精品解析：辽宁省大连市甘井子区2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学试卷（C卷）

2025-2026学年度第一学期阶段性随堂练习 九年级数学（C） 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间为120分钟． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 方程的根是（ ） A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求解一元二次方程的解，利用因式分解法求解一元二次方程的解即可． 【详解】解：， ， 或2， 故选：C． 3. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为120． 故选：B 4. 在下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的识别，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是关于的反比例函数，不符合题意； B、是关于的反比例函数，不符合题意； C、是关于的反比例函数，不符合题意； D、是关于的反比例函数，符合题意； 故选D． 5. 把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图像的平移，准确判断平移方向对变量的影响关系是解题的关键． 根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解． 【详解】解：∵抛物线先向左平移4个单位长度， ∴用代替，得， 再向上平移2个单位长度， 得. ∴所得抛物线为， 故选D． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式大于0的条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数；再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算的取值范围，最后结合两者得到的最终范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 综上，且． 故选：D． 7. 如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x-2）2+1，那么b，c的值分别为（ ） A. -4，5 B. 4，3 C. -4，3 D. 4，5 【答案】A 【解析】 【分析】把配方后的函数解析式转化为一般形式，然后根据对应项系数相等解答． 【详解】∵y=(x−2)2+1=x2−4x+4+1=x2−4x+5， ∴b、c的值分别为−4，5. 故选A. 【点睛】本题考查二次函数的三种形式，解答技巧是把配方后的函数解析式转化为一般形式，然后根据对应项系数相等解答. 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 9. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，把一般式化为顶点式求解是解题的关键． 根据判断最值即可． 【详解】， ， 二次函数有最大值是． 故选． 10. 平面直角坐标系中，已知二次函数的部分图象如图所示，给出下面三个结论： ①；② 二次函数有最大值4；③ 关于x的方程有两个实数根，．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据开口向下可得，根据对称轴为直线得到，由此可判断①；根据顶点坐标为，即可判断②；根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，即可判断③。 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由函数图象可知，该二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数有最大值4，故②正确； ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∴由对称性可知，二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于x的方程有两个实数根，，故③正确； 故选D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，某反比例函数的图象过点，则此反比例函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象、求反比例函数的解析式，设反比例函数的解析式是，由函数图象可知点在函数图象上，可得：，解得：，从而可知反比例函数的解析式是． 【详解】解：设反比例函数的解析式是， 由函数图象可知点在函数图象上， ， 解得：， 反比例函数的表达式是． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，据此解答即可 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 13. 点，在抛物线上，则_____．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．将A，B两点代入抛物线，求出对应的y值，比较即可得解． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴． 故答案为：． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________秒才能停下来． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据无人机停下时，最大，根据顶点的横坐标公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，当秒时，无人机停下来， 故答案为：40． 15. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，，则线段的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点A作，由旋转的性质可判断出为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，即，根据勾股定理列式，解一元二次方程即可求出，再利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，连接，过点A作， 绕点逆时针旋转得到， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ，即在同一条直线上， ， 为等腰直角三角形， 设，即， 在中，, ，解得：或（舍去） 在中，, ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用，旋转的性质求解，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理并求解为解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． （1）利用提公因式法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 或． 【小问2详解】 ， ，，， ， ， 或． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．（画图时字母应标注清楚） （1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 【答案】（1） 解：如图：即为所求． （2） 解：如图：即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查作图－旋转变换、中心对称变换等知识点，掌握旋转变换的性质、中心对称变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （2）利用旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （3）对应点连线的交点即为旋转中心，然后确定旋转中心的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：与关于点中心对称，点的坐标为． 故答案为：． 18. 反比例函数的图象经过点； （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）不在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意，， ∴； 【小问2详解】 不在，理由如下： ∵， ∴点不在反比例函数的图象上． 19. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质，可证、都是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出的长，即可得到． 【详解】解：将将绕点按逆时针方向旋转得到， 则，，， ，， 是等边三角形，， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， 则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，证明等边三角形是解题的关键． 20. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … （1）__________；将其配方成的形式为__________； （2）在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； （3）填空： ①当时，随的增大而减小，则的取值范围是__________； ②直接写出原抛物线关于轴对称的抛物线的函数表达式为__________． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，坐标与图形变化—轴对称等等，熟练掌握以上知识点是关键． （1）求出当时的函数值即可求出m的值，再利用配方法把解析式化为顶点式即可； （2）利用描点法画出对应的函数图象即可； （3）①确定开口方向和对称轴，进而确定增减性即可得到答案； ②设为翻折后的函数图象上的一点，那么点为图象上的一点，把代入中求出m、n的函数关系式即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ； ， 故答案为：；； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 ①函数解析式为，， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， ， 故答案为：； ②设为翻折后的函数图象上的一点，那么点为图象上的一点， ， ， 关于轴对称的函数解析式为， 故答案为：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）过动点作平行于轴的直线，交函数的图象于点，交直线于点．当时，求线段的长； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，准确计算是解题的关键． （1）先把点代入一次函数解析式求出，再把点代入反比例函数解析式，求出； （2）把代入一次函数解析式和反比例函数解析式，分别求出点和点的坐标，即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意，把点代入，得到， ， 把代入中， ． ，． 【小问2详解】 解：如图，过点的直线与一次函数交于点，与反比例函数交于点， 当时，， 把代入中， ， ， ， 把代入中， ， ， ， ． 22. 如图1，绕点旋转，，，连接，选取的中点，连接． （1）如图2，当时，Rt在旋转过程中，点恰好落在的中点位置时，问线段与是否存在一定的数量关系？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （2）如图3，Rt在旋转过程中，点落在边上任意一点（不是中点），问线段与的数量关系是否发生改变，请说明理由； （3）如图1，当时，点落在内部，，求的面积． 【答案】（1），理由如下 （2），理由如下 （3） 【解析】 【分析】（1）由得是等边三角形，，进而推出，利用角所对直角边是斜边的一半得到，再证是等边三角形，进而得到． （2）延长到，使，连接、，证明，得出，再利用中位线定理得到，即可得到． （3）延长到，使得，连接、，过点作，由得，从而得到，再证，，根据勾股定理求出，，可得出，再利用等边三角形面积计算方法求解即可． 【小问1详解】 ，理由如下： ，， ， ， 是等腰三角形， 是中点， ，， ， ， ， 在中，是中点， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 【小问2详解】 ，理由如下： 如图，延长到，使，连接、， 是中点， 是的中位线， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 【小问3详解】 如图，延长到，使得，连接、，过点作， 是中点， 是的中位线， ， 同中得方法可得， ， ， 中，，， 设，则， ， 解得：， ，， ，， 是等边三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、所对直角边是斜边的一半、中位线定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 抛物线交轴于两点，与轴交于点． （1）分别求出抛物线和直线的解析式； （2）在轴上取一点，过点作轴的平行线交抛物线于，两点（点在点的右侧），交射线交于点，若，求的值； （3）在第四象限内的抛物线上取一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，在轴上取一点，过点作轴的垂线分别交直线轴，，于三点，的长度比的长度大2，求的值． 【答案】（1）， （2）的值为3或 （3）m的值为3或5 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）由题意，点H的坐标为，分两种情况：当时，由，得，得E的坐标为．得，解得；当时，得，得E的坐标为．得解得； （3）设M的坐标为，N的坐标为，直线的解析式为，得，解得，得．得得点P的坐标为，同理，直线的解析式为，得点Q的坐标为．当时，由，得，解得；当时，，解得． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得， ∴； 当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，点H的坐标为， 当时， ∵， ∴， ∵轴， ∴关于轴对称， ∴， ∴， ∵，点H的坐标为， ∴由中点坐标得点E的坐标为． ∴， 整理得， 解得或（舍去）； 当时， ∵， ∴ ∴， ∴点E的坐标为． ∴， 整理得， 解得或（舍去）． 综上所述，的值为3或． 【小问3详解】 解：设点M的坐标为， ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴点N的坐标为， 而， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． ∵过点作轴的垂线分别交直线轴，，于三点， ∴点P的坐标为， 同理，可得直线的解析式为：， 点Q的坐标为． 当时，， 由， 解得； 当时，， 由， 解得． 综上所述，m的值为3或5． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练运用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数与一次函数图象性质，轴对称的性质，两点间的距离，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性随堂练习 九年级数学（C） 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间为120分钟． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是（ ） A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 无解 3. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 4. 在下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 7. 如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x-2）2+1，那么b，c的值分别为（ ） A. -4，5 B. 4，3 C. -4，3 D. 4，5 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 10. 平面直角坐标系中，已知二次函数的部分图象如图所示，给出下面三个结论： ①；② 二次函数有最大值4；③ 关于x的方程有两个实数根，．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，某反比例函数的图象过点，则此反比例函数表达式为___________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 13. 点，在抛物线上，则_____．（填“＞”“＜”或“=”） 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________秒才能停下来． 15. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，，则线段的长为____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．（画图时字母应标注清楚） （1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 18. 反比例函数的图象经过点； （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 19. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，求的长． 20. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … （1）__________；将其配方成的形式为__________； （2）在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； （3）填空： ①当时，随的增大而减小，则的取值范围是__________； ②直接写出原抛物线关于轴对称的抛物线的函数表达式为__________． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）过动点作平行于轴的直线，交函数的图象于点，交直线于点．当时，求线段的长； 22. 如图1，绕点旋转，，，连接，选取的中点，连接． （1）如图2，当时，Rt在旋转过程中，点恰好落在的中点位置时，问线段与是否存在一定的数量关系？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （2）如图3，Rt在旋转过程中，点落在边上任意一点（不是中点），问线段与的数量关系是否发生改变，请说明理由； （3）如图1，当时，点落在内部，，求的面积． 23. 抛物线交轴于两点，与轴交于点． （1）分别求出抛物线和直线的解析式； （2）在轴上取一点，过点作轴的平行线交抛物线于，两点（点在点的右侧），交射线交于点，若，求的值； （3）在第四象限内的抛物线上取一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，在轴上取一点，过点作轴的垂线分别交直线轴，，于三点，的长度比的长度大2，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $