第三章 培优课 抛物线焦点弦性质的应用（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦抛物线焦点弦性质应用，通过典型例题导入，涵盖坐标关系、弦长公式、焦半径关系及圆与准线相切等知识点，构建从基础推导到结论应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合通法与二级结论对比教学，培养学生推理意识与抽象能力，如例3用1/|AF|+1/|BF|=2/p快速求解弦长。通过反思感悟与课堂小结归纳方法，强化模型意识，助力学生提升解题效率，也为教师提供系统教学资源，便于实施分层教学。

培优课 第三章 <<< 抛物线焦点弦性质的应用 抛物线的焦点弦有很多性质，比如：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (2)以弦AB为直径的圆与准线相切； 运用这些性质可以减少运算，使解决问题变得更加快捷. 课时对点练 四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 随堂演练 内容索引 一、x1·x2＝ ，y1·y2＝－p2的应用 二、|AB|＝x1＋x2＋p＝ 的应用 一 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若 ＝－12，则抛物线C的方程为 A.x2＝8y B.x2＝4y C.y2＝8x D.y2＝4x √ 例 1 5 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 解得p＝4(舍负)， 即抛物线C的方程为y2＝8x. 6 解得p＝4(舍负)， 即抛物线C的方程为y2＝8x. 7 在选择题中运用推导得出的公式处理，就可以避免小题大做，而且可以事半功倍，起到很好的效果. 反 思 感 悟 8 已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是 A.直角 B.锐角 C.钝角 D.与点A，B位置有关 跟踪训练 1 √ 9 10 二 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程. 设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 例 2 故所求的抛物线方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上，抛物线方程为y2＝±4x. 12 利用|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解抛物线焦点弦的长度问题. 反 思 感 悟 13 经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝____. 2 跟踪训练 2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14， 14 三 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于 √ 例 3 16 将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题. 反 思 感 悟 17 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为 跟踪训练 3 √ 18 19 以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 四 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切. 设抛物线的准线为l，焦点为F，如图，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，M为AB的中点，作MM′⊥l于点M′， 则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|， 在直角梯形BB′A′A中， 例 4 即|MM′|等于以AB为直径的圆的半径. 故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 21 分别以焦半径AF，BF为直径的圆，与y轴有什么关系？ 它们都与y轴相切，证明如下： 设抛物线的准线为l，如图，作AA′⊥l于点A′， 交y轴于点E， 取AF的中点M，作MM′⊥y轴于点M′， 则由抛物线的性质可知|AA′|＝|AF|，|OF|＝|A′E|， 在直角梯形OFAE中， 延伸探究 22 即|MM′|等于以AF为直径的圆的半径， 故以AF为直径的圆与y轴相切， 同理可得以BF为直径的圆与y轴相切. 23 解析几何中的选择题和填空题都很小巧灵活，既考查运算功底(通法)，也考查思维的灵活性(小题小做).为了不“小题大做”，熟悉一些常见的二级结论尤为重要. 反 思 感 悟 24 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF＝60°，则∠MFO的大小为 A.15° B.30° C.45° D.不确定 跟踪训练 4 √ 如图，取AB的中点G，连接MG， 则以AB为直径的圆与准线l相切于点M， 根据抛物线性质，MG∥x轴，且MF⊥AB， ∵∠AMF＝60°， ∴∠GAM＝∠GMA＝30°， ∴∠MFO＝∠GMF＝30°. 25 1.知识清单：抛物线焦点弦性质的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是 A.y轴 B.x＝－1 C.x＝－2 D.不存在 √ 抛物线焦点为F(1,0)，即 ＝1，p＝2，故抛物线C：y2＝4x，准线方程为x＝－1，由焦点弦性质知，以弦AB为直径的圆与准线相切，故选B. 1 2 3 4 2.过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|等于 A.9或6 B.6或3 C.9 D.3 √ 1 2 3 4 方法一　设点A为第一象限内的点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，y1>0， 则由题意可得F(2,0)，|AF|＝x1＋2＝6， 将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝0， 所以x2＝1，所以|BF|＝x2＋2＝3. 1 2 3 4 方法二　由抛物线焦点弦的性质可得， 1 2 3 4 3.已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2等于 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 4.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ的中点M到抛物线准线的距离为______. 由抛物线的方程y2＝4x，可得p＝2，故它的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 4 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为 A. B.p C.2p D.无法确定 √ 当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 的值一定等于 A.－4 B.4 C.p2 D.－p2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦.若|AB|＝4，则AB中点的纵坐标是 如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：x＝ ，若过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系为 A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三个答案均有可能 √ 根据结论可知以AB为直径的圆和准线相切， 该抛物线的准线为x＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由抛物线焦点弦的性质知ABD正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝______. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AF|＋2|BF|的最小值为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　因为直线l的倾斜角为60°， 所以|AB|＝5＋3＝8. 方法二　因为抛物线y2＝6x， 所以p＝3， 又直线l的斜角α＝60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程； ∴抛物线方程为y2＝4x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若|AB|＝8，求直线l的斜率. 方法一　由(1)知焦点为F(1,0)， 若直线l斜率不存在，则|AB|＝4，不符合题意， 因此设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 解得k＝1或k＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　若直线l的斜率不存在，则|AB|＝4，不符合题意， 设直线l的倾斜角为α， 即α＝45°或135°，则k＝tan α＝±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是 A.抛物线的准线方程为x＝－1   C.若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1 D.若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 把点B(1,2)代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确； 因为A，F，C三点共线，所以直线AC是焦点弦，所以y1y2＝－p2＝ －4，故C不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设AC的中点为M(x0，y0)， 因为|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2， 所以2x0＋2≥6，得x0≥2， 即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧.若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程l：x＝－1，设准线l与x轴交于点H，不妨设点A在第四象限，过A和B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，如图，由抛物线的定义可知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，又|AC|＝2|AF|，所以|AC|＝2|AD|，则∠ACD＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C准线l上一点且PF⊥MN，连接PM交y轴于点Q，过点Q作QD⊥MF于点D，若|MD|＝2|NF|，则|MF|＝________. 作MM′⊥l于点M′，设MM′交y轴于点R. 易知△MM′P≌△MFP，则∠PMM′＝∠FMP， 从而有△MRQ≌△MDQ，所以|MR|＝|MD|. 因为|MM′|＝|MF|，所以|DF|＝|M′R|＝1， 设|NF|＝x，则|MD|＝2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率k>0，B，C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 设C(x3，y3)，D(x4，y4)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，A，B，M，N为抛物线y2＝4x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1,0). (1)记A，B的纵坐标分别为yA，yB，横坐标分别为xA，xB，求yA·yB，xA·xB的值； 由抛物线方程y2＝4x， 可知焦点为F(1,0)，直线AB过点F， 所以yA·yB＝－p2＝－4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，若k2＝3k1，则直线AN是否过x轴上一定点，若过定点，求出定点坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设M(xM，yM)，N(xN，yN)，直线MN过焦点F， 则yM·yN＝－4， ∵直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，且k2＝3k1， 整理得3(yM＋yB)＝yN＋yA， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴4x－(yN＋yA)y＋yN·yA＝0，∴4x－(yN＋yA)y－12＝0， 令y＝0，得x＝3， 则直线AN过x轴上一定点，定点坐标为(3,0). (1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； (4)＋＝为定值.   三、＋＝的应用  x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用 · 得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12， 方法一　设直线AB的方程为x＝my＋， 联立消去x，得y2－2pmy－p2＝0， 则y1y2＝－p2，x1x2＝＝， 方法二　直接运用x1·x2＝，y1·y2＝－p2， 得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12， 方法一　抛物线C的焦点F的坐标为(0,1)，由题意分析可知，直线m的斜率一定存在.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线m的方程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4＋1＝－3<0，所以∠AOB为钝角. 方法二　抛物线焦点在y轴上，则x1x2＝－p2＝－4，y1y2＝＝1，则·＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3<0，故∠AOB为钝角. |AB|＝x1＋x2＋p＝的应用 依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋. 则|AB|＝，∴＝8，∴p＝2， ∴14＋p＝，∴p＝2. ＋＝的应用 A.4 B. C.5 D.6 因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. A.5 B.6 C. D. 所以|BF|＝， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝. 如图，过点A作AD⊥l，|AD|＝|AF|＝|AC|＝4，|OF|＝＝4×＝1，所以p＝2， 因为＋＝，|AF|＝4， |MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|， |MM′|＝(|OF|＋|AE|)＝(|A′E|＋|AE|)＝|AA′|＝|AF|，   直线AB的方程为y＝2(x－2)， 则x1＝4，由y＝8x1，得y1＝4， 所以kAB＝＝2， ＋＝， 所以＝－＝，可得|BF|＝3. A.－ B.－ C.－1 D.－2 ∴x1x2＝－ 方法二　y＝2x2即x2＝y， 由抛物线焦点弦的性质知，x1x2＝－p2＝－. 方法一　依题意，直线MN斜率存在，设其方程为y＝kx＋， 由消去y整理得x2－kx－＝0， 由中点坐标公式可得PQ的中点M，由于x1＋x2＝6， 则M到准线的距离为＋1＝4.    x1x2＝，y1y2＝－p2，所以＝－4. A.1 B.2 C. D. 由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4， |PQ|＝＝2. 又|PQ|＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝. 4.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则＋的值为 A. B. C.1 D.2 由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝＝1. － 故这个圆和直线x＝－相离. A.x1x2＝ B.y1y2＝－p2 C.∠AMB＝90° D.＋＝ ∵M点坐标为，故＝，＝，·＝x1x2＋(x1＋x2)＋＋y1y2＝(x1＋x2－p). 当x1＋x2－p≠0时，·≠0，即∠AMB≠90°，故C错误. 设直线AB的倾斜角为α，则sin α＝，由题意知，直线l：y＝x－1过点(1,0)，所以＝1，解得p＝2，则|AB|＝＝＝8. 3＋2 由题意知p＝2，所以＋＝＝1， |AF|＋2|BF|＝(|AF|＋2|BF|)＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当＝时，等号成立. 所以其斜率k＝tan 60°＝. 又F. 所以直线l的方程为y＝. 联立 消去y，得x2－5x＋＝0. 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝x1＋x2＋p， 所以|AB|＝＝＝8. |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p ＝x1＋x2＋3＝9， 所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3， 又准线方程是x＝－， 所以M到准线的距离等于3＋＝. 由题意|PF|＝1＋＝2，p＝2， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 则x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋2＝＋2＝8， 根据焦点弦的性质，|AB|＝， 代入可得sin2α＝＝， A. B. C. D. 易知抛物线中p＝，焦点F， 直线AB的斜率k＝， 故直线AB的方程为y＝， 由抛物线的性质可得弦长|AB|＝＝12， 又O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝， ∴S△OAB＝|AB|·d＝. B.若＋＋＝0，则2||＝||＋|| 因为A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(0,2)，＝(x2－1，y2)，又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2， 所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，故B正确； . 所以直线AB的倾斜角为， 因为|HF|＝p＝2，＝＝， 所以|AF|＝|AD|＝. 又|AB|＝＝＝， 即|AF|＋|BF|＝，所以|BF|＝4. 2＋ 解得x＝(负值舍去)，|MF|＝1＋2x＝2＋. 由＋＝＝1，得|MF|＝， 所以＝1＋2x， A.·＝－p2 B.四边形ACBD面积的最小值为16p2 C.＋＝ D.若|AF|·|BF|＝4p2，则直线CD的斜率为－ F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ， ∴y1y2＝－p2，x1x2＝，|AB|＝， 同理可得y3y4＝－p2，x3x4＝，|CD|＝. 对于A，·＝x3x4＋y3y4＝－p2＝－，故正确； 对于B，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝＝，故其最小值为8p2，故错误； 对于C，＋＝＋＝，故正确； 对于D，若|AF|·|BF|＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝4p2， 则(x1＋x2)＝， ∴x1＋x2＝7p，即7p＋p＝， ∴sin2θ＝，sin θ＝(舍负)， 又k>0，∴θ＝， 则直线CD的倾斜角为，其斜率为－，故正确.  xA·xB＝＝1. ∴y＝4xM，y＝4xN， ∴＝， 即＝， ∴3＝yN＋yA，即yN·yA＝－12， 设直线AN的方程为y－yA＝(x－xA)， ∴y－yA＝(x－xA)， 即y－yA＝(x－xA)， $