重难点专训02 数列中的插项、公共项、取整及存在性问题（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点专训02 数列中的插项、公共项、取整及存在性问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：插项构成等差（比）数列 2 题型二：混合插项 5 题型三：公共项数列 8 题型四：取整数列 11 题型五：存在类数列 13 题型六：放缩法证数列不等式 16 重难专题分层过关练 19 巩固过关 19 创新提升 28 一、插项数列 1.插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2.插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3.插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 二、公共项数列 在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法： 1.不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； 2.周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 三、常见的数列放缩不等式 ①；②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． 题型一：插项构成等差（比）数列 典例1-1．在与中间插入个数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记为，数列满足，则 . 典例1-2．已知数列的前n项和为，． (1)求的通项公式； (2)在相邻两项中间插入相邻两项的等差中项，求所得新数列的前项和． 变式1-1．已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 变式1-2．已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 . 题型二：混合插项 典例2-1．已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值． 典例2-2．数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，在和中插入个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前50项和. 变式2-1．已知数列满足，公差不为0的等差数列满足成等比数列， (1)证明：数列是等比数列． (2)求和的通项公式． (3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列，求中前60项的和． 变式2-2．已知等比数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列记数列的前n项和为，若，求n的最小值． 题型三：公共项数列 典例3-1．等差数列的前n项和为，，数列的通项．将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前50项和为（   ） A． B． C． D． 典例3-2．等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 变式3-1．把数列与的所有公共项去掉，剩余的项从小到大排序得到数列，则数列的前202项和为 . 变式3-2．已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列. (1)求与的通项公式； (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和. 题型四：取整数列 典例4-1．对于实数，用表示不超过的最大整数，如，，若，，为数列的前项和，则为（   ） A． B． C． D． 典例4-2．设为数列的前项和，已知，. (1)求和的值； (2)求数列的通项公式； (3)记表示不超过的最大整数，设，求数列的前2025项和. 变式4-1．函数称为取整函数，也称高斯函数．其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．设函数，的所有函数值的个数为，比如，，所以．若数列的前n项和为，则 ． 变式4-2．已知正项数列的前n项和为，且． (1)求； (2)设表示不超过x的最大整数，例如，，求． 题型五：存在类数列 典例5-1．已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 典例5-2．在已知数列中， (1)求数列的通项公式. (2)数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由. 变式5-1．已知数列的前n项和为，，是公比为3的等比数列． (1)求与； (2)设，求数列的前k项和； (3)判断是否存在正整数s，t，r（），使得，，成等差数列？若存在，写出s，t，r的一组值；若不存在，请说明理由． 变式5-2．记数列的前n项和为，已知， (1)求的通项公式; (2)是否存在m和k，使得是和的等差中项?若存在，求出m和k的值;若不存在，请说明理由. 题型六：放缩法证数列不等式 典例6-1．记为数列的前项和，已知，是公差为2的等差数列. (1)求证为等比数列，并求的通项公式； (2)证明：. 典例6-2．已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，，．证明：． 变式6-1．已知正项数列的前n项和为，且，，，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 变式6-2．已知数列满足. （1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由； （2）设，求数列的前项的和； （3）设，数列的前项的和为.求证：对任意. 巩固过关 1．已知，将数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列，组成一个新数列，则数列的前项和为 ． 2．已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于 ． 3．已知数列满足，在之间插入个，连同的项构成数列，则数列的前200项的和为 . 4．已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）证明：． 5．记等差数列的公差为，前项和为，已知，且． (1)求：； (2)设，其中为不超过的最大整数，求的前项和． 6．已知数列满足，，令. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 7．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设单调递增的等差数列满足，且成等比数列. （i）求的通项公式； （ii）设，证明：. 8．已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式及； (2)记，，当时，比较与的大小； (3)是否存在实数，使得对任意的正整数，，都有成立？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由． 9．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 10．已知各项均为正数的数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和；是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； 创新提升 1．（多选）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，则下列说法正确的是（    ） A．当时，数列单调递增 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 2．若为关于x的方程的实数根，且．若，其中表示不超过x的最大整数．记数列的前n项和为，有恒成立，则实数 的取值范围为 ． 3．已知数列各项均为正数，，且对任意的，有． (1)求的值； (2)若，是否存在，使得？若存在，试求出的最小值；若不存在，请说明理由． 4．已知二次函数.数列的前项和为，点，在二次函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围； (3)在数列中是否存在这样一些项：，，，，这些项都能够构成以为首项，为公比的等比数列？若存在，写出关于的表达式；若不存在，说明理由. 5．，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”．已知． (1)证明：存在源数列； (2)①若恒成立，求的取值范围； ②记的源数列为，前项和为．证明：． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 数列中的插项、公共项、取整及存在性问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：插项构成等差（比）数列 2 题型二：混合插项 5 题型三：公共项数列 8 题型四：取整数列 11 题型五：存在类数列 13 题型六：放缩法证数列不等式 16 重难专题分层过关练 19 巩固过关 19 创新提升 28 一、插项数列 1.插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2.插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3.插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 二、公共项数列 在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法： 1.不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； 2.周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 三、常见的数列放缩不等式 ①；②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． 题型一：插项构成等差（比）数列 典例1-1．在与中间插入个数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记为，数列满足，则 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为则， 于是， ，则得，依题意， ， 故， 因，则 故由可得，. 故答案为：. 典例1-2．已知数列的前n项和为，． (1)求的通项公式； (2)在相邻两项中间插入相邻两项的等差中项，求所得新数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得． 两式相减并由得到． 特别地，取，则由知． 所以是以2为首项，公比为2的等比数列， 则． 所以的通项公式是． （2）设数列满足． 记的前项和为，则． 由等比数列的求和公式得：，． 所以． 即新数列的前项和． 变式1-1．已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设数列的公比为q， 由，，成等差数列可得， 故，解得， 由可得，解得， 故，即数列的通项公式为，. （2）由（1）知，所以，则， 所以①， ②， 由①－②得： ，所以. 变式1-2．已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设等差数列的首项为，公差为. 由，得： 由，得： 将代入上式：化简得： 因此，公差，通项公式为： 在与之间插入个数，构成项的等差数列，其公差为： 设，则 故，所以单调递增，最小值为. 数列的最小值：，当时，. 对任意，存在，使得.由于且，只需保证，即. 故答案为：. 题型二：混合插项 典例2-1．已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）当时，且，解得， 当时，， ∴， 即，则， ∵，则，所以， ∴是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 设数列的公比为，则， 即，解得：，所以； （2）根据题意，在与之间插入个1， 即在1和2之间插入个1；在2和3之间插入个1； 在3和4之间插入个1；在4和5之间插入个1； 在5和6之间插入个1， 到6时，恰好有项，故． 典例2-2．数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，在和中插入个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前50项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）当时，； 当时，，得， 所以，又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，得，即． （2）由题意得，在新数列中，从到，共插入了项， 共项. 当时，；当时，， 所以，在新数列前50项中，有的前9项，新插入的等差数列前41项. ． 变式2-1．已知数列满足，公差不为0的等差数列满足成等比数列， (1)证明：数列是等比数列． (2)求和的通项公式． (3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列，求中前60项的和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【详解】（1）数列中，， 则，而， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为； （2）由（1）知，，， 所以数列的通项公式为. 设等差数列的公差为， 由成等比数列，得， 即，则有， 又，即，于是， 所以数列的通项公式为； （3）依题意，数列中，前有数列中的前项，有数列中的前项， 因此数列中，前共有项， 当时，， 当时，， 因此数列的前项中有数列中的前项，有数列中的前项， 所以 . 【点睛】关键点点睛：根据等差数列的前项和公式判断中的项数，应用等比数列和等比数列前项和公式进行求解. 变式2-2．已知等比数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列记数列的前n项和为，若，求n的最小值． 【答案】(1) (2)15 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以. （2）因为 所以， ， 所以， 两式相减得： ， 所以， 易知随着增大而增大， 当时，， 当时，， 而 综上，的最小值为. 题型三：公共项数列 典例3-1．等差数列的前n项和为，，数列的通项．将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前50项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列公差为，又因为，所以，所以， 所以，且都是奇数， 所以，所以将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列， 所以数列的前50项和为的前50项和， 所以. 故选：B. 典例3-2．等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 【答案】(1)， (2)4231 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则， 因， 则当时，，    两式作差得，即， 令，得，则，满足上式，则， 综上，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得，，且， 经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为， 从而数列中去掉的是这4项， 所以. 变式3-1．把数列与的所有公共项去掉，剩余的项从小到大排序得到数列，则数列的前202项和为 . 【答案】49609 【详解】与的第一个公共项为是公差为3的等差数列，是公差为4的等差数列，则两数列的公共项构成首项为8，公差为12的等差数列，即数列， 两数列去掉公共项后，剩余的项从小到大排序为，且每两个被去掉的相邻的公共项之间有5项， 分别求和得，,， 可以看到每相邻5项的和依次构成首项为70，公差为60的等差数列. 因为，所以的前202项和为. 故答案为：. 变式3-2．已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列. (1)求与的通项公式； (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以. 依题意，，， 解得，所以. （2）数列和的公共项从小到大依次为，，，，…， 所以，，，，…,构成首项为2，公比为4的等比数列， 所以， 则. 题型四：取整数列 典例4-1．对于实数，用表示不超过的最大整数，如，，若，，为数列的前项和，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，，，， ，，， ，，， ，， ，，，， ． 故选：A 典例4-2．设为数列的前项和，已知，. (1)求和的值； (2)求数列的通项公式； (3)记表示不超过的最大整数，设，求数列的前2025项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）数列，，，当时，，解得， 当时，，即，所以. （2）数列，，当时，， 两式相减得，即，而，则， 即，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以. （3）由（2）得， ①当时，，即，， 则； ②当且时，不是整数， 设，则， 则，，得， 因此， 在上，，， 所以. 变式4-1．函数称为取整函数，也称高斯函数．其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．设函数，的所有函数值的个数为，比如，，所以．若数列的前n项和为，则 ． 【答案】 【详解】当，， 若，则此时，故，此时； 若，此时， 在上的函数值为， 所有函数值的个数为， 故在上所有函数值的个数为， 故， 故， 故答案为：. 变式4-2．已知正项数列的前n项和为，且． (1)求； (2)设表示不超过x的最大整数，例如，，求． 【答案】(1) (2)24 【详解】（1）数列中，，，则当时，，即，解得， 当时，，于是， 即，整理得，而，则， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以通项公式. （2）由（1）知，当，2时，；当，4，5时，； 当，7时，；当，9，10时，；当，12时，， 所以. 题型五：存在类数列 典例5-1．已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【详解】设， 因为． 若数列是等比数列，则必须有（常数）， 即，即. 此时， 所以存在实数，使数列是等比数列． 典例5-2．在已知数列中， (1)求数列的通项公式. (2)数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）由题意得，， 所以成等比数列，故； ，而， 所以成等比数列，故，故； （2）设中存在不同的三项恰好成等差数列， ①若均为奇数，不妨设，则，即， 得，因为是奇数，是偶数，故不可能成立； ②若二奇一偶，不妨设为奇数，为偶数， 则为偶数，为奇数，则，即， 因为被3除余2，同理也被3除余2， 故被3除余1，而为3的倍数，故不可能成立； ③若一奇二偶，不妨设为偶数，为奇数，则为奇数，为偶数， 则，即， 因为为3的倍数，不是3的倍数（被3除余1），故不可能成立； ④若均为偶数，不妨设，则，即， 得，因为被3除余是3的倍数，故不可能成立， 综上中不存在不同的三项恰好成等差数列. 