精品解析：广东省广州市华南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期教学检测（一）数学试题

华南师大附中2025-2026学年度（上）数学检测（一） 数学 2025年10月 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡相应位置上填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. {2} C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集和补集的定义可求. 【详解】， 由题设有，故， 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得答案. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 3. 设集合，则满足的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得，列举出集合即可确定选项. 【详解】由题意得，. 由得，， ∴，，或，共4个. 故选：C. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用进行求解. 【详解】，，且， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：C 5. 若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 6. 设，不等式的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义、结合选项即可得答案. 【详解】解：因为， 所以，解得， 由充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合. 故选：D. 7. 已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由是的充分不必要条件，转换成集合间的包含关系即可求解. 【详解】由，得，所以， 因为， 若是的充分不必要条件，则的解集必为， 所以， 所以，得. 故选：B. 8. 已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可. 【详解】“孤立元”为的集合为，，，， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为，，，， 综上：满足题意的集合有13个. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.选项全对得6分，漏选得部分分，错选得0分. 9. 设，则的取值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式性质，可得答案. 【详解】由题意知，所以由同向不等式相加得. 故选：AB. 10. 设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 有最小值1 B. 有最小值2 C. 有最大值 D. 有最大值8 【答案】AC 【解析】 【分析】利用乘“1”法即可判断A；根据基本不等式即可判断B；平方后利用基本不等式即可判断C；利用常用不等式即可判断D. 【详解】因为正实数满足，所以 ，当且仅当时等号成立，A正确； ，当且仅当时等号成立，B错误； ，，当且仅当时等号成立，C正确； ，当且仅当时等号成立，D错误． 故选：AC． 11. 取整函数：不超过的最大整数，如，，.以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（ ） A. ， B. ，，，则 C. ，， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】 可取特殊值判断AC，利用不等式性质及取整函数的意义推理可判断BD． 【详解】时，，，故A正确； 若，设，，则，， ∴，，从而，B正确； 取，则，，C错误； 设，则，， ∴或，时，，此时，，，时，，，，，， 综上，D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是把新定义转化为我们已学的知识，设，则由新定义可得，这样结合不等式的性质与新定义结合易于求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过移项通分，将不等式转换成，即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 即， 解得：， 所以解集为：， 故答案为： 13. 设，集合，则______ 【答案】0 【解析】 【分析】根据可知，故. 【详解】由可知， 又，故. 故答案为：0 14. 对于，使恒成立时的取值范围_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据在恒成立得知，解出不等式即可. 【详解】在恒成立， ， ， ， ， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得，再由补集与交集的概念求解， （2）转化为集合间的关系，分类讨论求解． 【小问1详解】 ∵或， ∴， ∴. 【小问2详解】 ∵， ∴， ①当时，满足，即，解得. ②当时，因为，所以 ，即， 综上，实数的取值范围为. 16. 设p：关于x的方程有两个不相等的实数根，q：关于x的方程无实数根. （1）若p为真，求m的取值范围； （2）若p为假且q为真，求m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】根据命题的真假，结合一元二次方程根的判别式的情况求解即可. 【小问1详解】 由题意若p为真，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以， 即或， 所以m的取值范围为或. 【小问2详解】 由题意若q为真，则关于x的方程无实数根， 所以， 即， 因为p为假且q为真， 故， 即， 综上所述，m的取值范围为. 17. 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. （1）当，求的值； （2）求面积的最大值，并求此时，的值. 【答案】（1） （2）最大值为平方米，米. 【解析】 【分析】（1）根据题意分别设出切点坐标，利用切线长定理和勾股定理得到关系式，将代入即可求出的值； （2）利用（1）中得到的关系式结合基本不等式求出的范围即可求出面积的最大值以及此时，的值. 【小问1详解】 设圆与道路1、道路2、直线的切点分为，，，连接，，， 由切线长定理可知，，则， 由题知且，，， 即，化简得.① 把代入①，解得； 【小问2详解】 由题有，， 因为，所以， 令，则，解得， 所以， 当且仅当时等号成立，即， 解得，此时，， 则， 所以的面积的最大值为平方米，此时米. 18. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 时，解集为； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：. （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知的两根为和2，且，代入运算求解； （2）整理可得，分类讨论的符号以及两根的符号分析求解； （3）分析可得，换元令，结合二次函数最值分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：的两根为和2，且， 所以，解得：，． 【小问2详解】 由（1）知：可化为：， 即：， 当，不等式为：，得， 当，的两根为：和 ①，的解集为：， ②，（i），即时，的解集为：； （ⅱ），即时，的解集为；； （ⅲ），即时，的解集为：； 综上：时，解集为； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：. 【小问3详解】 若对任意的实数，恒成立， 由（1）可化为：， 即，对任意恒成立， 令，可得， 因为，对称轴为：，可知在内单调递增， 所以当时，，可得， 所以实数的取值范围为． 19. 设数集（，）满足：①；②且，有，则称数集具有性质. （1）判断集合，是否具有性质，并说明理由； （2）若集合为有限集且具有性质，证明：集合的元素个数不超过3； （3）求满足性质的所有三元素集. 【答案】（1）∵，，且，， ∴集合不具有性质. ∵，满足条件①， 且，，，满足条件②， ∴集合具有性质. （2）若集合的元素个数超过即，设，其中. 若，则中至少有个负整数，此时，集合不具有性质； 若，则中至少有个正整数，此时，，此时集合不具有性质； 所以，， 若，此时 ，所以，此时集合不具有性质，故， 若，因为，故中至少有两个负整数，则， 故，故，即； 综上，不成立即. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意逐个集合进行验证； （2）假设集合有个元素，应用反证法得到矛盾，即可证明； （3）三元素集，其中，分和两种情况讨论，再根据定义依次判断是否满足性质，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，证明如下： 对于三元素集，其中， 若，则，因为，且是中的最大值， 故即，此时， 此时，其中为大于1的正整数. 若, 当时，则，此时，故， 若，则，则，矛盾，故. 故， 若，则，矛盾，故， 此时，其中为负整数， 综上，满足性质的所有三元素集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华南师大附中2025-2026学年度（上）数学检测（一） 数学 2025年10月 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡相应位置上填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. {2} C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设集合，则满足的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 9 D. 5. 若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设，不等式的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.选项全对得6分，漏选得部分分，错选得0分. 9. 设，则的取值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 有最小值1 B. 有最小值2 C. 有最大值 D. 有最大值8 11. 取整函数：不超过的最大整数，如，，.以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（ ） A. ， B. ，，，则 C. ，， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______. 13. 设，集合，则______ 14. 对于，使恒成立时的取值范围_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设p：关于x的方程有两个不相等的实数根，q：关于x的方程无实数根. （1）若p为真，求m的取值范围； （2）若p为假且q为真，求m的取值范围. 17. 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. （1）当，求的值； （2）求面积的最大值，并求此时，的值. 18. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 19. 设数集（，）满足：①；②且，有，则称数集具有性质. （1）判断集合，是否具有性质，并说明理由； （2）若集合为有限集且具有性质，证明：集合的元素个数不超过3； （3）求满足性质的所有三元素集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $