第三章 圆锥曲线的方程 章末复习课（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系及综合问题，通过定义与方程的关联、性质与应用的结合，构建“定义-方程-性质-应用”的知识网络，明确各知识点间的逻辑脉络。 其亮点在于采用“定义辨析-典例精讲-反思感悟-跟踪训练”的复习路径，如通过椭圆定义解决焦点三角形面积问题，结合抛物线定义转化距离求最值，培养逻辑推理和数学运算素养。跟踪训练分基础与综合题，满足分层需求，帮助学生巩固知识，也为教师提供结构化复习方案，提升教学效率。

第三章 <<< 章末复习课 知识网络 一、圆锥曲线的定义及标准方程 二、圆锥曲线的几何性质 三、直线与圆锥曲线的位置关系 内容索引 四、圆锥曲线的综合问题 圆锥曲线的定义及标准方程 一 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：动点M的集合 {M||MF1|＋|MF2|＝2a}，其中|F1F2|＝2c，a，c为正常数，且a>c. (2)双曲线：动点M的集合 {M|||MF1|－|MF2||＝2a}，其中|F1F2|＝2c，a，c为正常数，且a<c. (3)抛物线：动点M的集合{M||MF|＝d}，其中定点F是定直线l外一点，d为点M到定直线l的距离. 2.求圆锥曲线方程的常用方法 (1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)待定系数法. 3.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养. (1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线 ＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_________. 则b2＝c2－a2＝3， 例 1 6 则点P的坐标为(x,2y). 因为点P在圆x2＋y2＝4上， 所以x2＋(2y)2＝4， 7 因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， 把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4， 8 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件. (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决. (3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离和到准线的距离进行相互转化，结合几何图形，利用几何意义去解决. 反 思 感 悟 9 跟踪训练 1 √ 10 椭圆C的焦距为8，则|F1F2|＝2c＝8， 由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12， 即|PF1||PF2|＝24， 又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝64， 所以(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝112， 即4a2＝112，a2＝28， 又c＝4，则b2＝a2－c2＝12， 11 (2)点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标. 12 抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|. 如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点 共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD| ＝2－(－2)＝4， 所以|PM|＋|PF|的最小值是4. 13 二 圆锥曲线的几何性质 1.本类问题主要有两种考查类型： (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点. (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”. 2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养. √ 例 2 16 因为四边形AF1BF2为矩形， 所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12， 所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2) ＝16－12＝4， 所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|＝12－4＝8， 17 (2)已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为A( ，0)，两条渐近线与以A为圆心，1为半径的圆都相切，则该双曲线的渐近线方程是 ________，该双曲线的标准方程是__________. y＝±x 18 所以渐近线方程为y＝±x， 19 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法. (2)齐次式法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的思路及方法. 求解离心率的两种方法 反 思 感 悟 20 跟踪训练 2 √ 21 设|AF2|＝m， ∵△ABF2为等边三角形， ∴|AB|＝|BF2|＝m， 又|BF1|＝|BF2|＝m， ∴AF2⊥F1F2， 22 23 √ 24 故抛物线C2的方程为x2＝16y. 25 直线与圆锥曲线的位置关系 三 1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，通过研究该一元二次方程的判别式与0的关系来确定直线和圆锥曲线公共点的情况，当然，还要注意二次项系数有没有为0的情况. 2.设直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 直线的斜率存在且为k，则弦长公式： 3.借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的核心素养. (1)求椭圆的方程； 例 3 29 30 由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， Δ＝m2－4(m2－3)＝12－3m2>0. ② 31 由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3. 32 将直线的方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程. (1)若方程为一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0⇔直线和圆锥曲线相交⇔直线和圆锥曲线有两个交点(或两个公共点)； ②Δ＝0⇔直线和圆锥曲线相切⇔直线和圆锥曲线有一个切点(或一个公共点)； 反 思 感 悟 33 ③Δ＜0⇔直线和圆锥曲线相离⇔直线和圆锥曲线无公共点. (2)若方程为一元一次方程(与双曲线或抛物线方程联立时可能出现)，则直线和圆锥曲线(双曲线或抛物线)有一个交点，但不相切. 反 思 感 悟 34 跟踪训练 3 由A(2,0)，得a＝2， (1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程； 35 (2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围. 若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解. 设f(y)＝6y2－8y＋4－a2， 36 37 圆锥曲线的综合问题 四 1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解. 2.圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理能力和数学运算素养. 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(2,2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点. (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； 由抛物线C：y2＝2px经过点P(2,2)知，4p＝4，解得p＝1. 则抛物线C的方程为y2＝2x. 例 4 40 (2)若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值. 由题意知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：x＝ty＋a， Δ＝4t2＋8a. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a. 解得y1y2＝0(舍去)或y1y2＝－4. 41 所以－2a＝－4，解得a＝2.满足Δ>0. 所以直线AB：x＝ty＋2. 所以直线AB过定点(2,0). 当且仅当y1＝2，y2＝－2或y1＝－2，y2＝2时，等号成立. 所以△AOB面积的最小值为4. 42 (1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解. (2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解. 反 思 感 悟 43 跟踪训练 4 44 ∴a＝2. 45 (2)已知P为直线y＝－a上任一点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，设直线PA，PB与椭圆的另一交点分别为C，D，求证：直线CD过定点. 46 设点P(m，－2)，C(xC，yC)，D(xD，yD)， 易知A(0,1)，B(0，－1)， 47 48  － 由题意得解得 x2－＝1 因此双曲线的方程为x2－＝1. (2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程. 方法一　由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)， 所以曲线C的方程为＋y2＝1. 方法二　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则D(x0,0)，由＝2，得x0＝x，y0＝2y， 所以x＋y＝4， (*) 所以曲线C的方程为＋y2＝1. (1)已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，椭圆C的焦距为8，则椭圆C的标准方程为 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 得|PF1||PF2|＝12， 则椭圆C的标准方程为＋＝1. 此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是. (1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点. 若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 A. B. C. D. 所以C2的离心率e＝＝. 由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2. 所以|AF2|－|AF1|＝2， 因此对于双曲线有a＝，c＝，  －＝1 又＝1，解得b2＝2， 双曲线的标准方程为－＝1. 由双曲线的一个顶点为A(，0)， 可知焦点在x轴上，则a＝， 故设双曲线的标准方程为－＝1(b>0)， 则渐近线方程为bx±y＝0， (1)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线右支上一点，连接AF1交y轴于点B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为 A.2 B. C. D. ∠F1AF2＝， ∴|BF2|＝|AF1|， ∴|AF2|＝， ∴tan∠F1AF2＝＝＝， ∴2ac＝b2＝c2－a2， ∴e2－2e－＝0， 解得e＝－(舍)或e＝， ∴双曲线C的离心率为. (2)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 A.x2＝y B.x2＝y C.x2＝8y D.x2＝16y 则有＝2，解得p＝8， 由e2＝1＋＝4得＝， 则双曲线的渐近线方程为y＝±x， 即x±y＝0，抛物线C2的焦点坐标为， |AB|＝|x1－x2|＝； 当k≠0时，弦长公式还可以写成 |AB|＝|y1－y2|＝. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0). 由题设知解得 ∴椭圆的方程为＋＝1. (2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程. ∴圆心到直线l的距离d＝， 由d<1得|m|<. ① ∴|CD|＝2＝2＝. 由得x2－mx＋m2－3＝0， ∴|AB|＝＝. 由＝，得＝1， 解得m＝±，经检验满足①②. ∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－. 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B. 由椭圆的离心率为，得a＝c， ∴c＝，b＝， ∴椭圆方程为＋＝1. 联立得6y2－8y＋4－a2＝0， 由e＝，设椭圆方程为＋＝1， ∴ 即 ∴≤a2≤4， 故a的取值范围是. 抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－. 由消去x，得y2－2ty－2a＝0. 因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0， S△AOB＝×2×＝＝≥＝4. 椭圆＋y2＝1(a>1)的右焦点F恰为抛物线y2＝2px的焦点，过点F且与x轴垂直的直线截抛物线、椭圆所得的弦长之比为4∶1. (1)求a的值； 设点F(c,0)，则c＝， 又过点F且与x轴垂直的直线截抛物线、椭圆的弦长分别为2p，， ∴2p＝4×，即4c＝4×， 又b＝1，∴a2＝1＋c2，ac＝2， 联立得x2－x＝0. 由(1)知，椭圆的方程为＋y2＝1， 当m≠0时，直线PA的方程为y＝－x＋1， 直线PB的方程为y＝－x－1， ∴直线CD的方程为y－＝， 整理得y＝x－. ∴直线CD恒过定点. 解得xC＝，yC＝， 同理可得xD＝，yD＝， ∴kCD＝， $