变式5-1．已知数列的前n项和为，，是公比为3的等比数列． (1)求与； (2)设，求数列的前k项和； (3)判断是否存在正整数s，t，r（），使得，，成等差数列？若存在，写出s，t，r的一组值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为是公比为3的等比数列，且， 所以， 当时，，所以 （2）因为， 所以当时，是公比为9的等比数列， 因为，所以． （3）假设存在s，t，r（），使得，，成等差数列， 若，则， 是奇数，是偶数，与假设矛盾； 若，则， 两边同时除以，得， 因为，所以，与假设矛盾， 所以不存在正整数s，t，r（），使得，，成等差数列． 变式5-2．记数列的前n项和为，已知， (1)求的通项公式; (2)是否存在m和k，使得是和的等差中项?若存在，求出m和k的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在且或 【详解】（1）因为，①， 所以，②， ①-②，得， 化简，得 由，，得，仍适合， 所以数列是公差为d的等差数列， 所以 （2）假设是和的等差中项， 则，即， 化简得， 当时，，则，显然不成立; 当时，由，解得 当时，，则是和的等差中项； 当时，，则是和的等差中项； 当时，，则，不适合题意. 综上，存在且或，使得是和的等差中项. 题型六：放缩法证数列不等式 典例6-1．记为数列的前项和，已知，是公差为2的等差数列. (1)求证为等比数列，并求的通项公式； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，， 所以， 当时，， 两式相减得，，即， 故，又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 故，则. （2）因为，所以，则，即， 所以. 典例6-2．已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，，．证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)证明见解析. 【详解】（1）由得：，整理为：， 所以为等差数列，公差，首项为； 所以，整理为，经检验，符合要求. （2）由（1）得：，， ∴， ∴，即． 变式6-1．已知正项数列的前n项和为，且，，，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）依题意，当时，由，得， 则，两式相减得， 即，亦即，因为为正项数列， 因此，则是以为首项，2为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，， 而， 当时， ，显然成立， 所以． 变式6-2．已知数列满足. （1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由； （2）设，求数列的前项的和； （3）设，数列的前项的和为.求证：对任意. 【详解】试题解析：（1），，又, 数列是首项为，公比为 的等比数列． （2）依（1）的结论有，即,， （3），. 当时，则 . ，对任意的. 巩固过关 1．已知，将数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列，组成一个新数列，则数列的前项和为 ． 【答案】 【详解】易知数列是正奇数数列，对于数列，当为奇数时，为奇数， 当为偶数时，为偶数，所以数列与的公共项为奇数， 令，则， 故， ， 所以， 故答案为：. 2．已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于 ． 【答案】682 【详解】当时，， 当时，， 当时，满足上式，所以， 同理可求得， 设的第项与的第项相等，则，即，， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 故数列的前5项和等于． 故答案为： 3．已知数列满足，在之间插入个，连同的项构成数列，则数列的前200项的和为 . 【答案】813 【详解】依题意， 即，整理得， 所以，即， 则为公差为4的等差数列，所以.的前项的和为, 记连同后面插入的个为1组，则第组有个数， 由于， 当时，当时， 所以数列的前200项的和为前18组所有数的和加上第19组前11个数的和， 数列前200项中的项有19项，这19项的和为， 记，当为奇数时，当为偶数时， 则插入的所有项的和为， 所以数列的前200项的和为. 故答案为：813 4．已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）证明：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1⇒Sn﹣Sn﹣1＝Sn•Sn﹣1（n≥2），取倒数，可得1，利用等差数列的定义即可证得：数列{}是等差数列； （2）利用进行放缩并裂项求和即可证明 【详解】（1）当时，， ，即 从而构成以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）可知，，． 则当时． 故当时 又当时，满足题意，故． 法二：则当时， 那么 又当时，，当时，满足题意， 【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题． 5．记等差数列的公差为，前项和为，已知，且． (1)求：； (2)设，其中为不超过的最大整数，求的前项和． 【答案】(1)3； (2). 【分析】 【详解】（1）依题意，，而，则， 由，得，因此是6的大于3的约数，即， 所以. （2）由（1）知，，则，， ，， 当时，，，； 当时，，，，即， 当时，， 当时，， 所以的前项和. 6．已知数列满足，，令. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）法一：∵， ∴若，则；若，则， ∵， ∴， ∴， ∴为等比数列. 法二：∵，，∴， ∴， 即，又， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知， 由题意知，即， 假设存在3项，，成等比数列，则， ∴，∵， ∴化简可得， ∴，这与已知条件m，k，p互不相等矛盾， 所以不存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 7．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设单调递增的等差数列满足，且成等比数列. （i）求的通项公式； （ii）设，证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）解：因为，可得， 两式相减可得，即， 则， 又因为，可得， 所以当时，，即， 当时，不满足上式， 所以数列的通项公式为 （2）解：（i）设数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以， 整理得，解得或， 因为，可得， 又因为，所以数列的通项公式为. （ii）由（i）知，， 可得， 当时，； 当时，， 综上可得，对于任意，都有. 8．已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式及； (2)记，，当时，比较与的大小； (3)是否存在实数，使得对任意的正整数，，都有成立？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)实数存在，最大值为 【分析】 【详解】（1）设公差为，由，，成等比数列得，即， 求得或（舍去）， 所以，． （2）由（1）知，，，则， ， ， 因为当时，，即，所以． （3）要使恒成立， 只需恒成立，即， 因为，又因为， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以时，对任意的正整数，，不等式都成立， 即实数存在，最大值为． 9．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）当时，由①，得②. 由①②得，，即. 当时，，解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以. （2）不存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列.理由如下： 依题意得，即，解得. 假设存在项、、成等比数列（其中），则， 即，整理得. 联立，解得，这与已知条件矛盾. 所以不存项、、（其中、、成等差数列）成等比数列. 10．已知各项均为正数的数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和；是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】 【详解】（1）因为，当时，， 两式相减得到，整理得到， 又数列的各项均为正数，所以当时，，即， 又由，得到，所以数列为首项为，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， 假设存在正整数，使得成等差数列， 则，即， 化简得，得到， 解得，又且， 所以，， 故存在正整数，，使得,,成等差数列. 创新提升 1．（多选）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，则下列说法正确的是（    ） A．当时，数列单调递增 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 【答案】AD 【详解】A：数列是各项为正数的等比数列，则公比， 由题意，得， 时，，有，数列单调递增，对； B：时，，有， 若数列单调递增，则，即，由，需要，错； C：时，，解得，而时，， 由，若数列单调递减，则，即， 而不能满足恒成立，错； D：时，，解得或， 由A，B可知，数列单调递增，对. 故选：AD 2．若为关于x的方程的实数根，且．若，其中表示不超过x的最大整数．记数列的前n项和为，有恒成立，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，； 当时，. 又因为时，单调递增，所以. 当n为偶数时，； 当n为奇数时，. 当n为奇数时， ， 此时，即为， 当，或时，最小，所以. 当n为偶数时， ， 此时，即为， 当时，最小，所以. 综上： 的取值范围为. 故答案为： 3．已知数列各项均为正数，，且对任意的，有． (1)求的值； (2)若，是否存在，使得？若存在，试求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)存在，2018． 【详解】（1）因为， 所以，即， ， ， … ， 累加得， 所以， 可得． （2）因为， 所以单调递增，得， 由得， 则， 因为（，，，），则， 所以，解得， 此时，， 又因为， 所以， 解得， 即数列满足， 综上所述，存在符合题意的使得，且的最小值为2018． 4．已知二次函数.数列的前项和为，点，在二次函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围； (3)在数列中是否存在这样一些项：，，，，这些项都能够构成以为首项，为公比的等比数列？若存在，写出关于的表达式；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】 【详解】（1）由题意可知，，. 当时，； 当时，适合上式. 数列的通项公式为； （2）， . 由（1）可知，数列是以1为首项，公差为的等差数列. ①当时，， ②当时， ， 要使对恒成立，只要使为正偶数）恒成立， 即使对为正偶数恒成立，. 故实数的取值范围是； （3）假设存在，则需满足，即， 可得对任意均为正整数， 当时，需为正整数，可知必为形如的数， 当时，需为正整数，可知必为形如的数， 故存在，使得即， 由于为不小于3的奇数，则为不小于9的奇数，因此为奇数，且为3的倍数， 故可取9，81，225，……, 若，则矛盾，舍去， 若，则，符合题意， 若，则，与矛盾，不符合题意， 所以存在满足条件的只能取，此时对任意均为正整数， 所以， 即存在满足条件的数列，且，. 5．，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”．已知． (1)证明：存在源数列； (2)①若恒成立，求的取值范围； ②记的源数列为，前项和为．证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】 【详解】（1）由，得，即在上单调递减， 又，当且无限趋近于0时，趋向于正无穷大，即的值域为， 对于可以取到任意正整数，且在上都有存在唯一自变量与之对应， 故对于，令，其在上的解必存在且唯一， 不妨设解为，即，则都存在唯一的实数，使得， 即存在源数列． （2）①恒成立，即恒成立， 令，即恒成立， 令，则， 令，则，仅在时取等号， 即在上单调递减，故，即在上单调递增， 故，故； ②由①得，故，即，则， 当时，． 当时，； 当时， 当时， ， 综上：． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $