第三章 习题课 轨迹问题（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦轨迹方程求解，涵盖定义法、相关点法、直接法三种核心方法。以生活中轨迹现象导入，通过回顾圆和椭圆定义搭建旧知桥梁，结合例题详解每种方法的思路与步骤，配套跟踪训练和分层练习，形成完整学习支架。 其亮点在于融入数学眼光观察现实，如用流星轨迹激发兴趣，通过几何图形直观分析培养几何直观。以逻辑推理构建方法体系，如相关点法坐标代换体现数学思维，步骤规范强化数学语言表达。例题分层且含反思总结，助力学生掌握解题规律，教师可直接用于教学，提升课堂效率与学生探究能力。

习题课 第三章 <<< 轨迹问题 1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法. 2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程. (重点) 学习目标 生活中我们处处可见轨迹的影子. 例如：人生的轨迹，我们每个人的成长轨迹， 美丽的流星划过夜空留下的轨迹. 导 语 一、定义法求轨迹方程 二、相关点(代入法)求轨迹方程 课时对点练 三、直接法求轨迹方程 随堂演练 内容索引 定义法求轨迹方程 一 提示　圆上的点满足到圆心的距离等于半径.椭圆上的点满足到两定点的距离的和等于常数. 回顾圆、椭圆的定义，圆、椭圆上的点分别满足什么条件？ 问题1 一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程. 例 1 7 将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，可知 该圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图， 设动圆圆心M的坐标为(x，y)， 由于动圆与定圆内切，设切点为C. ∴定圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离， 即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6， ∴|BM|＋|CM|＝6， 又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6， 8 根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点，线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆. 9 观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程.注意要检验是否有要删除的点. 反 思 感 悟 10 跟踪训练 1 11 如图所示，由题意知， |PA|＝|PB|，|PF|＋|PB|＝2， 所以|PA|＋|PF|＝2>1＝|AF|， 所以动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆， 12 二 相关点(代入法)求轨迹方程 例 2 √ 14 依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)， 设P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)， 代入x0＝3x，y0＝3y， 15 (1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0). (2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0. (3)将x0，y0代入其所在的曲线方程. (4)化简方程得所求方程. 相关点(代入法)求轨迹方程的一般步骤 反 思 感 悟 16 跟踪训练 2 17 设Q(x，y)，P(x0，y0)， 18 直接法求轨迹方程 三 提示　建系、设点列式、化简检验. 直接法求轨迹方程的步骤有哪些？ 问题2 已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于 ，则顶点C的轨迹方程为_______________. 例 3 21 求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示. 反 思 感 悟 22 跟踪训练 3 23 设动点P(x，y)， ∴(x，y)＝(2m＋2n，m－n)， ∴x＝2m＋2n，y＝m－n， 24 1.知识清单： (1)定义法求轨迹方程. (2)相关点代入法求轨迹方程. (3)直接法求轨迹方程. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除(增加)的点. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6，则顶点A的轨迹方程是 在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6＞|BC|＝4， √ 1 2 3 4 A.圆 B.椭圆 C.线段 D.不存在 √ 即|PF1|＋|PF2|＝5>|F1F2|＝4，∴P点的轨迹为椭圆. 1 2 3 4 3.在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足， 当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是___________. 1 2 3 4 设点M的坐标为(x，y)， 点P的坐标为(x0，y0)， 则点D的坐标为(x0,0)， 1 2 3 4 ∵点P在圆x2＋y2＝4上， 1 2 3 4 1 2 3 4 整理可得9x2＋25y2＝225， 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0,3)的距离之和为10，则M的轨迹方程是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0,3)的距离之和为10＞6， 所以点M的轨迹满足椭圆的定义，且a＝5，c＝3，则b＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)， ∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， 又8＞4， ∴点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且a＝4，c＝2， ∴b2＝12， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知椭圆 ＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设椭圆的右焦点为F2， 又|MF1|＋|MF2|＝2a， 所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c， 故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.动圆M与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R， 动圆与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切， ∴|MM1|＋|MM2|＝1＋R＋5－R＝6， ∵|MM1|＋|MM2|＞|M1M2|＝2， ∴该动圆圆心M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且2a＝6，c＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(－2,0)，P是平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为 ，则动点P的轨迹C的方程为_______________. 设点P的坐标为(x，y)(x≠±2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图所示，Rt△ABC的顶点A(－2,0)，直角顶点B(0， )，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点. (1)求边BC所在直线的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程； 令y＝0，得C(4,0). ∴圆心M(1,0). 又∵|AM|＝3， ∴圆M的方程为(x－1)2＋y2＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程. ∵P(－1,0)，M(1,0)，且圆N过点P(－1,0)， ∴|PN|是该圆的半径. 又∵动圆N与圆M内切， ∴|MN|＝3－|PN|， 即|MN|＋|PN|＝3>2. ∴点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，且2a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1)求椭圆的标准方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点F(2,0)为其右焦点，则不妨令其左焦点为F′(－2,0)， 又a2＝b2＋c2， ∴b2＝12， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程. 设P(x0，y0)，Q(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线交CQ于点M，则M的轨迹方程为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆心C(－1,0)，半径为5，设点M(x，y)， ∵AQ的垂直平分线交CQ于点M， ∴|MA|＝|MQ|， ∴|MA|＋|MC|＝|MQ|＋|MC|＝5>|AC|＝2， 由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ＝2，则点C的轨迹为 A.椭圆 B.射线 C.圆 D.直线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点A，B是两个定点，不妨设|AB|＝2a， 以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设A(－a,0)，B(a,0)，C(x，y)， 即x2＋y2＝a2＋2，所以点C的轨迹为圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知在△ABC中，点A(－2,0)，点B(2,0)，若tan∠CAB·tan∠CBA＝2，则点C的轨迹方程为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由tan∠CAB·tan∠CBA＝2， 当x＝±2时，C与A或B重合，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设Q(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.折纸是很多人喜爱的游戏，通过自己动手折纸，可以激发和培养审美情趣、锻炼双手、开发智力、提高实践技能.一张圆形纸片的半径为8，圆心O到定点A的距离为6，在圆周上任取一点P，将圆形纸片折起，使得P与A重合，折痕记为直线l，直线l与直线OP的交点为Q.将此操作重复多次，则点Q的轨迹是______. 椭圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在圆周上任取一点P，将圆形纸片折起，使得P与A重合，折痕记为直线l， 直线l与直线OP的交点为Q，则|QP|＝|QA|， 由题意可知，圆O的半径为8，且|OA|＝6， 所以|QA|＋|QO|＝|QP|＋|QO|＝8>|AO|＝6， 所以点Q的轨迹为椭圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，圆A的半径为4，如图所示， 因为|AD|＝|AC|， 所以∠ACD＝∠ADC. 因为EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD， 故∠EBD＝∠ADC. 所以|EB|＝|ED|， 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|＝4，为定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2， 由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的 椭圆，且2a＝4，c＝1， 所以a2＝4，b2＝3， ∴a＝3，c＝2，b＝＝， ∴动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1. 已知点A，B是圆F：2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程. 所以动点P的轨迹方程为x2＋＝1， 即x2＋y2＝1. 所以a＝1，c＝，则b2＝， 已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为 A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0) C.＋3y2＝1(y≠0) D.x2＋y2＝1(y≠0) 得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0). 则由三角形重心坐标公式可得即 因为点P在椭圆C：＋＝1上， 所以＋＝1， 已知点P为椭圆E：＋＝1上的动点，点Q满足＝(O为坐标原点).则点Q的轨迹M的方程为____________. ＋＝1 则又P(x0，y0)在椭圆E上， 所以＋＝1， 即＋＝1， 故点Q的轨迹M的方程为＋＝1. 则＝(x，y)，＝(x0，y0)， 又由＝有(x，y)＝(x0，y0)， 所以＝－(y≠0)，化简得＋＝1(y≠0). 设点C(x，y)(y≠0)，则kAC·kBC＝×＝(y≠0)， － ＋＝1(y≠0) 已知A(2,1)，B(2，－1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足 ＝m＋n，其中m，n∈R，且m2＋n2＝，则动点P的轨迹方程是 ___________. ＋y2＝1 ∴2＋2＝，即＋y2＝1. ∵点P满足＝m＋n，其中m，n∈R， ∴m＝，n＝， ∵m2＋n2＝， 所以顶点A的轨迹方程是＋＝1(x≠±3). A.＋＝1(x≠±3) B.＋＝1(x≠±2) C.＋＝1(x≠±3) D.＋＝1(x≠±2) 则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，a＝3，c＝2，b＝， 2.设P(x，y)满足＋＝5，则P点的轨迹为 ∵＋＝5表示点P(x，y)到定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和为5， ＋＝1 ＝. ∵＝， ∴∴ ∴点M的轨迹方程是＋＝1. ∴x＋y＝4， ∴x2＋2＝4， 4.动点M(x，y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是___________. ＋＝1 所以＝， 即25[(x－4)2＋y2]＝162， 即＋＝1. 因为动点M(x，y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数， A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 椭圆的焦点在y轴上，所以点M的轨迹方程为＋＝1. A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(y≠0) C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(y≠0) ∴椭圆的方程为＋＝1(x≠0). ＋ 由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|， 4.已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点A到F1的距离是2，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 依题意有|AP|＝|PF2|，|AF1|＝|AP|＋|PF1|＝|PF1|＋|PF2|＝2＞|F1F2|＝2， ∴点P的轨迹是以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点的椭圆. ∵2a＝2，2c＝2，∴a＝，b＝， 故所求点P的轨迹方程是＋＝1. A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.x2＋＝1 ∴a＝3，b2＝8，∴椭圆的方程为＋＝1. 6.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 由＝＋， 可得(x，y)＝(x0,0)＋(0，y0)， 则解得 因为|AB|＝5，所以2＋2＝25， 即＋＝1. － 依题意，有×＝－， ＋＝1(x≠±2) 化简并整理，得＋＝1(x≠±2). ∴动点P的轨迹C的方程是＋＝1(x≠±2). 8.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，定义椭圆C上的点M(x0，y0)的“伴随 点”为N，则椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程为 ___________.  ＋y2＝1 设N(x，y)，由题意得 则又＋＝1(a>b>0)， 所以＋＝1， 即＋y2＝1. －2 ∵kAB＝－，AB⊥BC， ∴kCB＝. ∴边BC所在直线的方程为y＝x－2，即x－y－4＝0. ∵边BC所在直线的方程为x－y－4＝0， ∴a＝，c＝1，b＝＝＝. ∴圆心N的轨迹方程为x2＋y2＝1. 依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)， 从而有 解得 故椭圆C的标准方程为＋＝1. ∵Q为PF的中点，∴⇒ 又P是＋＝1上的动点， ∴＋＝1， 即Q点的轨迹方程是＋＝1. A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 ∴b＝， 故椭圆方程为＋＝1. · 所以＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)， 由·＝2得(x－a)(x＋a)＋y2＝2， A.＋＝1 B.＋＝1(x≠±2) C.－＝1 D.＋＝1(x≠±2) 设C(x，y)，则kCA＝，kCB＝， 得×＝2，即＋＝1， 所以点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±2). 14.P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐 标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是 _____________. ＋＝1 ∵＝＋， ∴＝－＝， ∵P是椭圆＋＝1上的任意一点， ∴＋＝1，∴＋＝1. 所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0). $