3.2.2 基本不等式的应用导学单-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

江苏省启东中学高一数学·第一册问题导学单·第3章——不等式 第3章 不等式 3.2 基本不等式 3.2.2　基本不等式应用 【考查要求】 课标要求： 1．进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值． 2．能够利用基本不等式解决实际问题． 素养要求： 通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养． 【内容梳理与经典例题】 基本不等式与最大(小)值 对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意： (1)和a＋b为定值时，积ab有 ；积ab为定值时，和a＋b有 ． (2)取等号的条件． 基本不等式的变形应用求最值 运用基本不等式求最值时把握三个条件 (1)“一 正”—— ； (2)“二 定”—— ； (3)“三相等”—— ． 基本不等式≤(a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立)是一个重要的不等式，利用它可以求解一些最值问题．对于有些题目，可以直接利用公式求解，但更多的题目必须进行必要的变形才能利用基本不等式求解，需要掌握一些常用的变形方法与策略． 类型一　 【例1】(1) 已知x＜，求y＝4x－2＋的最大值． (2) 已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值． 【例2】 求y＝(x＞－1)的最小值． 类型二　 【例3】 (1)已知x>0，y>0且＋＝1，则x＋y的最小值为________． (2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________． 【例4】(1) 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________． (2) 已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　) A．4 B．2 C．8 D．16 (3) 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________． (4) 已知x＞0，y＞0，x＋y＝1．求＋的最小值． 类型三　 【例5】(建立求解目标的不等式求最值)已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________． 【例6】(取平方)已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求w＝＋的最大值． 总结 利用基本不等式求最值，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，常用变形技巧如下： (1)拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． (2)并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值． (3)配——配式、配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． 基本不等式的实际应用 【例7】围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m．设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)． (1)用x表示y； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 课外作业 A 基本问题 A1．已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为(　　) A． B．2 C．2＋ D．3＋ A2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　) A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m A3．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值为(　　) A．3 B．－3 C．3－2 D．－1 A4．若－4＜x＜1，则y＝(　　) A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 A5．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 A6．(多选题)下列不等式不一定成立的是(　　) A．x＋≥2 B．≥ C．≥2 D．2－3x－≥2 A7．(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　) A．ab有最小值 B．＋有最大值 C．＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值 A8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． A9．若对任意x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是________． A10．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m，面积最大为________m2． A11．(1)已知2<a<3，－2<b<－1，求ab，的取值范围． (2)已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围． A12．已知x，y都是正数． (1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值； (2)若x＋2y＝3，求＋的最小值． B 延伸问题 B1．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________． B2．已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则的最小值为________． B3．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立． ·2· 学科网（北京）股份有限公司 $$