专题07 锐角三角函数与相似三角形的结合4大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07锐角三角函数与相似三角形的结合 目录 典例详解 类型一、作垂线构造直角三角形 类型二、求边长 类型三、求对应边的比例 类型四、有关面积的计算 压轴专练 典例详解 么类型一、作垂线构造直角三角形 【例1】在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=8,∠ABC=60°，E是BC边上的一个动点（不与点B, C重合)，过点E作EF∥AB,交AC于点F,连结AE,设CE=x, (I)用含x的代数式表示△CEF的面积. (2)当△CEF与△ACE相似时，求x的值. 【答案】mg=35 16 1/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 2)x=2 【详解】(1)解：过点C作OM⊥AB于点M, D M B E BC=8,∠ABC=60° :.CM=BCxsin∠ABC=4V5 :.5omc-4BxCM-1x6x45-123 1 2 EF∥AB, .△CEF∽aCBA, ∴S.cBa CB, .123 -16: (2)解：过点C作OM⊥B于点M, D BC=8,∠ABC=60°， .CM=BC×sin∠ABC=4V5BM=BCx cos.∠ABC=4 ∴.AM=AB-BM=2, 2/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :4C=VAM+MC2=V2+45=2, :△CEFACBA, ∴.当△CEF与△ACE相似时，△CBA与△ACE相似， ,∠ACE=∠BCA,∠AEC>∠B, ∴.只有∠CEA=∠CAB,此时△CEAACAB, CE CA CA CB' CE 213 ∴.2W138, 2,即x13 CE= 2 【例2】将一副三角板按如图所示放置，使点A在边DE上，此时BC∥DE A E30 B45· (I)如果平行线BC与DE间的距离为a,用a的代数式表示△ACD的面积. CF (2)求EF的值. 3+5 【答案】(1)6 23+1 【详解】(I)解：过点C作CG⊥AD于点G, A G B450 由题意得∠D=60,∠ECD=90°，∠B=∠ACB=459,∠E=30°，∠BAC=90°，CG=a, 3/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在R△cDG中，DG=CG-5 tan D 3 a, :DE∥BC, ∴.∠DAC=∠ACB=45°， ∴AG= CG tan∠DAc=a, :D=4G+GD=a+ 3a, .S.w-jADxCG-a+5aa3+ aa= 2 2 3 6 (2)解：如图， E30X G D B1450 在RAEGC中，BG=,CG =V3a, tan∠E .AE-EG-AG=a-a=(-1)a 在RIAAGC中，AC=a4G cOS∠DAC =V2a, 同理在等腰R△1BC中，BC=V5AC=2a, DE∥BC, ∴，△AFE∽△BFC 器%品1 【变式1-l】如图AABc中，an∠C-), 二2，DE LAC,若CE=5'DE=I,且△BEC的面积是AADE面积 的10倍，则BE的长度是() 4/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 5 万 A.2 B.2 C.5 D.万 【答案】C 【详解】解：如图，作BF L AC于点F, 则an∠C=BF1 FC 2' 设BF=x,则FC=2x,EF=CE-FC=5-2x, :DE⊥AC,BF⊥AC, .∠AED=∠AFB=90°， 又∠DAE=∠BAF, .△AEDP△AFB DE AE BF AF' 1 AE x AE+5-2x' ·AE=5-2x x-1, :△BEC的面积是△ADE面积的10倍， 1 ×EC×BF=10×二×AE×DE, 2 15-2xx1, 即×5x=10x2Xx-义 整理得x2+3x-10=0, 5/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得5 舍)，本=2 经检验，x=2是原方程的解， .BF=2,EF=5-2×2=1, 由勾股定理得BE=√EF2+BF=VP+2=5 故选C 【变式1-2】如图，在口ABCD中，E、F为对角线DB的三等分点，延长CE,CF分别交DA,AB于点 G,H. E D G (I)求证：DG=GA; (2)诺DA=8,DC=5,tan∠CDMA= 3,求四边形EFHG的面积. 【答案】(1)见解析 .20 2)3 【详解】(I)证明：，四边形DABC是平行四边形， BC∥DA,AD=BC, ∴.△DEGABEC, DE DG ·BEBC) :F,E分别是DB的三等分点， DE 1 ·BE2’ DG 1 ∴BC2' DG 1 ·.AD2 .DG=AG (2)过C作CM⊥DA, 6/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C E D MG :tan∠CDA=4 .DM:CM:CD=3:4:5, ,CD=5, ∴.DM=3,CM=4, 1 .S△D8c=5×8×4=16, EF 1 DB3' 8mx16- 1 3 DC∥AB, ∴.△DCF∽△BHF, CF DF FH BF =2, CE=2, 同理可得：EG CE CF 2 ·cGCH3' ∠ECF=∠GCH, ∴.△ECF∽△GCH, S.CEE- 2 3 4 ∴.S,ccH 3 S△cEE ∴.S四边形EFHG 5 16520 ∴.S四边形EFHG=343· 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用 7/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 相似三角形的性质解决问题是关键 【变式1-3】如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线，且E、F分别在边 BC,AD上 D B (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)若∠ADC=60°，DF=2AF=2,求△GDF的面积. 【答案】(1)见解析 a5a-号5 【详解】(I)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠BAD=∠BCD,AD∥BC, :AE,CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线， BE=∠DaE-BD,∠BCF=∠DcF- ∠BCD. .∠DAE=∠BCF, AD∥BC, ∴.∠DFC=∠BCF, ∴.∠DAE=∠DFC, ∴.AE∥FC, ∴.四边形AECF是平行四边形： (2②)解：由D得∠DrC=∠BCF,∠BCF=∠DCF=∠BCD, ∴，∠DFC=∠DCF, ∠ADC=60°， ∴.△DFC是等边三角形， .∠DFC=60°， ,DF=2AF=2, .DF=DC=CF=2,CE=AF=1, 8/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD∥BC, .△DFG∽△ECG, ,FGDF-2-2, ·cGCE1 :FG-2CF-4 3 3, 作GH⊥DF于点H, A FH 在RtFGH中，∠GH=60,FG- :GH=FG-sim60°=25. 3 ∴.SGDE= 0xoH-2x5-号5 2 3 【点晴】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等 边三角形的判定和性质.正确引出辅助线解决问题是解题的关键， 类型二、求边长 【例3】已知△1C中，B=点1C-3,D是边4C上一点，且1D:DC=1:2,连接8D. C (I)求证：△ABD△ACB, (2)若sin∠ACB=3,试画出符合条件的大致图形，并求BD的长度. 9/45 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)见解析 √6 (2)3或V6. 【详解】(D证明：8=.1C=3,D是边4C上一点，且4D:DC=1:2, 4D-14C=1. 3 AB 3 AD 1 3 .AC3’AB√33 AB AD ·ACAB' ∠A=∠A, ∴.△ABD∽△ACB: (2)如图①，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E, 、B D 图① 在△ACE中， :sin∠ACB=AE=1 AC34C=3 ∴.AE=1, .CE-VAC2-AB-2 BE-VAB-AE= BC-CE-BE-2-= 由(I)可知，△ABDn△ACB, BD AB BC AC :0-BC2x5_6 AC 33, 10/45品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07锐角三角函数与相似三角形的结合 目录 典例详解 类型一、作垂线构造直角三角形 类型二、求边长 类型三、求对应边的比例 类型四、有关面积的计算 压轴专练 典例详解 类型一、作垂线构造直角三角形 【例1】在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=8,∠ABC=60°，E是BC边上的一个动点（不与点B,C 重合)，过点E作EF∥AB,交AC于点F,连结AE,设CE=x· (I)用含x的代数式表示△CEF的面积. (2)当△CEF与△ACE相似时，求x的值. 【例2】将一副三角板按如图所示放置，使点A在边DE上，此时BC∥DE 1/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D B1450 (I)如果平行线BC与DE间的距离为a,用a的代数式表示△ACD的面积. B咪等的险 【变式1】如图ABC中，am∠C=DE1AC,若CE=5,DE=1,且8BC的面积是ADE面积 的10倍，则BE的长度是() E D B C A. 5 2 B.今 C.5 D.√万 2 【变式1-2】如图，在ABCD中，E、F为对角线DB的三等分点，延长CE,CF分别交DA,AB于点G, H. B D (I)求证：DG=GA: ②若DM=8,DC=5,an∠CD1-手，求四边形EFHG的面积 2/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-3】如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线，且E、F分别在边 BC,AD上 A D G B E (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若∠ADC=60°，DF=2AF=2,求△GDF的面积. 在类型二、求边长 【例3】已知ABC中，AB=√5，AC=3,D是边AC上一点，且AD:DC=1:2,连接BD. D (1)求证：△ABD∽△ACB; ②若s$m∠ACB=号，试画出符合条件的大致图形，并求BD的长度。 3/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【例4】如图，正方形ABCD中，M是边CD的中点，N是边BC的中点，连接AM,DN相交于点E,连接 CE并延长，交AD于点F.