专题08 锐角三角函数与实际应用4大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题08 锐角三角函数与实际应用 目录 典例详解 类型一、仰角俯角问题 类型二、方向角问题 类型三、坡度坡比问题 类型四、其他问题 压轴专练 类型一、仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 【例1】研学实践：某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进行了实地测量． 数据采集：如图，测量小组操作无人机在点处竖直上升34米后飞行至点处，在点处测得旗亭顶端的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得旗亭顶端和点的俯角均为． 数据应用：点在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，计算旗亭的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，） 【答案】15米 【详解】解：在中，，， ， 米， 如图，延长交的延长线于点，则四边形为矩形， 米， 设米，则米， 在中，，则米， 米， 在中，， ， ， 即， 解得． 答：旗亭的高度约为15米． 【例2】2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时，在地面雷达站C处测得点A的仰角为，在地面雷达站B处测得点A的仰角为．已知，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴. 答：B、C两个雷达站之间的距离为. 【变式1-1】如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．25米 D．28米 【答案】C 【详解】解：如图，过点B作于点D， 根据题意可知： ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得 即， 解得． 所以建筑物的高度为25米． 故选：C． 【变式1-2】百年蚌埠，美誉珠城，缘起于古采珠之地．如图1，蚌埠市张公山南门前“珍珠女”巨型雕塑的设计就是借鉴了蚌埠“珍珠城”的美称．珍珠女为汉白玉加工而成，双手捧持珍珠，站在形似水浪的底盘上，动态优美，充满青春气息．身高米的小明同学，想测量珍珠顶的总高度，站在B点仰头正好平视到珍珠顶，向前走了米后，站在C点仰头正好平视到珍珠顶．帮小明算算珍珠女雕塑的总高度大约是多少（精确到米）．（参考数据：） 【答案】米 【详解】如图，设珍珠顶为点M，小明站在C点处头顶为点D，过点A作交于点E，则，且点D在上， 由题意可知米，米，， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵， ∴， 解得：， ∴总高度米， 答：珍珠女雕塑的总高度大约是米． 【变式1-3】2021年4月29日，新一代运载火箭长征五号将中国航天器“天和”号核心舱送入预定轨道，标志着中国空间站时代即将开启，根据观测，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，经过3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．已知C，D相距460米． (1) 米； (2)求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米，参考数据：，，）． 【答案】(1)1880 (2)402米/秒 【详解】（1）解：在中，， （米）， 故答案为：1880； （2）解：设火箭从到处的平均速度为米／秒，根据题意可知：（米）， 米， （米）， 米， 米， 在中，， ， 米， ， 解得（米/秒）． 故火箭从到处的平均速度为402米/秒． 类型二、方位角问题 双重非负性: 【例3】“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小依和小钟同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小依先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小钟从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向． (1)请求出的长度：（结果保留根号） (2)若小依步行的速度为，小钟步行的速度为，请问小依和小钟谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到整数，参考数据：） 【答案】(1) (2)小依先到停车场，说明见过程 【详解】（1）解：过点B作于点F，过点B作于点G，则四边形是矩形， ∴， 根据题意得：， 在中，， 在中，， ∴； （2）解：小依先到停车场，说明如下： 如图，延长交于点I，过点E作于点H， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 则小依走过的路程为， ∴小依所用的时间约为， 小钟走过的路程为， ∴小钟所用的时间约为， ∵， ∴小依先到停车场． 【例4】在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东方向，然后他由B地沿北偏东方向骑行到达C地． (1)求A地与信号发射塔P之间的距离； (2)求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点B作于D点， 依题意知：， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 过点P作于E，过点B作正北方向射线， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天？ 【答案】(1)不会穿过古建筑保护群，理由见解析； (2)原计划完成这项工程需要天． 【详解】（1）解：不会穿过古建筑保护群，理由如下： 如图，过作于，设， 由已知有，，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：（米）（米）， ∴不会穿过古建筑保护群； （2）解：设原计划完成这项工程需要天，则实际完成工程需要天． 根据题意得：， 解得：， 经检验知：是原方程的根， 答：原计划完成这项工程需要天． 【变式2-2】如图，在某海域一艘巡逻舰由东向西匀速航行，速度为，该巡逻舰上午在A处发现北偏西方向的C处船甲正在由南向北匀速航行，后，巡逻舰航行到B处，发现船甲在其北偏西方向且距其的D处．请你根据相关数据，求船甲的速度．（结果精确到．参考数据： ， ， ） 【答案】船甲的速度为 【详解】解：如图，延长、相交于点E，则， 在中，， ， ∴（）， ∵， ∴（）， ∴（）， 在中，， ∴（）， ∴（）， ∴甲船的速度为（）， 答：船甲的速度为． 【变式2-3】如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． (1)求观测点与点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 【答案】(1)海里 (2)小时 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 根据题意可知：，海里， 海里， ， 海里， 海里． 答：观测点与点之间的距离为海里； （2）解：如图，作于点， ，，， 四边形是矩形， 海里，海里， 海里， 在中，根据勾股定理，得 海里， 小时． 答：救援船到达点需要的最少时间是小时． 类型三、坡度坡比问题 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 【例5】春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（   ） A． B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：如图，延长交延长线于点E，过点A作于点F，则， ∵河堤的坡度为， ∴， ∴设， ∵米， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴ ，， ∵， ∴是等边三角形， ∵米， ∴米， ∴米， 即浮漂D与河堤下端B之间的距离为米． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【例6】为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． (1)通道斜面的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点A作于点N，过点D作于点M， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∵通道斜面的坡度， ∴， ∴， ∴． 即通道斜面的长约为米； 故答案为：； （2）∵在中，， ∴， ∴， ∴（米）． 答：的长为米； 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式3-1】有一处斜坡如下图所示，分为的两段，MO段的坡度为，NO段的坡度为．若将两段斜坡建造成台阶，且每一级台阶的高度不超过，则这一处斜坡最少可以建造多少级台阶（参考数据：）？ 【答案】这一处斜坡最少可以建造65级台阶 【详解】解：如图，过点O作，作，垂足分别为． 在中， 段的坡度为， ． ． 在中， 段的坡度为， ， ， ，， ， 答：这一处斜坡最少可以建造65级台阶． 【变式3-2】某校试行“半天校外课”计划以提高学生的问题解决能力，组织学生到校外，利用相关的数学知识测量某雕像的高度．如图，雕像前有一段坡度为的斜坡，某同学站在坡底点处，用测角仪测得顶部的仰角为，接着他又向上走了5米，在坡上点处测得顶部的仰角为在同一平面内．若测角仪的高度米，则雕像的高度约为（　　）米．（精确到米，参考数据：） A．9.6 B．10.0 C．10.4 D．10.8 【答案】C 【详解】解：过F作于G，作A作于H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， 延长交于M， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度为， ∴设，则， 在中，， 由题意得：米， ∴， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， 在中，， ∴, ∴米， ∴雕像的高度约为米， 故选：C． 【变式3-3】2025年3月20日，山西省公布2024年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62条（段、个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息： ①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑； ②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角，，，坝顶米，坝底黏土宽度米，且，点，，在同一水平线上，… 请根据上述数据，计算背水坡的长．（参考数据：，，．） 【答案】25米 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为． 则四边形为矩形． ，． 设． 在中，，． ． ． 在中， ，． ， ． ， ． 解，得． 在中， ，， （米）． 答：背水坡的长为25米． 类型四、其他问题 【例7】如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取） 【答案】点与桌面的距离为 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E， 在中，，， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 答：点与桌面的距离约为． 【例8】如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【详解】（1）解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 【变式4-1】每年12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)旅游车高约多少米？ (2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 【答案】(1)旅游车高约米． (2)该旅游车停车符合规定的安全标准． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旅游车高约米． （2）解：在中，， ∵， ∴， 答：该旅游车停车符合规定的安全标准． 【变式4-2】年2月日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕，北京冬奥会为绿色办奥．科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量．图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，假设，，三点共线，若膝盖弯曲处与滑雪板后端的距离长为，该运动员大腿长为，，．（参考数据：，，， (1)求此刻滑雪运动员上半身的长； (2)求此刻运动员头部G到斜坡的高度．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意可知：，，， ， ， 答：滑雪运动员上半身的长约为； （2）解：在中，，， 则， 在中，，， 则， ， 答：运动员头部到斜坡的高度约为． 【变式4-3】如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果，悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ， ， ， 在中，（厘米）， 的长度约为40厘米； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， （厘米）， 在中，， ， ， ， 此时悬臂与连杆的夹角的度数约为 1．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自动扶梯的坡度为，的长度是米，是二楼楼顶，，是上处在自动扶梯顶端点正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，则二楼的层高为 米．（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：延长交于点D， 由题意可知：，，米， 设，则， ， 米， ∴由勾股定理可知：米， ， 米， 米． 则二楼的层高米． 故答案为：． 2．如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面A处测得山顶B的仰角为，然后沿着坡度的坡面走了米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为，求山高（结果保留根号）． 【答案】山高为米 【详解】解：作于F． ∵坡面的坡度，， ∴， ∴， 根据勾股定理得，， ∴ 解得米， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴（米），， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设米，则米，米， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， ∴（米）． 答：山高为米． 3．某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中， ，， ∴， ∴， 答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ， ，， ∴， 在中， ，， ∴， ∴ 答：长． 4．在水平面上，有两座大楼，分别是，且满足，秋山澪伫立在上．在C处和A处分别有一盏灯，打开灯后秋山澪的影长分别是和，她的身高为，连接，经测量．已知，则秋山澪的身高为多少m？（结果精确到）（参考数据：） 【答案】 【详解】解：如图，连接，设， 在中，， ∴． 在中，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，，     ∴． ∵     ∴ 解得 即秋山澪的身高为． 5．如图，利用无人机测量某小区南北大门之间的距离，无人机在处测得北大门上方标志物的俯角为，南大门上方标志物的俯角为，无人机沿方向继续飞行到处，此时测得北大门上方标志物的俯角为．图中，点、、、、、在同一竖直平面内，和均与地面平行．求、之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，，， 【答案】 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 设米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ∴ ， 在中，， ， ， 、之间的距离约为． 6．2025年4月，我国华北地区遭遇极端大风天气，据调查，此次极端天气由异常发展的冷涡系统引发，大风正向华东，华中地区推进．如图是明日香家楼下的场景示意图，在极端大风的作用下，树折断成两部分，段恰好倒在路灯的底端E处，明日香操控机器人爬到点B处，看向路灯顶端D的仰角为，看向路灯底端的俯角为．树折断之前的高度为，请你帮明日香计算出路灯的高（结果保留整数）（参考数据：） 【答案】 【详解】解：如图所示，过点B作于F， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， 答：路灯的高约为． 7．某数学兴趣小组为了测量旗杆的高度，首先在地平线处，用高为1米的测角仪器（测角仪器与地平面垂直），测得从处看旗杆顶端A的仰角是，然后，向右离点2米处有一个坡度是的斜坡，沿着斜坡走2.5米到达处，然后，又用1米高的测角仪器（与地平面垂直），测得从看旗杆顶端的仰角是．请问：旗杆多高？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】15米 【详解】解：作、、，垂足分别为M、N、H， ∵， ∴三点共线， ∵， ∴四边形是矩形， 同理四边形也是矩形， ， ∵斜坡坡比为， ， 设，则， ∴，， ∴，， 设， 则， ，， ∵， ， 解得， ∴， ∴旗杆高度为15米． 8．如图，一楼房后有一假山，其坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为，求楼房的高． 【答案】楼房的高为米． 【详解】解：过点作的延长线于，于点． 在中，， 米，米 米，米 在中，， 米 米， 答：楼房AB的高为米． 9．【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． (1)求的长度； (2)若，求水的折射率n．（参考数据；，，） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，过点D作，垂足为点G， 结合题意可得：四边形是矩形， ∴，， ∵入射角的度数是， ∴． ∴在中，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴折射率， ∴水的折射率n约为． 10．周末，天文爱好者们带着天文望远镜（如图1）到郊外观测土星环．这款天文望远镜由可升降的三脚架、镜筒和可旋转的支架组成．镜筒和旋转支架始终垂直，其中镜筒长，旋转支架长，三脚架三条支撑杆长度始终相同且长度可调节．图2，是已经架设好的一个天文望远镜的侧面结构示意图，已知：镜筒仰角，三脚架支撑杆与地面夹角，支撑杆此时长度为，求此时镜头A到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】156cm 【详解】过点C作于点N，交于点P，过点C作于点Q， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，∴， ∵， ∴． 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ， ． 镜头到地面的距离为． 11．如图是某机器人的机械臂，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，，，， (1)求机械臂端点C到工作台的距离的长；结果精确到 (2)求的长结果精确到 参考数据：，，，， 【答案】(1)机械臂端点C到工作台的距离的长约为 (2)的长约为 【详解】（1）解：过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为G，过点B作，垂足为F， 由题意得：四边形和四边形是矩形， ，，，， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 机械臂端点C到工作台的距离的长约为； （2）在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 的长约为 12．一场突如其来的病毒，让我们的寒假变得不平凡，在这关键时刻，教育部门决定采取“停课不停学”的网络授课，为了更方便的使用手机听课，有的家长给孩子们购买手机支架．图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动． (1)为了观看舒适，把绕点逆时针旋转，使，如图2，求到直线的距离． (2)在（1）的条件下，再将绕点顺时针旋转，使，求到直线的距离．（结果保留1位小数）（参考数据：） 【答案】(1)到直线的距离为 (2)到直线的距离为 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵， ∴， ∴ 答：到直线的距离为. （2）如图2，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 答：到直线的距离为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数与实际应用 目录 典例详解 类型一、仰角俯角问题 类型二、方向角问题 类型三、坡度坡比问题 类型四、其他问题 压轴专练 类型一、仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 【例1】研学实践：某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进行了实地测量． 数据采集：如图，测量小组操作无人机在点处竖直上升34米后飞行至点处，在点处测得旗亭顶端的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得旗亭顶端和点的俯角均为． 数据应用：点在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，计算旗亭的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，） 【例2】2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时，在地面雷达站C处测得点A的仰角为，在地面雷达站B处测得点A的仰角为．已知，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果保留根号）． 【变式1-1】如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．25米 D．28米 【变式1-2】百年蚌埠，美誉珠城，缘起于古采珠之地．如图1，蚌埠市张公山南门前“珍珠女”巨型雕塑的设计就是借鉴了蚌埠“珍珠城”的美称．珍珠女为汉白玉加工而成，双手捧持珍珠，站在形似水浪的底盘上，动态优美，充满青春气息．身高米的小明同学，想测量珍珠顶的总高度，站在B点仰头正好平视到珍珠顶，向前走了米后，站在C点仰头正好平视到珍珠顶．帮小明算算珍珠女雕塑的总高度大约是多少（精确到米）．（参考数据：） 【变式1-3】2021年4月29日，新一代运载火箭长征五号将中国航天器“天和”号核心舱送入预定轨道，标志着中国空间站时代即将开启，根据观测，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，经过3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．已知C，D相距460米． (1) 米； (2)求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米，参考数据：，，）． 类型二、方位角问题 双重非负性: 【例3】“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小依和小钟同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小依先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小钟从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向． (1)请求出的长度：（结果保留根号） (2)若小依步行的速度为，小钟步行的速度为，请问小依和小钟谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到整数，参考数据：） 【例4】在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东方向，然后他由B地沿北偏东方向骑行到达C地． (1)求A地与信号发射塔P之间的距离； (2)求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号） 【变式2-1】如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天？ 【变式2-2】如图，在某海域一艘巡逻舰由东向西匀速航行，速度为，该巡逻舰上午在A处发现北偏西方向的C处船甲正在由南向北匀速航行，后，巡逻舰航行到B处，发现船甲在其北偏西方向且距其的D处．请你根据相关数据，求船甲的速度．（结果精确到．参考数据： ， ， ） 【变式2-3】如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． (1)求观测点与点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 类型三、坡度坡比问题 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 【例5】春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（   ） A． B．米 C．米 D．米 【例6】为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． (1)通道斜面的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 【变式3-1】有一处斜坡如下图所示，分为的两段，MO段的坡度为，NO段的坡度为．若将两段斜坡建造成台阶，且每一级台阶的高度不超过，则这一处斜坡最少可以建造多少级台阶（参考数据：）？ 【变式3-2】某校试行“半天校外课”计划以提高学生的问题解决能力，组织学生到校外，利用相关的数学知识测量某雕像的高度．如图，雕像前有一段坡度为的斜坡，某同学站在坡底点处，用测角仪测得顶部的仰角为，接着他又向上走了5米，在坡上点处测得顶部的仰角为在同一平面内．若测角仪的高度米，则雕像的高度约为（　　）米．（精确到米，参考数据：） A．9.6 B．10.0 C．10.4 D．10.8 【变式3-3】2025年3月20日，山西省公布2024年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62条（段、个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息： ①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑； ②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角，，，坝顶米，坝底黏土宽度米，且，点，，在同一水平线上，… 请根据上述数据，计算背水坡的长．（参考数据：，，．） 类型四、其他问题 【例7】如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取） 【例8】如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【变式4-1】每年12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)旅游车高约多少米？ (2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 【变式4-2】年2月日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕，北京冬奥会为绿色办奥．科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量．图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，假设，，三点共线，若膝盖弯曲处与滑雪板后端的距离长为，该运动员大腿长为，，．（参考数据：，，， (1)求此刻滑雪运动员上半身的长； (2)求此刻运动员头部G到斜坡的高度．（结果精确到） 【变式4-3】如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果，悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 1．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自动扶梯的坡度为，的长度是米，是二楼楼顶，，是上处在自动扶梯顶端点正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，则二楼的层高为 米．（精确到米）．（参考数据：，，） 2．如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面A处测得山顶B的仰角为，然后沿着坡度的坡面走了米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为，求山高（结果保留根号）． 3．某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 4．在水平面上，有两座大楼，分别是，且满足，秋山澪伫立在上．在C处和A处分别有一盏灯，打开灯后秋山澪的影长分别是和，她的身高为，连接，经测量．已知，则秋山澪的身高为多少m？（结果精确到）（参考数据：） 5．如图，利用无人机测量某小区南北大门之间的距离，无人机在处测得北大门上方标志物的俯角为，南大门上方标志物的俯角为，无人机沿方向继续飞行到处，此时测得北大门上方标志物的俯角为．图中，点、、、、、在同一竖直平面内，和均与地面平行．求、之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，，， 6．2025年4月，我国华北地区遭遇极端大风天气，据调查，此次极端天气由异常发展的冷涡系统引发，大风正向华东，华中地区推进．如图是明日香家楼下的场景示意图，在极端大风的作用下，树折断成两部分，段恰好倒在路灯的底端E处，明日香操控机器人爬到点B处，看向路灯顶端D的仰角为，看向路灯底端的俯角为．树折断之前的高度为，请你帮明日香计算出路灯的高（结果保留整数）（参考数据：） 7．某数学兴趣小组为了测量旗杆的高度，首先在地平线处，用高为1米的测角仪器（测角仪器与地平面垂直），测得从处看旗杆顶端A的仰角是，然后，向右离点2米处有一个坡度是的斜坡，沿着斜坡走2.5米到达处，然后，又用1米高的测角仪器（与地平面垂直），测得从看旗杆顶端的仰角是．请问：旗杆多高？（结果保留整数，参考数据：） 8．如图，一楼房后有一假山，其坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为，求楼房的高． 9．【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． (1)求的长度； (2)若，求水的折射率n．（参考数据；，，） 10．周末，天文爱好者们带着天文望远镜（如图1）到郊外观测土星环．这款天文望远镜由可升降的三脚架、镜筒和可旋转的支架组成．镜筒和旋转支架始终垂直，其中镜筒长，旋转支架长，三脚架三条支撑杆长度始终相同且长度可调节．图2，是已经架设好的一个天文望远镜的侧面结构示意图，已知：镜筒仰角，三脚架支撑杆与地面夹角，支撑杆此时长度为，求此时镜头A到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：，，） 11．如图是某机器人的机械臂，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，，，， (1)求机械臂端点C到工作台的距离的长；结果精确到 (2)求的长结果精确到 参考数据：，，，， 12．一场突如其来的病毒，让我们的寒假变得不平凡，在这关键时刻，教育部门决定采取“停课不停学”的网络授课，为了更方便的使用手机听课，有的家长给孩子们购买手机支架．图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动． (1)为了观看舒适，把绕点逆时针旋转，使，如图2，求到直线的距离． (2)在（1）的条件下，再将绕点顺时针旋转，使，求到直线的距离．（结果保留1位小数）（参考数据：） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $