重难点专训02 平面向量中的最值及范围问题（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点专训02 平面向量中的最值及范围问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：利用三角向量不等式求最值范围 2 题型二：利用几何意义法求最值范围 2 题型三：利用基底法或坐标法求最值范围 3 题型四：利用几何法求最值范围 4 题型五：平面向量中参数的最值范围 4 题型六：利用极化恒等式求最值范围 5 重难专题分层过关练 6 巩固过关 6 创新提升 7 一、平面向量求最值范围 平面向量中的范围与最值问题是兼具热度与难度的考点，这类题目融合多个知识点，展现了知识间的交叉关联。常见形式为依据给定条件，求解向量的模、数量积、夹角或相关系数等变量的范围或最值。解决这类问题通常有两种思路： 一种是 “几何化”，即借助平面向量的几何意义，先把问题转化为平面几何里的最值或取值范围问题，再结合平面图形的特点直接判断结果； 一种是 “代数化”，即通过平面向量的坐标运算，先将问题转化为代数领域中函数的最值与值域、不等式的解、方程的可解性等问题，进而运用函数、不等式、方程的相关知识来求解。 二、三角向量不等式 ，当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． 特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． 三、极化恒等式 ①平行四边形形式：若在平行四边形中，则 ②三角形形式：在中，为的中点，所以 题型一：利用三角向量不等式求最值范围 典例1-1．已知|，，求的范围； 典例1-2．已知，且．点是所在平面内的动点，满足．则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 变式1-1．设为单位向量，若向量满足，则的最大值是 ． 变式1-2．已知为等边三角形，，所在平面内的点满足的最小值为 ． 题型二：利用几何意义法求最值范围 典例2-1．已知中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例2-2．美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ． 变式2-2．已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是 ． 题型三：利用基底法或坐标法求最值范围 典例3-1．在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 典例3-2．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 变式3-1．已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 题型四：利用几何法求最值范围 典例4-1．已知O为坐标原点，，设动点C满足，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 典例4-2．已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 变式4-1．已知、、为平面向量，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式4-2．设平面向量满足与的夹角为且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型五：平面向量中参数的最值范围 典例5-1．如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，是（不含边界）内的动点，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 典例5-2．设为的边中线上一点，若，则的最大值为 . 变式5-1．（多选）在等腰梯形中，，P是线段上的一个动点，且，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．n的取值范围是 C．是定值 D．的最大值是 变式5-2．如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 题型六：利用极化恒等式求最值范围 典例6-1．已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 . 典例6-2．如图，是圆O的一条直径且，是圆O的一条弦，且，点P在线段上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 变式6-1．在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式6-2．如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固过关 1．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知是单位圆上的两点，为圆心，且，是的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3．（多选）若平面向量满足，，且，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 4．已知向量满足，且对任意的，都有，则的最大值是 ． 5．已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 6．已知向量，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 7．已知是圆上两个动点，点坐标为，若点满足四边形是矩形，则的取值范围是 . 创新提升 1．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，为的中点，点在正方形内（不含边界），则的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 2．已知平面内的三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时， . 3．如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为 .    4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为 ．    4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 平面向量中的最值及范围问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：利用三角向量不等式求最值范围 2 题型二：利用几何意义法求最值范围 3 题型三：利用基底法或坐标法求最值范围 6 题型四：利用几何法求最值范围 8 题型五：平面向量中参数的最值范围 11 题型六：利用极化恒等式求最值范围 14 重难专题分层过关练 17 巩固过关 17 创新提升 21 一、平面向量求最值范围 平面向量中的范围与最值问题是兼具热度与难度的考点，这类题目融合多个知识点，展现了知识间的交叉关联。常见形式为依据给定条件，求解向量的模、数量积、夹角或相关系数等变量的范围或最值。解决这类问题通常有两种思路： 一种是 “几何化”，即借助平面向量的几何意义，先把问题转化为平面几何里的最值或取值范围问题，再结合平面图形的特点直接判断结果； 一种是 “代数化”，即通过平面向量的坐标运算，先将问题转化为代数领域中函数的最值与值域、不等式的解、方程的可解性等问题，进而运用函数、不等式、方程的相关知识来求解。 二、三角向量不等式 ，当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． 特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． 三、极化恒等式 ①平行四边形形式：若在平行四边形中，则 ②三角形形式：在中，为的中点，所以 题型一：利用三角向量不等式求最值范围 典例1-1．已知|，，求的范围； 【详解】（1）法一： ∴. 法二： ∴ 典例1-2．已知，且．点是所在平面内的动点，满足．则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】在中，由，得， 因此 ， 当且仅当与同向，且时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 变式1-1．设为单位向量，若向量满足，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】试题分析：因为向量满足，所以，当所以＋≤＝，当且仅当＝，即时等号成立，所以的最大值． 考点：1、平面向量模的运算性质；2、平面向量的运算． 变式1-2．已知为等边三角形，，所在平面内的点满足的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】 则 （当且仅当与方向相反时等号成立） 故答案为： 题型二：利用几何意义法求最值范围 典例2-1．已知中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，外接圆半径为， 如下图，外接圆中连接，可得，， 所以， 当反向共线时最小，最小值为；当同向共线时最大，最大值为20， 所以. 故选：D 典例2-2．美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切， 切点为与右半圆相切，切点为. ，其中为在上的投影， 因为，所以. 当与重合时，最大，最大值为， 此时取得最大值，最大值为； 当与重合时，最小，最小值为， 此时取得最小值，最小值为； 故的取值范围是， 故选：B 变式2-1．边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ． 【答案】1 【详解】由题，作图如下 因为，所以为线段中点， 由边长为1的正六边形ABCDEF，知， 因为点P是正六边形ABCDEF内部一点（包含边界）， 显然，当点与点重合时，在方向上的投影最大，且两者同向共线， 又因为， 所以 故答案为：1. 变式2-2．已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图，由数量积几何意义，当C为G或F时，数量积最大， 此时； 当C为D或E时，数量积最小， 此时. 故答案为： 题型三：利用基底法或坐标法求最值范围 典例3-1．在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故．    故选：D． 典例3-2．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：A 变式3-1．已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则, 则,，所以， 故， 故， 由于，故，故， 故选：C    变式3-2．直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 题型四：利用几何法求最值范围 典例4-1．已知O为坐标原点，，设动点C满足，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，所以点C在圆O：的内部或圆周上， 又动点P满足， 所以当A，C，P三点不重合时，点P的轨迹是以为AC直径的圆，如图： 当点C在圆O内时，延长AC交圆O于点D，设AC的中点为M，AD的中点为N， 则，，， 当点C在圆O上时，M，N两点重合，C，D两点重合，所以， 当且仅当点C在圆O上时取等号，则，当且仅当O，M，P三点共线时取等号， 因为， 当且仅当M，N重合时取等号，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，此时， 所以，当且仅当O，M，P三点共线且点C在圆与y轴的交点处时取等号， 所以的最大值为， 故选：A． 典例4-2．已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】如图：不妨设，，，，， 又，即， 也即动点到两定点的距离之和等于，故点的轨迹为线段， 又因，即，即， 故点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆， 而， 当且仅当为的延长线与圆的交点时等号成立（即图中的或处）， 故要求的最大值，只需求的最大值，由图可知，当与或重合时最大， 此时，故的最大值为. 故选：D      变式4-1．已知、、为平面向量，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为， 不妨设，，， 又非零向量与的夹角为，则，故在直线上运动（除去原点）， 又向量满足， 则即，故在圆上运动， 又到直线的距离为， 则的最小值是． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：在直线上运动（除去原点），在圆上运动，根据圆上的点到直线的距离的最值的求解方法即可得解. 变式4-2．设平面向量满足与的夹角为且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意建立如图所示平面直角坐标系，    不妨令，因为与的夹角为 所以，所以， 设，则，， 由，所以， 即，即， 即点表示以为圆心，为半径的圆，又 所以； 故选：A 题型五：平面向量中参数的最值范围 典例5-1．如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，是（不含边界）内的动点，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，分别取，的中点，，连接交于， ，分别是，的中点，， ，，则在线段（不含端点）上. ，， ，则， 同理，， .即的取值范围为. 故选：D. 典例5-2．设为的边中线上一点，若，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】因为为的中点，所以, 则， 因为三点共线，所以， （当且仅当，即，时，等号成立），故. 故答案为： 变式5-1．（多选）在等腰梯形中，，P是线段上的一个动点，且，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．n的取值范围是 C．是定值 D．的最大值是 【答案】BCD 【详解】设，， 则. 因为，所以， 所以，故A错误，B，C，D正确. 故选：BCD. 变式5-2．如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为,所以, 因为在一条直线上，所以, 所以,当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型六：利用极化恒等式求最值范围 典例6-1．已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 . 【答案】 【详解】∵ ∴设， 又∵， ∴、、三点共线，的最小值即的最小值为. 由图可得，当时，有最小值， 又∵，，， ∴，即， 由余弦定理，。 设为中点，由极化恒等式， ， ∴当取最小值时，有最小值。 ∵为边上任意一点， ∴当时，有最小值。 设，过点作于点，则， 又∵，为的中位线， ∴。 即。 故答案为： 【点睛】本题考查了平面向量三点共线定理和极化恒等式的运用，遇到两个带系数的向量相加时，可以看看是否能将其中一个向量转换成另一向量从而将系数凑成定值，再运用平面向量三点共线定理。本题属于难题。 典例6-2．如图，是圆O的一条直径且，是圆O的一条弦，且，点P在线段上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 为使最小，只需最小， 所以只需，根据圆的性质可得，此时为中点， 又，因此， 所以的最小值为. 故选：B 变式6-1．在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】取的中点，则， 可得， ∵，当且仅当在线段上时，等号成立， 故， 显然当时，取到最小值， ∴， 故. 故选：B. 变式6-2．如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：由题意，，且，， 所以，， 所以， 易知，当时，最小， 所以，即，解得， 故的最小值为． 故选：B． 巩固过关 1．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知. 由，两边同时平方得，化简整理得. 因为对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立， 所以，所以. 所以， 当且仅当向量与方向相反时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 2．已知是单位圆上的两点，为圆心，且，是的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    如图，因点在圆内，且满足， 由平面向量基本定理，可知点为线段上的一点， 因，且是的一条直径， 将等式两边取平方： ，因，则. 由图知，， 故的取值范围是. 故选：C 3．（多选）若平面向量满足，，且，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】方法一，由，得， 则当向量方向相同，且与方向相反时，有最小值，为； 当向量方向相同时，有最大值，为．A，B正确． 由，得，所以， 所以方向相同时，取最小值取最小值3； 当方向相反时，取最大值取最大值．C错误，D正确． 方法二，由题意，设， 则由得， 若取， 则， 若取，则 所以C错误，A，B，D正确． 故选：ABD. 4．已知向量满足，且对任意的，都有，则的最大值是 ． 【答案】12 【详解】因为对任意，都有，如图，由图可知， ，又，所以， 又， 所以，即，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值是12． 故答案为：12    5．已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 【答案】 【详解】 进而化简得 将代入上式， 得. 又因为，故，代入上式化简， 得 故当时，取最小值，即模的最小值为. 故答案为：. 6．已知向量，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】因为， 由向量线性运算法则可得、、所在有向线段构成等边三角形，如图， 设，，，则为等边三角形， 取D为AB的中点，则方向为的方向或反向，且， 因为，以C为起点，方向或反向作， 结合图象可知的最小值为． 故选：C 7．已知是圆上两个动点，点坐标为，若点满足四边形是矩形，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】如图，连接，设与交于点， 因为四边形是矩形，则，． 连接，在中，， 所以， 所以，即， 所以，所以， 故答案为：. 创新提升 1．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，为的中点，点在正方形内（不含边界），则的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】   为的中点，设，，，，， ，，， 过作于，过作于，过作于， ，，，，， ，，， ，，，过作于，，，， 又，，. 故选：D 2．已知平面内的三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时， . 【答案】 【详解】令， 由，所以是边长为2的等边三角形， 且，则原点在以为直径的圆周上（不与重合），为圆心，如下图示， 若，则， 所以要使最大，只需尽量小，且点在其轨迹的左上部， 所以，仅当与点轨迹左上部相切时最小，即如图中时，最小， 由，故. 故答案为： 3．如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为 .    【答案】4 【详解】因为，， 所以， 因为为等边三角形，，所以， 设向量，的夹角为， 则， 所以， 又当时，因为，故，， 因为，所以， 此时，的夹角为，等号成立， 所以的最大值为， 故答案为： 4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为 ．    【答案】 【详解】以A为原点建立直角坐标系，方向为x轴正半轴，方向为y轴正半轴，    则，，，则，， 设（），则圆方程为， 设，则， ， 可得，， 所以，其中， 当，，取得最大值， 当，，取得最小值， 所以的取值范围为． 故答案为：. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $