山东省聊城第三中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

2024级高二上学期第一次质量检测数学试题答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.A2.A3.B4.C5.A6.B7.B8.A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BD 10.AC 11.BC 11.【详解】由题知，在正方体ABCD-AB,CD,中，2是棱DD,上的动点， 建立以A为原点，分别以AB,AD,A4的方向为x轴、y轴、=轴 的正方向的空间直角坐标系A一)z. 所以A(0,0,1),C(1,1,0),C(1,1,1),设2(0,1，a,其中0≤a≤1 所以C2=(-1,0,a-1),4C=(1,1,-1), -1=元 当C2=4C,即(-1,0，a-1)=(1,1,-1),所以{0=元 ,显然方程组无解， a-1=-元 所以不存在1使得C2=入AC,即不存在点2，使得CQ/A,C,故A项错误： 当C12:AC=-1+0+1-a=0时，解得a=0,故B项正确： 因为A0=(0,1,a-1),其中0≤a≤1， 所以点9到AC的距离为 A,2·AC (-ay-Ra √2√6 ,故C项正确： 23 因为0C=(1,0,-a）),QA=(0,-1,1-a),其中0≤a≤1， 所以co(Qc,Q4)= c.o4 a"-a (a-1)a lod o ≤0， v1+aV1+1-a1+aV1+(1-a 所以三角形A,CQ为直角三角形或钝角三角形，故D项错误.故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 11 12. 13.元<2，且元≠-414. 6 4 14.【详解】如图，分别以AB、AD、AA1方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系可得： E(2,3,3),F(4,0),G(43,),D1(0,3,3),B1(4,0,3),M(xy,0), F=(2--3,F元=(0，)，DM=x,y-3,-3), 皮面Er6的法南一化奥=8 2x--32=0 y+2=0 3 故可设x=-子y=1,z=-1,即元=（-1，-1) 由于直线D1M与平面EFG平行，则D1M·元=0， 得：-x+y-3+3=0,即：y=x,MB=(4-x,-y,3),MD=(-x,3-y,3), MB·MD1=(4-x)·(-x)+(-y)·(3-y)+9=x2-4x+y2-3y+9, =x2-4x+(层x-是+9=x2-空x+9=x-22+号 可知，由于x∈(0,4)，当x=2时，MB·MD取得最小值，最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【详解】(1)空间中三点A(2,0,-2),B1,-1,-2),C3,0,-4,设ā=AB,万=AC, .BC=(3,0,-4)-4,-1,-2)=(2,1,-2),c=3,且c1BC, ∴.c=mBC=(2,1,-2)=(2,,-2）,c=V(-2m0)2+(（-m)2+(2m2=3引m=3, .=±1，c=(2,1,-2)或c=(←2，-1,2). (II)ka+b=k(1,-1,0)+1,0,-2)=1-k,-k,-2),b=1,0,-2), 向量a+b与b互相垂直，(a+)b=1-k+4=0,解得k=5.k的值是5. (II0AB=(-1,-1,0),AC=1,0,-2),BC=(2,1,-2), 需磊而m而衣品六 COs<AB,AC>=4B.AC 13 SA4c1km<西.c分5x5x多 V10-21 16.【详解】(1)不放回连续取两次的样本空间8，=(1,2)，(1,3)，1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2), (5,2),(4,3),(5,3)，(5,4)}∴.n(2)=20 记“两数之和为3的倍数”为事件A,则事件A={(1,2),1,5),(2,4),(4,5),(2,1), (5,1),(4,2),(5,4)} M=8P0-8 20-5 (2)设5个球记为4,42，b,b,b,则有放回地取出两个的样本空间 22={(a,a),(a,a),(a,b),(a,b2),(a,b),(a,a),(a2,a),(a2,b) (a2,b2),(a2,b),(6,4),(,a2),(6,b),(b,b2),(b,b3),(b2,a) (b2,a),(b2,b),(b2,b2),(b2,b),(b,A),(b,a2),(b,b),(b,b2),(b,b} ∴.n(22)=25 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件B,则B={(a,b),（a,b),（a,b), (a,b),(a,b2),(a2,b),(b,4),(b,2),(b2,4),(b,a),(b,4),(b,a)} ÷B)=12,P(B= 25 17.【详解】(1)证明：PA=PD,F为AD的中点，PF⊥AD. 由题意，在△ABF中，AB=2,AF=1,∠BAF=60°， D 由余弦定理，得BF=VAB2+AF2-2·AB·AF.cOS∠BAF E =22+1-2×2×1×}=V5. 2 PA=PD,∠APD=90°，AD=2,.PF=1. B 又BP=AD=2,BF2+PF2=BP2,即PF⊥BF. :ADC平面ABCD,BFC平面ABCD,AD∩BF=F, .PF⊥平面ABCD,而PFC平面PBF,.平面PBF⊥平面ABCD: (2),四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°， △ABD为等边三角形，又F为AD的中点，BF⊥AD. 由（1)知，FA,FB,FP两两互相垂直. 、D 以F为坐标原点，分别以FA,FB,FP所在直线为x,y,z轴 建立空间直角坐标系. B 1 则F(0,0,0),A0,0,0),D(-1,0,0),B(0,√3,0)，P(0,0,1), FB=(0,V5,0),BC=AD=(-2,0,0),PB=(0,V3,-1). 设平面PBC的一个法向量为=(x,y,z), 由 n明=5v-0,取z-1,得元-0, i.BC=-2x=0 30: 设BF与平面PBC所成角为0.则sin8=IB列=1 1 丽1-川列5.252 :.BF与平面PBC所成的角为 6 18.【详解】（1)设事件A=“中国队以3：0的比分获胜”， :中国队在每一场中获胜的概率均为， 4 P(A0= 64 125 中国队以3：0的比分获胜的概率为125： 64 (2)设事件B=“中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况： ①设事件B,=“中国队从第二场开始连胜三场”，P(B)= 64 ②设事件B,=“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”， 4 2 .P(B2)=3 14_192 (5 55625 ,B与B2是互斥事件 P(B)=P(BUB,)=P(B)+P(B,）6A+12=512 125625625 ∴.中国队在已输一场的情况下获胜的概率为 512 625 (3)设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件C、C,,瑞典队进行三场、 为事件D、D,至多进行四场比赛为事件C, Pe-Pe)=)号8器 o)-（gPo)= 12 C,C,D,D2是互斥事件， .P(C)=P(CC DD)=P(C)+P(C2)+P(D)+P(D 64,192,112529 125625125625625' ∴.至多进行四场比赛的概率为 529 625 I9.【详解】(1)在四棱锥P-ABCD中，取PD中点N,连接N, 由M为PA的中点，且AD=2,BC=1,得MNI/AD/1BC, MN=-AD=1=BC, 则四边形BCNM为平行四边形，BM//CN,而CNc平面PCD, BMZ平面PCD, 所以BM/I平面PCD, (2)取AD的中点O,连接PO,OC,由△PAD为等边三角形，得PO⊥AD, 而平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,POC平面PAD, 则PO⊥平面ABCD,由AO=BC=1,AO/IBC,得四边形ABCO是平行四边形， 于是OC/1AB,而AB⊥AD,则OC⊥AD,直线OC,OD,OP两两垂直， 以O为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 则 A(0,-1,0),D0,1,0),C1,0,0),B1,-10),P0,0,V3) C=(-1,0,5),CD=(-1,1,0), 四场比赛获胜分别 CP=-x+3z=0 设平面PCD的法向量为i=(x,y,),则 ii.CD=-x+y=0 B 取z=1,得元=(5,5,1)， 又BC=(Q,10),所以B到平面PCD的距离d=BC-5_V |77 (3)令PE=PD=(0,元，-√5)，1∈[0,1]， AE=AP+PE=(0,1,V5)+(0,2,-V3)=(0,1+1,V3-√5)，AC=41,0), mAC=a+b=0 设平面EAC的法向量为m=(a,b,c),则 i.A亚=1+2)b+(W5-√3)c=0' 取b=√3(1-1)，得m=(W30-),V3(-1),1+1),平面DAC的法向量为OP=(0,0,√3)， OP.m 于是|cos(o,m V5(2+1) V10 O元3√72-102+7 5 化简和32-102+3=0，又e[0,解得天-}即货} PD 3 所以线段PD上存在点B,使得平面BAC与平面DAC夹角的余弦值为102024级高二上学期第一次质量检测数学试题 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 1 [A][B][C][D]2[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 4[A][B][C][D]5[A][B][C][D] 凶 6[A][B][C][D]7[A][B][C][D]8[A][B][C][D] 二、 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 11 9 [A][B][C][D]I0[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12 风 3 ☒ 14 ☒ 四、解答题： 本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1312111098 765 43210 1513分) 童 i 如载 第1页（共4页） 1514131211109876543210 16(15分) 1 1514131211109876543210 1715分) : B I 第2页（共4页） 17161514131211109876543210 18(17分) I 第3页（共4页） 17161514131211109876543210 1917分) 的 B 第4页（共4页）2024级高二上学期第一次质量检测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.甲、乙两人进行投篮练习，甲每次投中的概率为0.8，乙每次投中的概率为0.7.若甲、乙两人 各投篮一次，且是否投中互不影响，则恰有一人投中的概率为() A.0.38 B.0.44 c.0.56 D.0.62 2.如图，在三棱锥O-ABC中，设OA=a,OB=i,OC=c, 若AN=B,BM=2MC,则M=() Aa+-2 B.-1a-1b+2c 263 263 c.1:1五12 --一b--C D.-a++ 263 263 3.缙云山是著名的旅游胜地.天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的 方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0,1， 2,3,4表示当天下雨，5,6,7,8,9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下 雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926446072021392077663817325 615 405 858776 631 700259305311589258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为() A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.6 4.如图，二面角-1-F的棱上有两点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱1，若AB=2,AC=3,BD=4,CD=√41，则二面角a-1-B B 的大小为《)ABc号D 6 5.已知A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,3),则向量AC在AB上的投影向量的坐标是() a.〔0s.〔5c〔50.5号0 6.已知空间向量ā=(2,1,3)，b=(-1,2,-2),c=(7,6,2),若向量a,b,c共面，则实数1的值为(). A.9 B.10 C.11 D.12 7.已知向量{a,,c是空间的一个基底，向量{a+b,ā-b,c}是空间的另一个基底，一向量五在基底 {a,i,c}下的坐标为12,3)，则向量五在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为() A B.房2 C.) 8.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体， 该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的 B D 部分).现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA,BB,C℃，DD均 与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的 圆心角为90°，则图中异面直线AB,与CD所成角的余弦值为() A.5 D. 3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9.下列命题中正确的是（) A.已知向量a//乃，则存在向量可以与，b构成空间的一个基底 B.若两个不同平面&，B的法向量分别是u,V,且u=(1,2,-2),v=(2,1,2),则a⊥B C.“存在实数x,y,使p=xa+yb”是“p与a,b共面的充要条件 D.已知{0A,0B,0C)是空间向量的一个基底，且0D号0A+0B号0C,则点D在平面ABC内，且 33 33 D为△ABC的重心 10.袋子中有6个大小、质地完全相同的球，其中3个红球、3个黄球，从中任取3个球，设事件 A=“取出的3个球至少有一个红球”，B=“取出的3个球至多有一个红球”，C=“取出的3个球既 有红球又有黄球”，D=“取出的3个球全是红球”，则() A.事件C与D互 B.事件A与D互为对立事件 C.事件B与C相互独立D.事件A与C相互独立 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，P是棱DD上的动点，则说法正确的是() A.存在点Q,使得COIAC B.存在点Q,使得CQ⊥AC B C.对于任意点Q,Q到AC的距离的取值范围为 23 D.对于任意点Q,△ACQ都是钝角三角形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.有7名数理化成绩优秀者，其中A1,A2,A3数学成绩优秀，B1,B2物理成绩优秀，C1,C2化学 成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛. 则A1和B1不全被选中的概率为 13.点A(L,2,),B(33,2),C(+1,0-1D,若AB,AC的夹角为钝角，则2的取 值范围为 A 14.在长方体ABCD-ABC,D中，AD=AA=3,AB=4,E,F,G B 分别是棱CD,BC,CC1的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线DM 与平面EFG平行，则MB·MD的最小值为 B 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13)己知空间中三点A(2,0,-2),B1,-1,-2),C(3,0,-4,设ā=AB,b=AC. (1)若|c=3,且c//BC,求向量c; (2)已知向量a+b与b互相垂直，求k的值； (3)求△ABC的面积. 16.(15)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球。 (1)若这5个球分别标有数字1,2,3，4,5，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回， 连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率： （2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率. 17.(15)已知四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是边长为2的菱形， P ∠BAD=60°，PA=PD,∠APD=90°，F为AD中点，BP=AD. (1)证明：平面PBF⊥平面ABCD: 、D (2)求BF与平面PBC所成的角. B 18.(17)中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地 称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌其中团体赛由四场单打和一场 双打比赛组成，采用五场三胜制每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结 束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以3：0取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛 事情况进行分析。根据以往成绩，中国队在每场比赛中获胜的属率均为号 (1)求中国队以3：0的比分获胜的概率： (2)求中国队在已输一场的情况下获胜的概率： (3)求至多进行四场比赛的概率， 19.(17)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为2的等边三角形， 底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD,AB⊥AD,AB=BC=1 (I)取线段PA中点M,连接BM,证明：BM//平面PCD; (2)求B到平面PCD的距离； (3)线段PD上是否存在一点E,使得平面EAC与平面DAC夹角的余 弦值为四？若存在，求出织的值：若不存在，请说明理由 B