专题09 二次函数的图像与性质6大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题09 二次函数的图象与性质 目录 典例详解 类型一、利用函数的性质与图象求二次函数解析式 类型二、函数值的大小比较 类型三、二次函数的最值问题（分类讨论） 类型四、二次函数的图象与各项系数间的关系 类型五、二次函数与一元二次方程、不等式 类型六、二次函数的面积问题 压轴专练 类型一、利用函数的性质或图像求二次函数解析式 求二次函数解析式时，先根据已知条件选合适的表达式形式： 已知顶点或对称轴、最值，用顶点式（为顶点），代入另一点求； 已知三点坐标，用一般式，代入三点列方程组求解； 已知与轴的两个交点，用交点式，代入另一点求； 若已知图象过原点，可设简化计算。 求出解析式后，可结合函数性质（如对称轴、增减性）或图象特征（与坐标轴交点）验证是否正确。 【例1】已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 【答案】或 【详解】解：∵对称轴是直线，且与x轴的两交点之间的距离为2， ∴由对称性可知，与x轴的交点分别为，， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∴抛物线解析式为， 即抛物线解析式为或． 【例2】抛物线的顶点为，与x轴的两个交点分别为B，C，若是等边三角形，则c的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点D， ∵抛物线的顶点为， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴设抛物线表达式为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线表达式为， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴交点问题，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1-1】二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ， 故答案为：． 【变式1-2】如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，且，则此抛物线的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴C点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 故答案为：． 【变式1-3】函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：当时，， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵函数的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线， ∴，， ∴平移后抛物线的解析式为， 即． 故答案为：． 类型二、函数值的大小比较 【例3】已知二次函数（为常数）的图象上的两点．、，若，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象的对称轴为，开口向上， ∵， ∴，， ∵ ， ，即． 故选：B． 【例4】在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线 (1)若求的值； (2)已知点，在该抛物线上，且比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且 ∴关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线； 故； （2），理由如下： ∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， 又∵抛物线过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在抛物线上， ∴三点到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】点、 在二次函数 的图象上，要比较、的大小，只要把、两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，于是．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数，当自变量分别取，， 时，对应的函数值分别为、、，则、、 的大小关系是 ． 【答案】 【详解】解：二次函数， 二次函数对应的抛物线开口向下， 在该函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的下方， 当自变量分别取，， 时， ， ． 故答案为：． 【变式2-2】二次函数的图象与轴交于点，且． (1)若，时，求，的值； (2)在（1）的条件下，当时，二次函数的最大值为2，求的值； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)，理由见解析 【详解】（1）解：， 所以抛物线为：， 把代入抛物线的解析式可得：， 解得：， ， （2）解：由（1）得：抛物线为 所以对称轴为 ，顶点坐标为，抛物线的开口向下，距离对称轴越近的点的函数值越大， 当时，且，即时， 此时当时，函数值最大， 解得：（不合题意舍去）， ， 当时，且时，即 此时当时，函数值最大， 解得：，（不合题意舍去）， 当，在时，，函数取得最大值，不符合题意． 综上：的值为或. （3）解： ∵ 抛物线的图象与轴交于点，，，且 ， ∴ 【变式2-3】在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且它的对称轴为直线． (1)当时，求的值； (2)如果点，在抛物线上，当时，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，把代入， 则， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ∴点关于对称轴直线的对称点为：， ∵， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧随增大而减小， ∴． 类型三、二次函数的最值问题（分类讨论） 解二次函数最值的分类讨论题，先确定函数开口方向（由二次项系数的正负判断，开口向上有最小值，开口向下有最大值）和对称轴；再根据自变量的取值范围分类：若对称轴在取值范围内，最值在顶点处；若对称轴在取值范围左侧，最值在区间右端点处；若对称轴在取值范围右侧，最值在区间左端点处。计算时需代入对应值求函数值，最后结合分类情况总结结果。 【例5】已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是 ． 【答案】0或7/7或0 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为，最大值为9， ①若，当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ②若，当时，y取得最大值9，不符合题意，舍去； ③若，当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ∴综上所述，常数h的值是0或7． 故答案为：0或7． 【例6】已知二次函数在的最小值为，求m的值． 【答案】或 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线， 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， ∴； 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， ∴． 综上所述，或． 【变式3-1】已知二次函数，当时函数的最小值为，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当时，为最小值， 解得舍或， 当时，时，为最小值， 解得或舍， 故答案为：或． 【变式3-2】已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围是 【答案】 【详解】解：抛物线，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大， ∵点在抛物线上， ∴， ∵当时，总有成立， ∴或， 解得． 故答案为：． 【变式3-3】已知函数 (1)若时，求函数的最小值． (2)若函数在有最小值，求实数的值 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，函数最小值为：， ∴函数最小值为：． （2）解：二次函数的对称轴为， 由题意，分以下三种情况： ①当时，在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为 解得：，符合题意； ②当时，则当时，取得最小值， ， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴； ③当时，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最小值，最小值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上，或． 类型四、二次函数的图象与各项系数间的关系 【例7】已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：①由图象可知：，， ∵， ∴， ∴， 故①错误； ②由图象可知：当时，， ∴， 故②错误； ③由对称知，当时，函数值大于0，即， 故③正确； ④抛物线与x轴有两个交点，则， ∴， 故④错误； ⑤当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∴， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确的结论是：③⑤，共有2个． 故选：A． 【例8】二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的为 ． 【答案】① 【详解】解：由图可知，该抛物线图象开口向下，且对称轴为直线， ，， ， 抛物线交y轴于正半轴， ， ，故①正确，符合题意； 对称轴为直线 ， ， ， ，故②不正确，不符合题意； ，， ， ，故③不正确，不符合题意； 由图象可知，当时，或，故④不正确，不符合题意； 综上所述，正确的为①， 故答案为：①． 【变式4-1】如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③方程的两个根为，；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：由抛物线的开口可知：，由抛物线与y轴的交点可知：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵与轴交于点， ∴与x轴另一个交点， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴交于点和， ∴方程的两根为6和， ∴， ∴， ∴方程转化为， 整理得：， ∴解得：，，故③错误； ∵， ∴P、Q两点分布在对称轴的两侧， ∵， ∴，即到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故④正确． 综上，正确的有①②④． 故选：C． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，下列给出的结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：①由图像可知：，，，，故①正确； ②∵对称轴为， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③由图像可知：当时，，故③错误； ④∵当时，， ∴时，， ∵， ∴，故④正确； ⑤当时，y的值最小．此时，， 而当时，， 所以，即，故⑤正确． 故①②④⑤正确，共4个． 故选：A． 【变式4-3】如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论错误的是（　　） A．abc B． C．9 D．若为任意实数，则 【答案】C 【详解】解：∵图象开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴，故A正确； 设，， ∴，，且， ∴， 解得， ∴，， ∴当时，， ∵， ∴， ，故B正确； ∵对称轴为，， ∴， ∴， ∴， ∴，故C错误； ∵抛物线的开口向上，对称轴为， ∴当时，的值最小， ∴对应任意实数m，都有， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 类型五、二次函数与一元二次方程、不等式 解二次函数与一元二次方程、不等式的综合题，核心是抓三者的联系：二次函数的图象与轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的根（判别式决定交点个数）；不等式（或的解集，就是函数图象在轴上方（或下方）对应的取值范围。解题时先确定函数开口方向（的正负）和与轴的交点，再结合图象位置写方程的根或不等式的解集；若已知方程根或不等式解集，可反向设函数解析式（如交点式），代入条件求系数。 【例9】已知抛物线的顶点在第一象限，与轴一个交点的横坐标为，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的顶点在第一象限，与轴一个交点的横坐标为， ∴抛物线开口向下， ∴，对称轴为直线， ∴， ∵与轴一个交点的横坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【例10】抛物线与直线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)求点A和点B的坐标； (2)直接写出满足的x的取值范围； (3)若时，则的取值范围是______． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为； (2)； (3) 【详解】（1）解：联立得， 解得：， 当时，；当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； （2）解：如图，观察图象可知，当时，抛物线的图象在一次函数图象的下方， 那么满足的x的取值范围为； （3）解：∵，又， 该图象开口向上，对称轴为， ， ∴当时，有最小值，最小值为； 当时，取最大值，最大值为， ∴当时，则的取值范围是， 故答案为：． 【变式5-1】二次函数的部分图象如图，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的另一交点为 ；方程的根为 ． 【答案】 ， 【详解】解：∵对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴与轴的另一交点为， ∵当时，， ∴方程的一个根为， ∵对称轴为直线， ∴方程的另一个根为， 故答案为：；，． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点和点在抛物线上，且，直接写出的取值范围； (3)若直线经过、两点，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：把点，分别代入，得 ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）由（1）得抛物线的对称轴为：，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 解得：； （3）由函数图像得，当或时，一次函数图像在二次函数图像得下方， ∴的解集为或． 【变式5-3】已知二次函数 (1)请用“五点作图法”画出函数图象； (2)若点在此抛物线上，则m的值是______； (3)根据图象直接写出函数值小于3时，x的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【详解】（1）解：在中，当时，，故与轴的交点坐标为， 当时，，解得：，，故与轴的交点坐标为，， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的交点坐标关于对称轴对称的点的坐标为， 画出函数图象如图所示： （2）解：∵点在此抛物线上， ∴， ∴， 解得或， ∴m的值是或； （3）解：由图象可得：函数值小于3时，x的取值范围是或． 类型六、二次函数的面积问题 【例11】如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴符合题意， 故选：A． 【例12】如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与y轴交于点C，与x轴交于点D． (1)______，______，______． (2)求的面积； (3)点P是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)1，2， (2)3 (3)或 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得：． ∴二次函数关系式为：， 将代入得：， ∴． ∵点，在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：1，2，； （2）解：由（1）可知一次函数关系式， 当时，， 则一次函数与y轴交点坐标为， ∴，点A横坐标为，点B的横坐标为， ∴，, ∴， ∴的面积为3； （3）解：当时，,， 则一次函数与x轴交点坐标为， 设， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的图像，一次函数图像上的点的坐标特征，待定系数求二次函数，一次函数的解析式解析式，求一次函数解析式，面积问题，求得解析式是解题的关键． 【变式6-1】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)坐标系内有点，，其中分别为方程的两个解，若点是二次函数上的一点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：对于一元二次方程来说， ∵， 故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵分别为方程的两个解， ∴， ∴， 设点， 则， ∵， ∴， 即的最小值为． 【变式6-2】如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【详解】（1）解：令，即， 解得，， ∴点的坐标为； （2）解：设点， 由（1）知，， ∴， 即，解得， ∴， 当时，即， 整理可得，解得， 此时点的坐标为； 当时，即， 整理可得， ∴， ∴，， 此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或． 【变式6-3】如图，已知抛物线经过、两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点Q为抛物线上一点，若，求出此时点Q的坐标． 【答案】(1) (2)，或 【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点， ∴设抛物线解析式为 将代入得， 解得 ∴； （2）解：∵两点， ∴， 设点Q的纵坐标为m， ∵， ∴，即， 解得：， 当，有， 解得：或， ∴点Q的坐标为，； 当，有， 解得： ∴点Q的坐标为 综上，点Q的坐标为，或． 1．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 【答案】或 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即， 解得， 当即时，时取最大值， 即， 则，解得， 方程的解不在的取值范围里，不符合题意； 当时即，时取最大值，即， 解得 综上，的值为或， 故答案为：或． 2．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： … … … … 且当时，．有以下结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在和之间；④若点和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【详解】解：由和时，， ∴对称轴为，即，得， 当时，， 当时，， 则， ∴，故，结论①错误； ∵关于直线对称，代入得，，∴， 由时，， 解得， 故，结论②正确； 时，， 时，，故方程正根在1和2之间， ∵抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴当时，， 故正根在1和之间，结论③错误． ∵抛物线开口向下时，点离对称轴越近y越大，横坐标，横坐标， 当时，，离对称轴更近， 故，结论④正确 综上，正确结论为②④， 故选：D． 3．抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有 （填序号）． ①；②；③若是方程的两个根，则． 【答案】①②③ 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点A在点和之间，抛物线开口向下， ，，即， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，则当时，函数值为负， ∴，即， ∴，故②正确． ∵是方程的两个根， ∴是直线与抛物线两个交点的横坐标， ∴，故③正确． 故答案为：①②③． 4．如图，二次函数的图象与轴的一个交点是，顶点是，根据图象回答下列问题： (1)方程的两个根为___________； (2)方程的根为___________； (3)不等式的解集为___________； (4)若方程无解，则的取值范围为___________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴的一个交点是，顶点是， 二次函数的图象与轴的另一个交点是， 方程的两个根为，； 故答案为：，； （2）解：二次函数的图象的顶点是， 即当时，， 方程的根为； 故答案为：； （3）解：观察图象可知，不等式的解集为； 故答案为：； （4）解：若方程无解，即二次函数与直线没有交点， ， 故答案为：． 5．二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则： （1）的值为 ； （2）的值为 【答案】 / 【详解】解：把，，代入， 得，解得， ∴； 故答案为：； （2）由（1）知， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)当时，求的值； (2)点，，在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解：由题意，抛物线为， 对称轴是直线． 又， ． （2）解：由（1）对称轴是直线， ． 又， ． 抛物线开口向上， 抛物线上点离对称轴越近函数值越小． 点，，在该抛物线上，且对称轴是直线， ，，． ， ，． ． ． 7．已知抛物线是过点，当，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求抛物线的解析式； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的对称轴为直线， ， ． 抛物线经过点， ． 此二次函数的解析式为； （2）解：抛物线与坐标轴交于点， ，即， ，， ， ， ， ， ，， ， ∴． 8．如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3) 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为． 又， 点的坐标为， 代入表达式，得， 解得， 抛物线的表达式为，即； （2）解：令，则， 解得， 点的坐标为， ， ， 是直角三角形； （3）解：设直线的表达式为， 将点，点的坐标代入，得： ， 解得， 直线的表达式为； 设， 如图，作轴交于点，则， ， ， 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的面积综合，一次函数的解析式，二次函数的解析式，勾股逆定理，两点间的距离公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．如图，抛物线（为常数且）与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断直线与抛物线的交点个数，并说明理由． (3)当时，有最大值，求的值． 【答案】(1)该抛物线的解析式为； (2)直线与抛物线有两个交点，理由见解析； (3)的值为或． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：直线与抛物线有两个交点，理由： 由得， 整理得， ∴， ∴方程两个不相等的实数根， ∴直线与抛物线有两个交点． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 根据题意可得或， 解得或， ∴的值为或． 10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，， ∴点，， 将点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）解：将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P． 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线， 联立， 解得，， ∴点； （3）解：过点P作轴，交于点E． 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵设，则， ∴， ∵点M，N的横坐标分别为m，， ∴， ∴， 当时，，解得或； 当时，，解得或． ∴当时，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式理解坐标与图形性质是解题的关键． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次函数的图象与性质 目录 典例详解 类型一、利用函数的性质与图象求二次函数解析式 类型二、函数值的大小比较 类型三、二次函数的最值问题（分类讨论） 类型四、二次函数的图象与各项系数间的关系 类型五、二次函数与一元二次方程、不等式 类型六、二次函数的面积问题 压轴专练 类型一、利用函数的性质或图像求二次函数解析式 求二次函数解析式时，先根据已知条件选合适的表达式形式： 已知顶点或对称轴、最值，用顶点式（为顶点），代入另一点求； 已知三点坐标，用一般式，代入三点列方程组求解； 已知与轴的两个交点，用交点式，代入另一点求； 若已知图象过原点，可设简化计算。 求出解析式后，可结合函数性质（如对称轴、增减性）或图象特征（与坐标轴交点）验证是否正确。 【例1】已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 【例2】抛物线的顶点为，与x轴的两个交点分别为B，C，若是等边三角形，则c的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为 ． 【变式1-2】如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，且，则此抛物线的表达式为 ． 【变式1-3】函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为 ． 类型二、函数值的大小比较 【例3】已知二次函数（为常数）的图象上的两点．、，若，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较的大小 【例4】在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线 (1)若求的值； (2)已知点，在该抛物线上，且比较的大小，并说明理由． 【变式2-1】点、 在二次函数 的图象上，要比较、的大小，只要把、两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，于是．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数，当自变量分别取，， 时，对应的函数值分别为、、，则、、 的大小关系是 ． 【变式2-2】二次函数的图象与轴交于点，且． (1)若，时，求，的值； (2)在（1）的条件下，当时，二次函数的最大值为2，求的值； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且它的对称轴为直线． (1)当时，求的值； (2)如果点，在抛物线上，当时，比较和的大小，并说明理由． 类型三、二次函数的最值问题（分类讨论） 解二次函数最值的分类讨论题，先确定函数开口方向（由二次项系数的正负判断，开口向上有最小值，开口向下有最大值）和对称轴；再根据自变量的取值范围分类：若对称轴在取值范围内，最值在顶点处；若对称轴在取值范围左侧，最值在区间右端点处；若对称轴在取值范围右侧，最值在区间左端点处。计算时需代入对应值求函数值，最后结合分类情况总结结果。 【例5】已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是 ． 【例6】已知二次函数在的最小值为，求m的值． 【变式3-1】已知二次函数，当时函数的最小值为，则的值为 ． 【变式3-2】已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围是 【变式3-3】已知函数 (1)若时，求函数的最小值． (2)若函数在有最小值，求实数的值 类型四、二次函数的图象与各项系数间的关系 【例7】已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例8】二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的为 ． 【变式4-1】如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③方程的两个根为，；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，下列给出的结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-3】如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论错误的是（　　） A．abc B． C．9 D．若为任意实数，则 类型五、二次函数与一元二次方程、不等式 解二次函数与一元二次方程、不等式的综合题，核心是抓三者的联系：二次函数的图象与轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的根（判别式决定交点个数）；不等式（或的解集，就是函数图象在轴上方（或下方）对应的取值范围。解题时先确定函数开口方向（的正负）和与轴的交点，再结合图象位置写方程的根或不等式的解集；若已知方程根或不等式解集，可反向设函数解析式（如交点式），代入条件求系数。 【例9】已知抛物线的顶点在第一象限，与轴一个交点的横坐标为，若，则的取值范围是 ． 【例10】抛物线与直线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)求点A和点B的坐标； (2)直接写出满足的x的取值范围； (3)若时，则的取值范围是______． 【变式5-1】二次函数的部分图象如图，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的另一交点为 ；方程的根为 ． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点和点在抛物线上，且，直接写出的取值范围； (3)若直线经过、两点，直接写出关于的不等式的解集． 【变式5-3】已知二次函数 (1)请用“五点作图法”画出函数图象； (2)若点在此抛物线上，则m的值是______； (3)根据图象直接写出函数值小于3时，x的取值范围是______． 类型六、二次函数的面积问题 【例11】如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 【例12】如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与y轴交于点C，与x轴交于点D． (1)______，______，______． (2)求的面积； (3)点P是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点P的坐标． 【变式6-1】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)坐标系内有点，，其中分别为方程的两个解，若点是二次函数上的一点，求的最小值． 【变式6-2】如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【变式6-3】如图，已知抛物线经过、两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点Q为抛物线上一点，若，求出此时点Q的坐标． 1．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 2．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： … … … … 且当时，．有以下结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在和之间；④若点和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 3．抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有 （填序号）． ①；②；③若是方程的两个根，则． 4．如图，二次函数的图象与轴的一个交点是，顶点是，根据图象回答下列问题： (1)方程的两个根为___________； (2)方程的根为___________； (3)不等式的解集为___________； (4)若方程无解，则的取值范围为___________． 5．二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则： （1）的值为 ； （2）的值为 6．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)当时，求的值； (2)点，，在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 7．已知抛物线是过点，当，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求抛物线的解析式； (2)比较与的大小． 8．如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 9．如图，抛物线（为常数且）与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断直线与抛物线的交点个数，并说明理由． (3)当时，有最大值，求的值． 10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $