3.2.2 基本不等式的应用（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

3．2.2　基本不等式的应用 学　习　目　标 知　识　网　络 1．用基本不等式解决实际问题．(数学建模) 2．掌握用基本不等式解决实际应用问题的方法和步骤．(数学运算) [问题导学] 某金店有一个不准确的天平(臂长不等)，你要买一串项链，店主把项链放于左、右两盘各称一次，分别称得a g和b g，然后把两次称得的平均质量eq \f(a＋b,2) g作为项链的质量．你认为这种称法合理吗？ [知识梳理] 知识点　基本不等式的应用 应用基本不等式解决实际问题，首先要正确理解题意，然后通过分析、思考，将实际问题转化为数学模型，再应用基本不等式求解，同时要考虑解的实际意义，其一般步骤如下： (1)审题，必要时画出示意图； (2)建立目标函数； (3)利用基本不等式求函数的最值； (4)得出实际问题的解． 微练习 建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米180元和80元，那么水池的最低总造价为(　　) A．1 000元　　　　　 B．2 000元 C．2 720元 D．4 720元 解析：设水池底面一边长为x m，则另一边为eq \f(4,x) m，总造价y＝4×180＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(16,x)))×80＝320×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))＋720≥1 280＋720＝2 000(元)，当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时取等号． 答案：B 题型一　利用基本不等式求几何问题中的最值 [例1]　某动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有长为36 m的钢筋网，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？ [解析]　(1)设每间虎笼设计为长x m，宽y m. 则由条件知4x＋6y＝36， 即2x＋3y＝18. 设每间虎笼的面积为S m2，则S＝xy. 法一：∵x>0，y>0，∴2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)，∴2eq \r(6xy)≤18，得xy≤eq \f(27,2)，即S≤eq \f(27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4.5，,y＝3，)) 故每间虎笼设计为长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大． 法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq \f(3,2)y.∵x>0，∴9－eq \f(3,2)y>0，∴0<y<6，∴0<6－y<6，S＝xy＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(3,2)y))y＝eq \f(3,2)(6－y)y，∴S≤eq \f(3,2)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6－y＋y,2)))2＝eq \f(27,2). 当且仅当y＝3时，等号成立． 此时x＝9－eq \f(3,2)×3＝4.5， 故每间虎笼设计为长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大． (2)由条件知S＝xy＝24 m2，设钢筋网总长为l m，则l＝4x＋6y. 法一：∵x>0，y>0，∴2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4，)) 故每间虎笼设计为长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小． 法二：由xy＝24，得x＝eq \f(24,y). ∴x>0，y>0，∴l＝4x＋6y＝eq \f(96,y)＋6y＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,y)＋y))≥6×2 eq \r(\f(16,y)·y)＝48， 当且仅当eq \f(16,y)＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6. 故每间虎笼设计为长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小． 1．利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解． 2．在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，则可利用函数单调性求解． [跟踪训练] 1．将宽和长都分别为x