i =3× 2 +2×v5-v5x 2 3,V33 2+2 2 3 类型四、根据三角函数判断锐角的取值范围 【例7】用计算器求sin15°、sin25°、sin35°、sin45°、sin55°、 sina的值随锐角a变化的规律，根据这个规律判断：若】<sina A.30°<a<60°B.30°<a<90° C.0°<<60° 【答案】A 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大， :1 3 sina 2 .sin30°<sin<sin60°， 则a的取值范围是30°<a<60°， 故选：A, /3 【例8】若30°<a<B<90°，则cos B-cosa)-cosB 2 【答案】1- 2 【详解】解：：30°<a<B<90°， .cosβ<cosa,cosB< 10/30 上好每一堂课 sin65°、sin75°、sin85°的值，研究 2 ,则() D.60°<a<90° sin30°=)sim60°=5 1 2 2 cosa=