若EM=I,则DF的长度为() A.⑤ 2 B.25 C.25 D.35 3 5 【变式2-1】如图在RtAABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，在AC上取一点E,使EC=3AE,D为AB中点， EB与DC交于点F,若DB=2V3,∠ADE=30°，则BF的长度是() A.36 2 B.2万 C.& 1 D.35 2 【变式2-2】如图，Rt△ABC与Rt△ABC完全重合，∠B=LB'=90°，AB=6,BC=8,将△A'B'C'绕AC与 A'C'边的中点O旋转，当B'C'∥AC时，则AA'的长度为 【变式2-3】如图，正方形ABCD中，M是边CD的中点，N是边BC的中点，连接AM,DN相交于点E, 连接CE并延长，交AD于点F.若EM=1,则DF的长度为 4/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 类型三、求对应边的比例 【例5】如图，BD、CE是ABC的两条高，连接DE,那么 DE BC 的值为() B A.tanA B.cot A C.sin A D.cosA 【例6】如图，四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD,ED⊥AD,BC⊥AC,且cos∠CBE= 15 ,∠ABE=30°， 16 则AD 的值为() AC A.3 B.3-1 3 C. D. 5 【变式3-1】如图，在ABC中，AB<AC, B (I)尺规作图：求作点D,使得LDBC=∠DCA=∠ACB;(保留作图痕迹，不写作法)： 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2在(1)的条件下，若an∠ACB=,求纪的值 BC BE 【变式3-2】如图所示，AD与BC交于点E,∠BAC=∠ACD=90°，∠B=45°，∠D=30°，则 EC 的值 是 【变式3-3】如图，在△ABD中，AC为BD边上的高.过点C作AD的垂线，垂足为点E.若AB=17,BD=28 ,∠B的余弦值为 8 E D (I)求CE的长. (②)连接BE交边AC于点F,求BF:FE的值. 6/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方类型四、有关面积的计算 【例7】如图，已知ABC,∠BAC=90°， (I)尺规作图：在BC边求作点D,使得∠DAC=∠B(不写作法，保留作图痕迹)： (②)连接AD,若tamB=2 ，求△4DC与ABC的面积比。 【例8】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AE平分∠BAD,交BC于点E,作EF∥AB,交AD于点 F,AE与BF交于点P,连接CF,CF=EF. E (I)求证：四边形ABEF是菱形； Q法BF=45,am∠FBC=方求B的长和8CF的面积. 【变式4-1】如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处.已知折痕AE=5V5cm·且 wan4FFC 7/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (I)求证：△AFB∽△FEC (2)求阴影部分面积. 【变式4-2】如图，点A,B是反比例函数y=(x>0)的图象上的点，过点A作AC1x轴，垂足为C,过 点B作BD⊥x轴，垂足为D,OD=DC,连接AO,BO,AB,线段AO交BD于点E,OA=10, tan∠AoC=3 A E D C (I)求反比例函数的表达式： (②)求四边形EDCA的面积. 【变式4-3】如图，在RtAABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF‖BC 8/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 交BE的延长线于点F. E B D (1)证明：四边形ADCF是菱形； ②若s∠4BC-?,AG=2,求菱形4DCF的面积。 压轴专练 一、单选题 1.如图，将一副三角板按如图方式放置，其中∠ABC=∠DCB=90°，∠A=45°，∠D=30°，两条斜边相交 于点O,则A0B与△C0D的面积之比为() D B. c.3 3 D.} 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,BC=3,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为E,则 DE的长为() 9/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.4 B.g c.32 3 D.22 4 3 3.如图，四边形ABCD为菱形，E为BC上一点，把△DCE沿着DE折叠，点C恰好落在AB延长线上的点 D,DD交BC于点P,4D=5,tan∠A-},则BP的长为() B A.5 B.2 C,5 D.3 6 8 6 4.如图，将三角板ABC和三角板DBC按如图方式放置，其中∠ABC=∠DCB=90°，∠A=45°，∠D=30°， 两条斜边相交于点O,则AOB与△C0D的面积之比为() B A.1:3 B.1:2 C.1:3 D.1:4 5.如图，R1△ABC与R△CDE,直角顶点重合于点C,点D在AB上，∠BAC=∠DEC且sin∠BAC=} 连接AE,若BD=2,AD=7,则AE长为() B.3v2 c. D.4W2 6.将一副三角尺(Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°)如图 10/13