3.1不等式的基本性质【五大考点+五大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

3.1不等式的基本性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：比较大小的方法 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二：重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【题型归纳】 题型一：已知条件判断所给不等式的大小 【例1】．（2025高一上·江苏·专题练习）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【跟踪训练1】．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）下面不等式成立的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 题型二：不等式的性质比较数的大小 【例2】．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·河北·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练2】．（24-25高一上·浙江·阶段练习）下列不等式成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 题型三：作差法或作商法比较不等式的大小 【例3】．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则与的大小关系为 ． 【跟踪训练1】．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若且，试比较大小： （填“”或“”）． 【跟踪训练2】．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，，，则m与n的大小关系为 . 题型四：利用不等式求取值范围 【例4】．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知实数满足： (1)，求的取值范围； (2)求的取值范围. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）（1）已知，，求，取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 【跟踪训练2】．（22-23高一上·湖北黄冈·阶段练习） （1）已知，．求和的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 题型五：由不等式性质证明不等式 【例5】．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【跟踪训练2】．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【高分达标】 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）若，，则（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏无锡·期末）设，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 7．（24-25高一上·广东梅州·期中）下列说法中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（24-25高一上·重庆渝北·期中）实数，，，，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏淮安·期末）下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，那么 B．若，则 C．如果，那么 D．如果，那么 13．（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）下列命题一定正确的有（    ） A．若，，则与的大小关系随的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 三、填空题 14．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则下列不等式一定成立的是 ①；②；③；④ 15．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知实数满足且，则的取值范围是 ． 16．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是 ． 17．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 四、解答题 18．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）解决下列问题 (1).已知，，求的取值范围； (2).已知，，求的取值范围； (3).已知，比较与的大小. 19．（22-23高一·全国·课堂例题）（1）已知，，试求与的取值范围； （2）已知，，求的取值范围； （3）已知，，求的取值范围. 20．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 21．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 22．（23-24高一上·甘肃张掖·阶段练习）（1）设，，.试比较P与Q的大小； （2）已知，证：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1不等式的基本性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：比较大小的方法 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二：重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【题型归纳】 题型一：已知条件判断所给不等式的大小 【例1】．（2025高一上·江苏·专题练习）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【分析】对于A，当时即可判断，对于B，利用作差法即可判断，对于C，取即可判断，对于D，利用作差法即可判断. 【详解】 对于A，当时，，故A错误； 对于B：因为 ，则，所以，，所以，故B正确， 对于C，取，满足，显然不成立，故C错误； 对于D： ，因为，得，又，所以，所以，故D错误. 故选：B 【跟踪训练1】．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，， 此时，故A错误； 对B：若，，则有，， 此时，故B错误； 对C：， 由，故，，，故， 即，故C正确； 对D：若，，则，， 此时，故D错误. 故选：C. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）下面不等式成立的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】AC选项，举出反例；B选项，由不等式性质得到；D选项，先得到，结合得到，. 【详解】对于A，取，，，，满足，，而，A错误； 对于B，由，，故，即，B正确； 对于C，取，，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则，而， 于是，，错误． 故选：B 题型二：不等式的性质比较数的大小 【例2】．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用作差法，结合不等式性质判断各项的正误. 【详解】A：，则，则，错； B：，又， 所以的符号无法确定，故和大小不确定，错； C：，则，对； D：，则，则，错. 故选：C 【跟踪训练1】．（24-25高一上·河北·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用特殊值法判断A、C、D，应用作差法比较大小判断B. 【详解】A：取，，则，错； B：由，则，故，对； C：若，则，错； D：取，则，错. 故选：B 【跟踪训练2】．（24-25高一上·浙江·阶段练习）下列不等式成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】特殊值验证A，B；由不等式性质验证C，D. 【详解】对于A，若，则，此时不成立，故A错误； 对于B，若，则，此时不成立，故B错误； 对于C，因为，所以， 又因为，所以，故，故C错误； 对于D，因为，，所以， 因为，，所以，所以，故D正确. 故选：D 题型三：作差法或作商法比较不等式的大小 【例3】．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用作差比较法，即可求解. 【详解】由， 所以. 故答案为：. 【跟踪训练1】．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若且，试比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合作差法，即可求解． 【详解】由题意， 且， ， 则． 故答案为：． 【跟踪训练2】．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，，，则m与n的大小关系为 . 【答案】 【分析】利用做差，平方运算，即可判断大小关系. 【详解】 ， 要判断与的大小， 即判断与的大小， ， 所以，即. 故答案为： 题型四：利用不等式求取值范围 【例4】．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知实数满足： (1)，求的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1)的取值范围为，的取值范围为； (2)的取值范围为. 【分析】（1）根据同向不等式的可加性和可乘性即可求解范围； （2）利用，求得，结合同向不等式的可加性即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又因为，所以； 因为，所以，又因为，所以； 所以的取值范围为，的取值范围为； （2）令，， 所以，解得， 因为， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）（1）已知，，求，取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据不等式的性质，求出和的范围，即可根据性质求得； （2）令，求出的值，根据不等式的性质即可得到结果. 【详解】（1）因为，由不等式的性质可得，则， 又，故. 又，，故. 综上， （2）令，即， 则，解得. 则，，所以，即. 综上 【跟踪训练2】．（22-23高一上·湖北黄冈·阶段练习）（1）已知，．求和的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）根据不等式的性质，求出和的范围，再利用性质求解作答. （2）令，求出的值，根据不等式的性质即可得到结果. 【详解】（1）因为，由不等式的性质可得，；， 因此，即；，即， 所以，. （2）令，，即， 则有，解得， 而，，于是，， 所以，，即， 所以. 题型五：由不等式性质证明不等式 【例5】．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 【跟踪训练2】．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 【高分达标】 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可得结论. 【详解】因为，所以，所以，即，故A错误； 因为，所以，故B错误； 因为，所以，所以，所以，即，故C错误； 因为，所以，所以， 又因为，即，所以， 所以，即，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先判断由能否推出，结合充分条件的定义判断是否为的充分条件，再判断由能否推出，结合必要条件的定义判断是否为的必要条件，由此可得结论. 【详解】取，，此时，但， 所以由不能推出， 所以不是的充分条件， 由，且，由不等式性质可得， 所以可推出， 所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 4．（25-26高一上）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用不等式的性质求各项代数式的范围. 【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 5．（24-25高一上·江苏无锡·期末）设，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过举反例可判断A，B，根据不等式的性质或作差法可判断C，D. 【详解】当，时，显然不成立，故A错误； 当时，显然不成立，故B错误； 因为，所以成立，故C正确； 因为，由已知可知，但不能确定的符号，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高一上·浙江·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于，，，取特值即可判断；对于，利用作差法即可判断. 【详解】对于，令，，但，故错误； 对于，令，，但，故错误； 对于，令，，，， 所以，， 所以，故错误； 对于，， 又，所以，， 所以，即，故正确. 故选：. 7．（24-25高一上·广东梅州·期中）下列说法中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，因为，则有， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，又因为， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又因为， 所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，且， 所以，故D错误. 故选：D. 8．（24-25高一上·重庆渝北·期中）实数，，，，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于A，取即可判断；对于B，取即可判断；对于C，取即可判断；对于D，作差并求得差值即可判断D得解. 【详解】对于A，取时，满足，， 但，不满足，故A错误； 对于B，取时，满足， 但，不满足，故B错误； 对于C，取，满足， 但，不满足，故C错误； 对于D，， 因为，所以，所以， 所以，即，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由可得，故A正确， 对于B,由，则，故B错误， 对于C,当时，则，当时，则，此时，则，综上可得，故C正确， 对于D,由可得，当时，则，当，则，故，进而，综上可得，故D正确， 故选：ACD 10．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等式性质证明B正确，利用作差法证明D正确，其余举反例即可. 【详解】，所以B正确； 当时，满足， 但，所以A，C； ,故D正确. 故选：BD 11．（24-25高一上·江苏淮安·期末）下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由不等式的性质逐一判断所给命题的真假． 【详解】A中，因为，可得，所以，所以A正确； B中，若，也可以，所以不正确，所以B不正确； C中，， 因为，，而，所以，即，所以C正确； D中，若，当时，则，则错误，所以D不正确． 故选：AC． 12．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，那么 B．若，则 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质，逐项判断选项. 【详解】选项A：，．，．A正确； 选项B：若，则，故B错误； 选项C：，，，， ，，即，C错误； 选项D：，，又，， ，又，．D正确. 故选：AD 13．（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）下列命题一定正确的有（    ） A．若，，则与的大小关系随的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 【答案】CD 【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D. 【详解】对于A，，， ，，故A错误； 对于B，，， ， ，，，而不确定正负， 则的大小不确定，故B错误； 对于C，，， ，， ， ，故C正确； 对于D，，， ，， ，故D正确. 故选：CD 三、填空题 14．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则下列不等式一定成立的是 ①；②；③；④ 【答案】④ 【分析】利用特殊值法可判断①②③错误，由不等式的性质可证明④正确. 【详解】对于①②③，假设，，，，满足，， ，，此时不成立， ，，此时不成立， ，，此时不成立，故①②③错误； 对于④，由，，得，即，故④正确； 故答案为：④. 15．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知实数满足且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知条件结合不等式的性质即可求解． 【详解】因为实数满足且， 设，则， 得，故， 又因为， 所以． 故答案为：． 16．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据同向不等式的可乘性即可求解范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 17．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，讨论求解即可. 【详解】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 可知的最小值为， 故答案为： 四、解答题 18．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）解决下列问题 (1).已知，，求的取值范围； (2).已知，，求的取值范围； (3).已知，比较与的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由不等式性质可解决问题； （2）由待定系数法结合不等式性质可得答案； （3）由作差法结合条件可比较大小. 【详解】（1）因，，则， 则； （2）设. 则.， 则； （3） 因，则， 则 19．（22-23高一·全国·课堂例题）（1）已知，，试求与的取值范围； （2）已知，，求的取值范围； （3）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）， ； （2） （3） 【分析】（1）根据不等式的基本性质进行计算；（2）先得到，利用同号可乘性得到取值范围；（3）先求出，分和求出的取值范围. 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又， ∴，即． ∴的取值范围是，的取值范围是． （2）∵， ∴． 又， ∴，即． ∴的取值范围是． （3）∵，∴． ①当时，； ②当时，． 由①②得，即的取值范围是． 20．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 21．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用作差法，化简后和0比较，即可判断大小关系. 【详解】（1）， . （2）， ， ， 则， . 22．（23-24高一上·甘肃张掖·阶段练习）（1）设，，.试比较P与Q的大小； （2）已知，证：. 【答案】（1），（2）证明见解析 【分析】（1）由作差法证明即可； （2）由不等式的性质证明即可. 【详解】（1）， ∵，∴，∴； （2），∴， ， 又， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $