专题07 圆锥曲线中的定点、定值、定直线的问题（3重点+11题型+复习提升）（复习讲义）高二数学人教A版

该高中数学讲义以思维导图系统构建圆锥曲线中定点、定值、定直线问题的知识体系，梳理直接推导、先猜后证等核心方法，通过表格对比呈现题型技法，清晰展现知识点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于11类分层题型设计，如“直线过定点问题”“斜率定值问题”，融入“设而不求”“参数消元”等技巧，培养数学思维与推理能力。例题覆盖不同难度，助力分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题07 圆锥曲线中的定点、定值、定直线的问题 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：定点问题 找到动直线（或动点）方程中参数（如斜率k）的“不变部分”。将方程整理为关于参数的恒等式，令其系数为零，即可求出定点（或定直线）。 一、直接推导 1. 设参：设出动直线的方程。通常已知直线过某个定点或已知斜率，常用点斜式：。 2. 寻找关系：利用题目条件（如直线与圆锥曲线相切、相交，或与其他几何条件如垂直、中点等相关），找到一个关于和的关系式。 3. 消参定型：将找到的和关系式代回原始的直线方程中。得到只含一个参数的解析式。 关键步骤：将此方程整理为关于参数k的方程，要使这个方程对所有值都成立，则k的系数和常数项必须同时为零。 对于形式，定点显然是(D, C)。 对于更复杂的形式，将方程按k的幂次项整理，令各项系数为零，解方程组即可求出定点(x, y)。 二、先猜后证法 当直接推导复杂或难以进行时，此方法能指明方向，简化计算。 猜定点：特殊位置法：取参数（如斜率k）的两个特殊值（如0,斜率不存在（竖直直线）,1,-1等），画出两条对应的特殊位置直线。求交点：解这两条特殊直线的交点，该点即为猜測的定点(。 证定点：则动直线的方程可以化简为。（为参数的解析式） 知识点2：定值问题 将待证的目标量（如斜率积、线段乘积、面积等）用参数（通常是斜率）表示出来，通过代数运算消去参数，若结果是一个常数，则定值得证。 常见的定值类型有： 1、斜率的和、积、比为定值 2、线段长度、乘积或倒数和为定值 3、面积为定值 4、向量数量积为定值 “先猜后证”：取参数的特殊值（如），快速计算出目标量的值。这个值很可能就是定值。这不仅能预知结果、增强信心，还能用来验证最终化简结果是否正确。 “设而不求”的极致运用：不仅对交点坐标“设而不求”，对于复杂的中间量，也保持其整体形式，在后续运算中可能会相互抵消。 参数关系式的挖掘：定值问题的核心往往在于题目中隐藏的参数关系。 知识点3：定直线问题 将动点的坐标表示为某个参数（通常是斜率）的函数，然后消参，得到一个关于的二元一次方程，即为定直线方程。 主要步骤为：1、设参并表示动点2、建立关系3、消参4、得到定直线方程 在解题过程中，可以使用几何性质转化，先猜后证等方法帮助解决计算问题 【题型1 直线过定点问题】 高妙技法 找到动点方程中参数方程,整理为关于参数的恒等式，令其系数为零，即可求出定点（或定直线）。 1．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知 分别为椭圆的上、下焦点， ，点 为椭圆C上一点． (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于两点． （i）当点M运动时，求点的轨迹方程； （ii）已知以椭圆 上一点为切点的切线方程为 ，若直线l交直线于点 由点Q引椭圆C的另一条切线，切点为N，求证：直线过定点. 3．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆过点，左焦点为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知不与轴垂直的直线交椭圆于，两点（，异于点），直线，分别与轴交于，两点，若，的横坐标的乘积为，则直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 4．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆分别是的左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， ①若直线交于点，证明点在定直线上，并求出该定直线的方程； ②证明：直线过定点，并求出此定点坐标. 【题型2 定点存在问题与位置关系】 高妙技法 与角度、位置关系等有关的存在性问题，假设存在，然后根据题目几何条件列出方程，根据假设条件求解，看解是否在合理范围内。 1．（25-26高三上·重庆·月考）椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；点 为椭圆 上的两个不同动点， 面积的最大值为 . (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为 . （i）若 在 轴上方，且 ，求证: 直线过定点; （ii）点在运动过程中，是否存在某些位置使得 且 ? 若存在，求出此时点 的坐标; 若不存在，请说明理由. 2．（25-26高二上·贵州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，为坐标原点，若，椭圆的离心率为，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一动点，且的最大值为6. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点. （i）求的取值范围； （ii）已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 4．（25-26高三上·广东惠州·月考）已知为坐标原点，椭圆的右焦点为的长轴长为4，直线过点且与交于两点． (1)求的标准方程； (2)当直线的斜率为时，求的面积： (3)在轴上是否存在一个定点，使得直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【题型3 定点存在问题与线段定值】 高妙技法 与线段为定值有关的存在性问题，假设存在，然后根据题目几何条件列出方程，根据假设条件求解，看解是否在合理范围内。 1．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，且的一条渐近线的斜率为2. (1)求的方程； (2)如图，记的右顶点为，过点作直线与的左支分别交于两点，且为垂足．证明：存在定点，使得为定值，并求出点坐标． 2．（25-26高二上·山东日照·期中）已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为. (1)求点的轨迹的方程； (2)已知直线的方程为，直线上有一动点，求的最大值； (3)若，为轨迹上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，，使为定值?若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由. 3．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N. ①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）； ②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 4．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度； (3)直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值. 【题型4 定点存在问题与面积定值】 高妙技法 与面积定值有关的存在性问题，先假设定点存在，然后根据题目条件求解，判断解是否在合理范围。 1．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知椭圆的左右顶点分别为为上一点，离心率为为上异于的点. (1)求的方程； (2)为椭圆上异于的另一点（不与重合），直线不与坐标轴平行，点关于原点对称的点为.若直线与相交于点，直线与直线相交于点.证明：在上存在定点，使得的面积为定值，并求出该定值； 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知，平面上一动点满足，点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)曲线与y轴正负半轴分别交于两点，不与坐标轴平行的直线与曲线交于M、N两点， ①若直线斜率之积为，证明直线过定点； ②若直线方程为，点关于原点对称点为，直线交于点，直线OT与直线交于点，曲线上是否存在点，使得面积为定值，若存在求出点坐标，若不存在，请说明理由. 3．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程： (2)过点的直线交圆于点M、N，直线垂直，且交C于点P、Q，交于点A．记，的面积分别为，． （i）若，求t的取值范围； （ii）是否存在常数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型5 定点存在问题与斜率定值】 高妙技法 与斜率定值有关的存在性问题，先假设定点存在，然后根据题目条件求解，判断解是否在合理范围。 1．（25-26高二上·湖北荆州·月考）已知椭圆的焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点. (1)若，求的周长； (2)①若，求椭圆的方程； ②根据①中所求椭圆方程，在轴是否存在异于的定点Q，使为定值(其中为直线QA，QB的斜率)?若存在，求出Q的坐标;若不存在，请说明理由. 2．（25-26高三上·广东·月考）已知椭圆的焦距为，且与直线相切.直线与交于两点，为坐标原点，是上的点（异于），直线的斜率分别为. (1)求的方程； (2)若的面积为，求的值； (3)是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由. 3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（24-25高二上·福建福州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，经过点，. (1)求的标准方程； (2)定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作. （i）证明：存在两个点使得是的“共轭点对”，并求的坐标； （ii）设（i）中的两个点分别为，，已知过点的直线与椭圆交于C，D两点，则直线上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【题型6 定点存在问题与向量积定值】 高妙技法 与向量积为定值有关的存在性问题，先假设定点存在，然后根据题目条件求解，判断解是否在合理范围。 1．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点．是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025高二上·江苏·专题练习）已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，在轴上存在定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值，求出此定值和所有的定点的坐标. 3．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1 (1)求P的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于A、B， （ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程； （ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过椭圆右焦点且不重合于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型7 证明斜率和、差、积、商的定值】 高妙技法 使用韦达定理或者移动齐次化可以表示出斜率的和、差、积、商，经过整理化简证明该值与假设的参数没有关系，难度在运算上。 1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）在平面直角坐标系中，点A，B分别是椭圆的右顶点，上顶点，若C的离心率为，且O到直线AB的距离为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，点N在x轴下方且不在y轴上，设直线BM，BN的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值； 2．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点． (1)求的方程； (2)当时，求的方程； (3)设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆，分别是的左、右顶点，点在上，且在轴上方. (1)若为坐标原点，直线与垂直，求点的坐标； (2)设直线交直线于点，连接交于点.设直线的斜率分别为，求证：为定值. 4．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知点，的坐标分别为，，将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线. (1)求曲线方程； (2)上关于原点对称的两点，，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，. ①求与的斜率的乘积； ②问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【题型8 证明线段的定值】 高妙技法 使用韦达定理表示出线段表达式，经过整理化简证明该值与假设的参数没有关系，难度在运算上。 1．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离与到定直线的距离之比为，记动点P的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程. (2)已知，点A，B在轨迹C上，且在x轴的同侧，，交于点G，证明：为定值. 2．（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 3．（25-26高二上·江苏南京·期中）如图，曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点. (1)求曲线和所在的椭圆和抛物线的方程； (2)过点作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线和依次交于四点. ①求面积的取值范围. ②若是的中点，为的中点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 4．（24-25高二下·广西柳州·开学考试）已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若点H在椭圆C上，、是椭圆C的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线l与椭圆C交于A、B两点，证明：为定值． 【题型9 证明面积的定值】 高妙技法 使用韦达定理表示面积，经过整理化简证明该值与假设的参数没有关系，难度在运算上。 1．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. (1)若，求； (2)若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； (3)若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值. 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知点在运动过程中总满足关系式． (1)点的轨迹是什么曲线？写出它的方程； (2)设点的轨迹为曲线，求曲线的内接菱形的面积的最小值； (3)已知曲线上不共线的三个点、、，原点为的重心，请探究的面积是否为定值．若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 3．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的顶点到焦点的距离为，点，过点的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一交点分别为．记的面积分别为． (1)求抛物线的方程； (2)若过原点的一条直线与圆相切，且与抛物线的另一交点为，求的值； (3)请问是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 4．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知圆，圆.动圆与圆外切，且与圆内切，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为的直线与相交于点，（在的左侧）. ①设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； ②设直线，相交于点，点为的内心，记，，的面积分别为，，，证明：为定值. 【题型10 证明向量积的定值】 高妙技法 表示出向量积公式，联立方程使用韦达定理，经过整理化简证明该值与假设的参数没有关系，难度在运算上。 1．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为、，且. (1)求的方程； (2)为坐标原点，过的直线与交于，两点， （i）若以为直径的圆过点，求的方程； （ii）若与轴交于点，直线与直线交于点，证明：为定值. 2．（2025高二·全国·专题练习）如图，椭圆有两顶点、，过其焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．当点P异于A，B两点时，求证：为定值．    3．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为 ， (1)求椭圆的焦距和离心率. (2)若点是椭圆任意一点，判断是否为定值，并说明理由. (3)斜率为的直线与椭圆交于，两点， 的中点为，的中点为，到直线的距离为，椭圆的右顶点到直线的距离为，试判断 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【题型11 点在定直线上】 高妙技法 表示定直线的方程需要化简，这里的消参化简过程是运算复杂的地方，可以使用先猜后证的方法处理。 1．（25-26高二上·河北·期中）在平面直角坐标系中，对于椭圆E：（），我们把曲线：（）叫椭圆E的共焦共形椭圆簇. (1)证明：曲线为有公共焦点的椭圆； (2)对于任意的椭圆E外一点P，是否存在两个不同的k，使曲线过点P？如果存在，求出k的值，若不存在，请说明理由； (3)过曲线外定点作曲线的两条切线，过两切点M，N的直线方程为，若线段MN的中点为G.证明：对于符合条件的实数k，点G始终在一条定直线上. 2．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：（）的左右顶点为，，短轴长为，且上的动点满足直线、的斜率之积为． (1)求的方程； (2)已知，过点的直线与椭圆交于点（异于），求面积的最大值． (3)若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线与相交于点．试判断点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由． 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知点F为椭圆的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆于点.过点P作椭圆的切线，交x轴于点Q. (1)求椭圆的方程； (2)求点Q的坐标； (3)过点Q的直线交椭圆于A，B两点，过点A作x轴的垂线与直线交于点D，求证：线段的中点在定直线上. 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且． (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）． （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上． 1．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线l与椭圆相交于不同两点，且直线的斜率之积为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)试问：动直线l是否过定点？若过定点，求出其坐标；若不过定点，请说明理由． 2．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，，是右支上一点，已知的最小值为． (1)求的标准方程； (2)经过点的直线与交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，过点作（为坐标原点），垂足为．则在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； (3)设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围. 4．（25-26高二上·云南昆明·期中）椭圆：上的一个动点，点到右焦点的距离的最小值为1，的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线不经过原点，且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值； (3)若直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近点的一侧）.在直线上是否存在一定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 5．（2025高二·全国·专题练习）已知，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)曲线的右顶点为，直线与相交于点，，设直线，的斜率分别为，，且．作，垂足为，是否存在某个定点，使得以为直径的圆经过点?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（25-26高二上·广西贺州·月考）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 7．（2025·上海崇明·一模）已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． (1)求椭圆的离心率； (2)若，直线的方程； (3)求证：为定值． 8．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知圆过点，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆C于异于点M的A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为，，求证：为定值. 9．（25-26高三上·河北·期中）已知椭圆C 直线与C 交于点 M，N，且线段的中点为 (1)求C 的离心率. (2)若点M在x轴上，点 P，Q（点Q在点 P的右上方）在C上，且直线与直线平行. （i）求直线与直线之间距离的取值范围； （ii）求证：直线，的交点在定直线上. 10．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆E：的长轴端点为，，斜率为k的直线l与椭圆E交于M，N两点（与长轴端点不重合），记直线AM，AN，BM的斜率分别为，，，且满足. (1)求证：为定值； (2)求证：直线l过定点； (3)判断直线AN，BM的交点P是否在一条定直线上，并证明你的结论. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆锥曲线中的定点、定值、定直线的问题 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：定点问题 找到动直线（或动点）方程中参数（如斜率k）的“不变部分”。将方程整理为关于参数的恒等式，令其系数为零，即可求出定点（或定直线）。 一、直接推导 1. 设参：设出动直线的方程。通常已知直线过某个定点或已知斜率，常用点斜式：。 2. 寻找关系：利用题目条件（如直线与圆锥曲线相切、相交，或与其他几何条件如垂直、中点等相关），找到一个关于和的关系式。 3. 消参定型：将找到的和关系式代回原始的直线方程中。得到只含一个参数的解析式。 关键步骤：将此方程整理为关于参数k的方程，要使这个方程对所有值都成立，则k的系数和常数项必须同时为零。 对于形式，定点显然是(D, C)。 对于更复杂的形式，将方程按k的幂次项整理，令各项系数为零，解方程组即可求出定点(x, y)。 二、先猜后证法 当直接推导复杂或难以进行时，此方法能指明方向，简化计算。 猜定点：特殊位置法：取参数（如斜率k）的两个特殊值（如0,斜率不存在（竖直直线）,1,-1等），画出两条对应的特殊位置直线。求交点：解这两条特殊直线的交点，该点即为猜測的定点(。 证定点：则动直线的方程可以化简为。（为参数的解析式） 知识点2：定值问题 将待证的目标量（如斜率积、线段乘积、面积等）用参数（通常是斜率）表示出来，通过代数运算消去参数，若结果是一个常数，则定值得证。 常见的定值类型有： 1、斜率的和、积、比为定值 2、线段长度、乘积或倒数和为定值 3、面积为定值 4、向量数量积为定值 “先猜后证”：取参数的特殊值（如），快速计算出目标量的值。这个值很可能就是定值。这不仅能预知结果、增强信心，还能用来验证最终化简结果是否正确。 “设而不求”的极致运用：不仅对交点坐标“设而不求”，对于复杂的中间量，也保持其整体形式，在后续运算中可能会相互抵消。 参数关系式的挖掘：定值问题的核心往往在于题目中隐藏的参数关系。 知识点3：定直线问题 将动点的坐标表示为某个参数（通常是斜率）的函数，然后消参，得到一个关于的二元一次方程，即为定直线方程。 主要步骤为：1、设参并表示动点2、建立关系3、消参4、得到定直线方程 在解题过程中，可以使用几何性质转化，先猜后证等方法帮助解决计算问题 【题型1 直线过定点问题】 高妙技法 找到动点方程中参数方程,整理为关于参数的恒等式，令其系数为零，即可求出定点（或定直线）。 1．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【详解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形，    由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知 分别为椭圆的上、下焦点， ，点 为椭圆C上一点． (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于两点． （i）当点M运动时，求点的轨迹方程； （ii）已知以椭圆 上一点为切点的切线方程为 ，若直线l交直线于点 由点Q引椭圆C的另一条切线，切点为N，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)（i），（ii）. 【分析】（1）由得到，将代入椭圆，联立方程组求解即可； （2）（i）直线和椭圆联立方程组，消去，整理得到，由椭圆C与直线有唯一公共点M，得到，即得，同时从方程中解出，将其代入解得，从而得到的坐标，求出过点M且与l垂直的直线方程，从而得到点的坐标，则点中的和分别为点的横纵坐标，通过计算得到和的方程，即为所求； （ii）分别求出，为切点的切线方程，又这两条切线都过，将代入这两条切线方程得到直线的方程，将代入直线得到，代入直线的方程从而求出直线过的定点. 【详解】（1），，， 为椭圆上一点，， 联立方程组，解得，椭圆C的方程为； （2）（i）直线和椭圆联立方程组，消去， （3） （4）整理得到， 椭圆C与直线有唯一公共点M， ，， ，且的解为， 代入解得， 则，，， ， 过点M且与l垂直的直线方程为， 设，则，则， 设，则，则， 中的，， ，，， ， ； （ii）椭圆C的方程为，引椭圆C的另一条切线，切点为N， 设，则为切点的切线方程为， 则为切点的切线方程为， 这两条切线都过， ，直线的方程为， 在直线上，，， 直线的方程为，， ，，， 直线过定点.    3．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆过点，左焦点为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知不与轴垂直的直线交椭圆于，两点（，异于点），直线，分别与轴交于，两点，若，的横坐标的乘积为，则直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线恒过定点 【分析】（1）根据椭圆的性质和已知条件求出、、的值，进而得到椭圆的标准方程； （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出，再根据直线、与轴交点的横坐标乘积为，求出直线所过的定点。 【详解】（1）设椭圆的标准方程为已知椭圆过点，则， 左焦点，由可得，，解得， 所以，故椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为，，， 由消去得，当时，，，    由，得，则直线的方程为，令，得点的横坐标，直线的方程为，令，得点的横坐标， 于是， 即， 则有，化简得，解得或（舍去），所以直线的方程为，直线恒过定点． 4．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆分别是的左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， ①若直线交于点，证明点在定直线上，并求出该定直线的方程； ②证明：直线过定点，并求出此定点坐标. 【答案】(1) (2)①证明见详解，；②证明见详解，. 【分析】（1）根据条件得出的关系，求解方程可得答案； （2）①根据斜率关系分别设出直线方程，求解交点可证；②联立方程分别求出的坐标，写出直线方程，化简可得直线过定点. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为的最大值为3，所以； 因为当为椭圆上顶点时，为等边三角形，所以，解得， 所以，即椭圆的标准方程为. （2）①证明：由（1）知，; 设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为， 直线的方程为， 联立，可得，即点在定直线上. ②证明：设，联立，得， 则有，解得，，即； 联立，得， 由得，，即； 设直线的斜率为， 当时，即时， 则. 所以直线的方程为， 即，所以直线过定点. 当，若，则,,此时直线的方程为； 若，则,,此时直线的方程为； 综上可得，直线恒过定点. 【题型2 定点存在问题与位置关系】 高妙技法 与角度、位置关系等有关的存在性问题，假设存在，然后根据题目几何条件列出方程，根据假设条件求解，看解是否在合理范围内。 1．（25-26高三上·重庆·月考）椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；点 为椭圆 上的两个不同动点， 面积的最大值为 . (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为 . （i）若 在 轴上方，且 ，求证: 直线过定点; （ii）点在运动过程中，是否存在某些位置使得 且 ? 若存在，求出此时点 的坐标; 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由离心率及 面积的最大值列出等式求得即可求解； （2）（i）设直线方程为：，联立椭圆方程，由韦达定理结合，求得即可求证；（ii）设，由，得到直线的方程为：，直线的方程为：，联立求得，结合点，点在椭圆上，列出等式求解即可. 【详解】（1）由题意，即， 当点位于短轴端点时， 面积的最大值，得： ，即， 又， 所以，即 解得：， 故椭圆的标准方程为 （2）    （i）设直线方程为：， 由得：， ， 因为，所以， 即 所以， 整理得：， 代入韦达定理， 化简得： 所以直线方程为：，恒过定点； （ii）设，显然， 则直线斜率为，直线的斜率为. 因为， 所以直线斜率为，直线的斜率为. 所以直线的方程为： 直线的方程为：， 两方程联立解得：，即， 因为点在椭圆上，所以， 即或， 又点在椭圆上，， 联立无解， 联立，解得：， 所以符合条件的点得坐标为. 2．（25-26高二上·贵州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，为坐标原点，若，椭圆的离心率为，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由题意求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式得到P点坐标，利用从而求得结果. 【详解】（1）由题意则， 由于，则，， 则椭圆的标准方程为. （2）设直线 令，则， 将*代入整理得， 设，则， ， 设，为的中点， ，， ， ， ， 当时，恒成立， 所以存在定点使得对于任意的都有. 3．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一动点，且的最大值为6. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点. （i）求的取值范围； （ii）已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）存在，. 【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求，结合离心率求解可得； （2）（i）直线方程联立椭圆方程消元，利用判别式求解可得；（ii）利用直线表示出点的坐标，结合韦达定理求出中点坐标，结合为平行四边形求解可得. 【详解】（1）因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 故，所以，所以， 故椭圆的方程为. （2）（i）设， 由得， 由直线与椭圆交于两点，知，得， 所以或. （ii）存在点使得四边形为平行四边形，理由如下： 因为在椭圆上，所以易知，设直线的方程为， 令，得，同理， 又由（i）知，所以， 所以 ， 所以线段的中点坐标为， 连接，若四边形为平行四边形，则线段的中点坐标也为， 由于，可得得，所以点的坐标为. 4．（25-26高三上·广东惠州·月考）已知为坐标原点，椭圆的右焦点为的长轴长为4，直线过点且与交于两点． (1)求的标准方程； (2)当直线的斜率为时，求的面积： (3)在轴上是否存在一个定点，使得直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题意求出即可； （2）先求出直线方程，联立方程，设，利用韦达定理求出，再根据求解即可； （3）设，联立椭圆方程，韦达定理，结合斜率公式利用斜率相反化简求得的坐标，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，，所以， 故椭圆的标准方程为； （2）直线的方程为， 联立，消得， 设，则， 所以 ； （3）设， 易得直线的斜率不为零，可设， 联立，得，， 设，则， ， 因为直线关于轴对称， 所以时，， 所以（也符合）， 所以， 所以， 所以， 化简得，与无关，所以，故， 故存在，使得直线关于轴对称.    【题型3 定点存在问题与线段定值】 高妙技法 与线段为定值有关的存在性问题，假设存在，然后根据题目几何条件列出方程，根据假设条件求解，看解是否在合理范围内。 1．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，且的一条渐近线的斜率为2. (1)求的方程； (2)如图，记的右顶点为，过点作直线与的左支分别交于两点，且为垂足．证明：存在定点，使得为定值，并求出点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）设直线MN方程为，联立方程组，得到，根据，整理得到，求得，得到直线MN过定点，再由直线MN的斜率不存在时，设直线方程为，得到过定点，再由，即可求解. 【详解】（1）由双曲线的左焦点为，一条渐近线的斜率为2， 可得，解得，所以的方程为． （2）由（1）知，如图，当直线斜率存在时，设方程为， 联立得，， 即，设，由韦达定理可得 因为，所以，可得， 即， 即， 整理得， 即， 即，可得，解得或， 将代入，得，此时直线过定点，不合题意； 将代入，得， 如图，此时直线过定点， 当直线的斜率不存在时， 需要讨论直线斜率不存在的情况． 不妨设直线方程为， 因为，所以为等腰直角三角形，此时点坐标为， 所以，故， 则（舍）或，此时过定点， 综上可知，直线恒过定点， 因为，此时存在以为斜边的直角三角形， 所以存在定点为中点满足，此时． 2．（25-26高二上·山东日照·期中）已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为. (1)求点的轨迹的方程； (2)已知直线的方程为，直线上有一动点，求的最大值； (3)若，为轨迹上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，，使为定值?若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)2 (3)存在两定点S，T，使为定值. 【分析】（1）根据题意得到方程，化简后得到轨迹方程； （2）设为的左焦点，由椭圆定义和三点共线转化为直线上找到一点，使得最大； （3）考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，求出点的轨迹方程为椭圆，由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或，使为定值. 【详解】（1）由题意得， 两边平方得， 整理得，点的轨迹的方程为； （2）中，，则，为的右焦点， 设为的左焦点， 连接，则，， 则， 其中当三点共线时，取得最小值， 为到直线：的距离，所以， 所以最大值， 故的最大值为. （3）存在两定点S，T，使为定值,理由如下： 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立直线与椭圆方程得， ，即， 设，则， 故 ， 故当时，取得最大值，最大值为， 此时，满足， 因为，所以， 故， 故， 令，两式相除得，故， 将其代入得，结合得， 化简得， 因为，所以，故，即， 当直线的斜率不存在时，设，则， 则， 不妨设点在第一象限，则当时，取得最大值， 此时的中点坐标为，满足， 故当取得最大值时，点的轨迹方程为椭圆， 两焦点坐标为， 由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或， 使为定值. 3．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N. ①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）； ②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）将点代入椭圆方程即可求解； （2）①设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理化简求解即可； ②计算可得，设，可得，结合化简得到，设直线，进而得到直线过定点，进而求解即可. 【详解】（1）由题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）①设直线的方程为， 且，，即， 联立，得， 则，即， 且， 则 ， 即点横坐标为. 由①知，，， 则，即， 设，与①同理可得， 则 ， 则， 设直线， 则， 则， 又，则， 则直线， 所以直线过定点， 则为中点时，则， ，则， 因此，存在定点，使得为定值. 4．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度； (3)直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段为直径的圆经过点，转化成，可得直线过定点，再由，根据直角三角形的特征即可找到的位置，即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即， 所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得，，设， 由韦达定理得， 故； （3）由题意可知直线斜率不为0，设其方程为， 联立方程得：， 整理得：，， 其中，， 因为以为直径的圆经过点，所以， 又因为， ∵， ∴， 所以直线过定点， 又因为，所以为直角三角形， 所以当为斜边中点时，为定值， 此时， 所以定点为，为定值２． 【题型4 定点存在问题与面积定值】 高妙技法 与面积定值有关的存在性问题，先假设定点存在，然后根据题目条件求解，判断解是否在合理范围。 1．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知椭圆的左右顶点分别为为上一点，离心率为为上异于的点. (1)求的方程； (2)为椭圆上异于的另一点（不与重合），直线不与坐标轴平行，点关于原点对称的点为.若直线与相交于点，直线与直线相交于点.证明：在上存在定点，使得的面积为定值，并求出该定值； 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据已知离心率及点在椭圆上列式计算求解； （2）设直线联立方程组得出韦达定理，再应用三点共线列式及，再化简得出的方程，最后应用面积得出定值. 【详解】（1）由题知，解得， 故的方程为：； （2）设，则， 设直线的方程：代入的方程得： ， 由共线得，； 由共线得； 两式相加得 ， ，故的方程为 联立与的方程解得，， 则在定直线上， 则使得的面积为定值的点一定为：过点且与直线平行的直线与的交点， 此时.    2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知，平面上一动点满足，点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)曲线与y轴正负半轴分别交于两点，不与坐标轴平行的直线与曲线交于M、N两点， ①若直线斜率之积为，证明直线过定点； ②若直线方程为，点关于原点对称点为，直线交于点，直线OT与直线交于点，曲线上是否存在点，使得面积为定值，若存在求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据椭圆的定义求方程即可； （2）①构造关于斜率的一元二次方程，利用韦达定理得出关系求解定点即可； ②逐步表示出直线、，联立与直线，解得点在上运动，则要使面积为定值，可得点的纵坐标，代入椭圆方程求出点R即可. 【详解】（1）由题意，则点的轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆， 由得， 所以曲线的方程为：. （2）①由题意，， 设，直线：， 变形可得，即， 所以， 即， 除以得， 设，则， 由于，， 则为其两根， 由韦达定理可得， 所以， 即直线：，令得， 故直线过定点. ②设，， 联立 由韦达定理 直线：， 直线：， 代入点得，两式相加整理得， 代入韦达定理整理得， 所以直线：， 联立得， 所以点在直线上运动， 使得面积为定值，则与直线平行， 即，代入得， 所以点符合题意.    3．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程： (2)过点的直线交圆于点M、N，直线垂直，且交C于点P、Q，交于点A．记，的面积分别为，． （i）若，求t的取值范围； （ii）是否存在常数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，，理由见解析 【分析】（1）由长轴长，离心率，求出，得到椭圆方程； （2）（i）由垂径定理，由对称性可知，根据面积之比得到，A是的中点，时，得到，时，联立求出点坐标，进而得到点坐标，表达出直线的方程，求出，并得到，换元后，由对勾函数单调性得到，从而得到答案； （ii），由（i）可知，，由垂径定理得，所以，故当，即时，即为定值3． 【详解】（1）由题意知：，，解得，，故， 所以椭圆C的方程为． （2）（i）由垂径定理可得A是的中点，即，由对称性可知， 易知，，故， 所以，故A是的中点． ①当时，易知，故由中点坐标公式得，此时； ②当时，由得， 解得，故 由条件可知，由中点坐标公式得， 故直线的方程为：， 令得， 由直线过点，故． 由可知得，又，故， 此时令，则， 则， 任取，， 则， 因为，，所以，， 所以，即， 故当时，t单调递减， 故． 综上，取值范围是． （ii）由题得， 由（i）可知，故， 又，直线，即， 所以，故， 由垂径定理得， 所以， 故当，即时，， 即为定值3． 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 【题型5 定点存在问题与斜率定值】 高妙技法 与斜率定值有关的存在性问题，先假设定点存在，然后根据题目条件求解，判断解是否在合理范围。 1．（25-26高二上·湖北荆州·月考）已知椭圆的焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点. (1)若，求的周长； (2)①若，求椭圆的方程； ②根据①中所求椭圆方程，在轴是否存在异于的定点Q，使为定值(其中为直线QA，QB的斜率)?若存在，求出Q的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)①=1；②存在，. 【分析】（1）根据给定条件，利用对称性及两点间距离公式求出三角形周长. （2）①根据给定条件，利用椭圆定义、结合三角形相似及斜率坐标公式求得即可；②设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式求解即可. 【详解】（1）依题意，，则点关于x轴对称， 所以的周长为. （2）①设，由，得， 又，则，又， 因此，解得，则，不妨令点， 直线的斜率，过点B作x轴的垂线，垂足为点P，则， 于是，，又，则， 由点在椭圆方程上，得，， 所以椭圆的方程为.    ②由直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为， 由消去并整理得，设， 则，， 假设点存在，设，则 当时，而，则，， 所以存在点，使得为定值. 2．（25-26高三上·广东·月考）已知椭圆的焦距为，且与直线相切.直线与交于两点，为坐标原点，是上的点（异于），直线的斜率分别为. (1)求的方程； (2)若的面积为，求的值； (3)是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）由焦距为，可将椭圆方程设为，随后将椭圆方程与直线联立，由判别式为0，可得椭圆方程； （2）设，将椭圆方程与方程联立，由韦达定理可得的面积关于t的表达式，可得答案； （3）设，由题可得，由（2）可得，假设为定值，最后由等式两边恒成立可得答案. 【详解】（1）因为的焦距为，所以， 由得， 则， 得，则，则的方程为； （2）设， 由，得. ，. 设与y轴交于T，则的面积为： . 整理得，得或，则或. （3）设，则 由（2）知，，，则. 假设为定值，则， 要使方程恒成立，则，解得或， 且，故存在定点或，使得为定值0. 3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，定点为 【分析】（1）根据条件，用表示出点坐标，结合可求的值，得到抛物线的方程. （2）结合（1）的结论，写出直线的方程，与抛物线方程联立，可得点坐标，利用求的面积. （3）设直线：，代入抛物线方程，利用韦达定理，表示，，再设，用表示得：，可得时，为定值. 【详解】（1）由题意得 的中点到轴的距离为，      又点在抛物线上， ，又点在第一象限，即， ，,. 抛物线的方程：. （2）由（1）可知：，，， 所以直线的斜率为，则直线的方程为 联立抛物线可得，． 又，，那么     所以的面积. （3）如图： 设，，， 易知直线斜率存在，设直线， 联立，消得：     ， ， 由韦达定理得：，， ， 为使得为定值，则需满足与m无关， 故，即，， 综上，存在定点，使得为定值. 4．（24-25高二上·福建福州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，经过点，. (1)求的标准方程； (2)定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作. （i）证明：存在两个点使得是的“共轭点对”，并求的坐标； （ii）设（i）中的两个点分别为，，已知过点的直线与椭圆交于C，D两点，则直线上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；，；（ii）存在， 【分析】（1）由点在椭圆上，代入椭圆方程求解即可； （2）（i）由新定义列出等式求解即可； （ii）设，直线，，，联立椭圆方程，结合韦达定理得到，再由其为定值得到求解即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 依题意，得， 解方程组，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）设， 根据“共轭点对”定义可知点的坐标满足， 解方程组，得或， 所以有两个点满足“共轭点对”，且点的坐标为，. （ii）由（i）得，直线的方程为. 假设存在定点，依题意可知直线斜率存在， 设直线，即， 由消去得，， 其中，所以， 设，， ，， 所以 ， 设为定值，则， 当且仅当 解得，， 所以存在定点，使得直线与的斜率之积为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 【题型6 定点存在问题与向量积定值】 高妙技法 与向量积为定值有关的存在性问题，先假设定点存在，然后根据题目条件求解，判断解是否在合理范围。 1．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点．是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）根据条件先求解出的值，再根据求解出的值，则椭圆方程可求； （2）设出的方程，联立椭圆方程与直线的方程可得纵坐标的韦达定理形式，再表示出的坐标，根据向量数量积运算以及韦达定理进行化简，从而可确定出符合条件的点坐标. 【详解】（1）由题意可知，，所以，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设，由题意可知直线的斜率不为，设， 联立，可得， 所以， 且，即， 直线的方程为，代入，则，所以， 同理可得， 所以， 所以 ， 当时，即，此时， 当时，即(舍去)，此时， 综上所述，存在或使得为定值. 2．（2025高二上·江苏·专题练习）已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，在轴上存在定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值，求出此定值和所有的定点的坐标. 【答案】(1) (2)定点，定值1 【分析】（1）根据题意，利用点到直线的距离公式，求得，再由，求得，即可求得双曲线的方程； （2）法一、假设存在点满足条件，当直线方程为时，求得；再设直线，联立方程组，由，得到，且和，求得，结合，求得的值，得到答案； 法二：设，联立方程组，得到，且和，求得，结合，求得的值；当轴时，求得的坐标，得到，进而得到答案. 【详解】（1）解：由原点到直线的距离， 因为以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切，所以， 又因为双曲线的焦距为4，可得，所以，则， 所以双曲线的方程为. （2）解：法一：假设存在点满足条件， ①当直线方程为时，则， 所以； ②当直线方程不是时，可设直线， 联立方程组，整理得， 由，即，可得， 设，则， 所以， 当且仅当时，为定值1，解得， 因为不满足对任意时，所以不合题意，舍去； 当时，满足时， 综上可得：过定点任意作一条直线交双曲线于两点，使为定值1．- 法二：当直线不垂直轴时，设， 联立方程组，整理得， 由，可得， 设，可得， 则， 当且仅当时，为定值1，解得， 因为不满足对任意时，所以不合题意，舍去； 当时，满足时， 当直线轴时，，联立方程组，解得， 可得，且， 所以； 综上可得：过定点任意作一条直线交双曲线于两点，使为定值1．- 3．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1 (1)求P的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于A、B， （ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程； （ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（）； (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在点. 【分析】（1）结合斜率公式利用直接法求轨迹方程即可； （2）（ⅰ）设直线l：，设，，联立直线与轨迹的方程，利用韦达定理和三角形的面积公式即可求解； （ⅱ）设，利用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合定值思想，可得. 【详解】（1）设，，， 由，化简得（）. （2） 设直线l：，代入得：， 整理得： 设，， 因为，均在双曲线的右支上，所以，且， 所以，. （ⅰ）所以， ，可得， ∴直线的方程为：. （ⅱ）假设存在轴上的定点，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以， 此时. 所以存在点，使得为定值. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过椭圆右焦点且不重合于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，定值， 【分析】（1）由椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，结合向量的数量积的运算求得，进而得到，确定定点，②当直线的斜率不存在时，验证成立，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，整理得， 由，且，， 假设轴上存在定点，使得为定值， 则， 要使得为定值，则的值与无关， 所以，解得， 此时为定值，定点， ②当直线的斜率不存在时，，，， 则，，可得， 综上所述，在轴上存在定点，使得为定值． 【题型7 证明斜率和、差、积、商的定值】 高妙技法 使用韦达定理或者移动齐次化可以表示出斜率的和、差、积、商，经过整理化简证明该值与假设的参数没有关系，难度在运算上。 1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）在平面直角坐标系中，点A，B分别是椭圆的右顶点，上顶点，若C的离心率为，且O到直线AB的距离为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中点M在第一象限，点N在x轴下方且不在y轴上，设直线BM，BN的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值； 【答案】(1) (2)证明见解析，； 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）设直线的方程为，其中，且，设直线与椭圆交于点，联立方程，利用韦达定理求出，，再结合斜率公式化简即可得出结论； 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆的离心率为，所以，即， 据，得，即. 所以直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为， 故，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点， 联立方程组整理得， 所以，， 所以 为定值，得证； 2．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点． (1)求的方程； (2)当时，求的方程； (3)设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或. (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可. （2）设直线，，，与椭圆联立得到，，，再根据求解即可. （3），，从而得到，再结合韦达定理求即可. 【详解】（1）由题知：，即： （2）设直线，，， 则， 方程的判别式 ，， ， 因为，所以， 即 . 解得，即. 所以直线或. （3）如图所示： ，， 令，则，即. ， ， 因为， 所以. 即为定值2. 3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆，分别是的左、右顶点，点在上，且在轴上方. (1)若为坐标原点，直线与垂直，求点的坐标； (2)设直线交直线于点，连接交于点.设直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据，结合点在椭圆上可构造方程组求得点坐标； （2）设，可得直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理可求得点坐标，由此可表示出，结合可求得，由此可证得结论. 【详解】（1）由题意知：，， 设，则，， ，， 又，，解得：或， 与不重合，，， 点的坐标为. （2） 设，则直线，设， 由得：， ，解得：，，； ，又， ，即为定值. 4．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知点，的坐标分别为，，将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线. (1)求曲线方程； (2)上关于原点对称的两点，，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，. ①求与的斜率的乘积； ②问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)①；②为定值 【分析】（1）设是曲线上任意点，在圆上的对应点为，根据中点得到与的关系，代入计算即可； （2）①设出M、N坐标，运用点M、N在椭圆上进行等量代换及斜率公式计算即可； ②设出直线AM与直线AN的方程，联立直线AM方程与椭圆方程可得、，进而求得，联立直线AM方程与圆方程可得、，同理可得、，进而求得，代入计算可得结果. 【详解】（1）设是曲线上任意点，在圆上的对应点为， 则，即，将其代入圆方程得，即， 所以曲线的方程为：. （2）①设，，，则， ､在椭圆上，，即， 直线与直线的斜率存在且不为， ， 则直线与直线的斜率的乘积为. ②设，则直线的方程为， 联立 由韦达定理，，则，， 则， 同理，设，则点， 直线的斜率，， 由①知，所以， ， 由轨迹方程，得，代入得 因此， 于是 故为定值. 【题型8 证明线段的定值】 高妙技法 使用韦达定理表示出线段表达式，经过整理化简证明该值与假设的参数没有关系，难度在运算上。 1．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离与到定直线的距离之比为，记动点P的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程. (2)已知，点A，B在轨迹C上，且在x轴的同侧，，交于点G，证明：为定值. 【答案】(1)+=1 (2)证明见解析 【分析】（1）设动点P的坐标为，根据题意写出等式，进而化简可得结果； （2）设直线的倾斜角为θ，过点A作直线l的垂线，垂足为H，由题意，可求，进而结合，把用的来表示，从而化简可得证明. 【详解】（1）设动点P的坐标为， 因为动点P到点的距离与到定直线的距离之比为， 所以， 两边同时平方可得， ， ，即. 所以轨迹C的方程为. （2）证明：设直线的倾斜角为θ，过点A作直线l的垂线，垂足为H，如下图：    由题知，， 因为， 所以，即， 利用对称性，同理可得， 于是. 因为，所以， 所以===， 所以， 同理可得， 所以 （定值）. 2．（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案； （2）设，，表示出，结合二次函数性质可得答案； （3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出的表达式，化简即可证明结论. 【详解】（1）因为双曲线过点，一条渐近线方程为， 所以，解得， 则双曲线的标准方程为； （2）因为点为双曲线左支上一点， 设，，则，即，又因为， 所以， 因为，， 则时，取得最小值. （3）证明：当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时可取，，则； 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为，，，不妨设，， 因为直线过双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线方程为， 则或， 联立，消去并整理得， 所以， 由韦达定理得， 所以 . 综上所述，为定值. 3．（25-26高二上·江苏南京·期中）如图，曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点. (1)求曲线和所在的椭圆和抛物线的方程； (2)过点作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线和依次交于四点. ①求面积的取值范围. ②若是的中点，为的中点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)， (2)①；②是定值，定值为 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标、椭圆上的点坐标可直接求得结果； （2）①将直线方程与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，由，结合韦达定理和的范围可求得的取值范围； ②将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，将所求比值转化为，代入韦达定理可整理得到定值. 【详解】（1）设所在抛物线方程为：， 为抛物线的焦点，，解得：， 所在的抛物线方程为：； 设所在椭圆方程为：， 代入点得：，解得：（舍）或， 所在椭圆方程为：. （2） ①设直线方程为， 直线与曲线分别交于四点，， ； 由得：， 设，则，， ， ，， 即面积的取值范围为； ②设， 由得：， 则，， ， ， 为定值. 4．（24-25高二下·广西柳州·开学考试）已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若点H在椭圆C上，、是椭圆C的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线l与椭圆C交于A、B两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将和代入椭圆，即可求解； （2）由椭圆定义得，结合余弦定理求得，再由三角形面积公式即可求解； （3）当l的斜率为0时，直接求解；当l不与x轴重合时，设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得，化简即可证明. 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆C的方程为． （2）由题可知． 在中，由余弦定理得 ， 则，即， 所以，故的面积是． （3）当l的斜率为0时，； 当l不与x轴重合时，设直线l的方程为， 联立，得，所以， 由韦达定理可得． ， 故为定值． 【题型9 证明面积的定值】 高妙技法 使用韦达定理表示面积，经过整理化简证明该值与假设的参数没有关系，难度在运算上。 1．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. (1)若，求； (2)若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； (3)若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)，， (3)证明见解析；定值为 【分析】（1）根据条件写出椭圆的方程，利用点斜式写出直线的方程，将两者联立消元得到关于x的一元二次方程，解出x的值，便可得到坐标，再由与关于x轴对称，所以,坐标，所以得到得值； （2）先写出椭圆的方程，得到的长度，是等腰三角形，分三种情况求解，当时，点在椭圆的短轴上顶点，直接得到点坐标；当时，设出点坐标，利用点在椭圆上和列方程求出点坐标，当，根据椭圆的对称性得到点坐标； （3）先假设出的坐标，利用点斜式得到直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到坐标，进而得到，类比得到坐标，由两点间的距离公式得到，点斜式得到直线，算出的高，利用三角形面积公式写出表达式，证明其为定值. 【详解】（1）当时，椭圆， 因为，所以直线为，即， 代入椭圆方程，得，即， 当时，所以, 因为与关于轴对称，所以，所以. （2）若，则椭圆，焦点为,则， 因为是等腰三角形. 当时，点在椭圆的短轴上顶点，故； 当时，设，则 ① 因为在椭圆上，所以  ② 由①、②得到，解得，（舍去） ，所以. 所以； 当时，根据椭圆的对称性得到； 综上得，点的坐标为，， （3）证明：设斜率，过点的直线的方程为 ， 即； 联立方程 得到 设由韦达定理 ，所以，代入，得到，所以 所以， 根据与的坐标关系，由坐标得到， 所以； 由两点间的距离公式得到 所以由点斜式得到直线的方程为： ，即 点到直线的距离为 ， 所以的面积为 因为点在椭圆上，所以 ，所以，将其代入三角形面积公式得到. 所以的面积为定值. 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知点在运动过程中总满足关系式． (1)点的轨迹是什么曲线？写出它的方程； (2)设点的轨迹为曲线，求曲线的内接菱形的面积的最小值； (3)已知曲线上不共线的三个点、、，原点为的重心，请探究的面积是否为定值．若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)8； (3). 【分析】（1）利用椭圆的定义确定曲线形状，再写出其方程. （2）利用椭圆的对称性可得菱形与椭圆有相同中心，利用弦长公式及菱形的面积公式建立函数关系，再借助二次函数求出最小值. （3）按直线斜率是否存在分类，设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理并结合原点是三角形重心求出三角形面积即可. 【详解】（1）方程表示点到两定点距离和为， 而，因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长为的椭圆， 方程为. （2）菱形为椭圆的内接菱形，由对称性知，菱形对角线交点为原点， 当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线方程为， 由得，， 同理， 因此菱形的面积， 当且仅当时取等号，当直线为坐标轴时，， 所以曲线的内接菱形的面积的最小值8.    （3）当直线的斜率存在时，设其方程为，， 由得， ，， 由为的重心，得， 由点在椭圆上，得， 化简得， 则 ， 原点到直线的距离为， 则点到直线的距离， 因此， 当直线斜率不存在时，直线， 则，， 所以的面积为定值. 3．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的顶点到焦点的距离为，点，过点的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一交点分别为．记的面积分别为． (1)求抛物线的方程； (2)若过原点的一条直线与圆相切，且与抛物线的另一交点为，求的值； (3)请问是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，且为9，证明见解析. 【分析】（1）由题意得，求出p值，即可得答案. （2）设直线，根据相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求出k值，联立求出P点坐标，代入距离公式，即可得答案. （3）设，直线AB方程为，与曲线联立，根据韦达定理可得，求出直线AN方程，与曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，同理可得表达式，根据弦长公式、点到直线距离公式、面积公式等，分别求出和表达式，即可求得答案. 【详解】（1）因为顶点到焦点的距离为，所以，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意，直线斜率存在，设为k，则直线， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 根据对称性，不妨取， 联立，得，解得或0（舍），则 所以. （3）显然直线AB斜率不为0，直线AB方程为， 设， 联立，得， 所以， . 直线AN的斜率， 所以直线AN方程为， 联立，得， 因为为方程的一个根，所以，解得， 同理， 又 = N到直线AB的距离， 所以， 又 ， ，所以， 整理得， 所以N到CD的距离， 所以 ， 又， = ， 所以， 所以.    4．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知圆，圆.动圆与圆外切，且与圆内切，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为的直线与相交于点，（在的左侧）. ①设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； ②设直线，相交于点，点为的内心，记，，的面积分别为，，，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）根据动圆与两定圆的位置关系得出点满足椭圆的定义，进而求出轨迹方程； （2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出与的比值，化简得出定值； ②根据三角形内心的性质和三角形面积公式进行推导，得出为定值. 【详解】（1）设动圆的半径为，圆心。 已知圆，则圆心，半径；圆，则圆心，半径； 因为动圆与圆外切，且与圆内切，所以，； 则； 根据椭圆的定义可得点的轨迹的方程为； （2）①设过点的直线方程为，与椭圆联立： ，消去得：， 设，，由韦达定理得：，； 直线的斜率，直线的斜率， 因此：， 代入，，得：， 分子：， 分母：， 因此，代入斜率比得：， 故为定值； ②设的内心到三边的距离为， ，因，故， ，， 因此：， 直线：，由①知，故直线可写为：，即：，直线过和，斜率为，其方程为：，联立直线与的方程，消去后解得：， 代入的方程得，即； ，则：， ， 因为点在椭圆上，故由椭圆方程，得； 将代入化简得： ，. 由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故，，， 因此：，； 故：， 因，故，所以，故：.    【题型10 证明向量积的定值】 高妙技法 表示出向量积公式，联立方程使用韦达定理，经过整理化简证明该值与假设的参数没有关系，难度在运算上。 1．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为、，且. (1)求的方程； (2)为坐标原点，过的直线与交于，两点， （i）若以为直径的圆过点，求的方程； （ii）若与轴交于点，直线与直线交于点，证明：为定值. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）先利用是等腰直角三角形，得出，进行求解； （2）（i）联立直线和椭圆的方程，得到关于y的一元二次方程，利用圆的直径所对圆周角为直角和平面向量的数量积为0进行求解； （ii）对直线斜率以及两点位置关系进行分类讨论，根据点共线时斜率相等整理变形可得，即可求得，为定值. 【详解】（1）因为椭圆的右焦点为，所以. 又，所以是等腰直角三角形，所以， 所以, 所以椭圆的方程为； （2）（i）设直线为，设，， 直线与椭圆方程联立 化简并整理得， ∴， 因为以为直径的圆过点，所以，∴， 即 ， 解得， 所以， 所以的方程为或； （ii）    由（1）知，由（2）①知， 当直线的斜率为0时，，分别为的左、右顶点，由椭圆的对称性知，不合题意，故直线的斜率不为0， 当P异于，时，设， 由A，Q，N三点共线，得，由B，Q，M三点共线，得， 因为， 两式相除，得 ， 解得.所以，为定值， 当P点与A点重合时，， 当P点与B点重合时，， 所以，为定值. 2．（2025高二·全国·专题练习）如图，椭圆有两顶点、，过其焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．当点P异于A，B两点时，求证：为定值．    【答案】证明见解析 【分析】由题设易得椭圆标准方程为，进而结合曲线系方程求证即可. 【详解】由题意，，则， 所以椭圆标准方程为，设P的坐标为，Q的坐标为， 设，，， 因为椭圆过二次曲线AC，BD与二次曲线AB，CD的四个交点A，C，B，D有： 四点的曲线系方程为， xy的系数：，y的系数：， 联立，解得，， 则，为定值． 3．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为 ， (1)求椭圆的焦距和离心率. (2)若点是椭圆任意一点，判断是否为定值，并说明理由. (3)斜率为的直线与椭圆交于，两点， 的中点为，的中点为，到直线的距离为，椭圆的右顶点到直线的距离为，试判断 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)焦距为， (2)是定值，理由见解析 (3)为定值,. 【分析】（1）由方程求出、、，即可求出焦距与离心率； （2）首先得到、的坐标，再设，则，表示出、，即可得解； （3）设出直线斜截式方程，求出截距的范围，设出B，D两点坐标，结合，的坐标，写出的坐标，转化为直线的方程，写出表达式，求出结果. 【详解】（1）椭圆 ，则，，所以， 则椭圆的焦距，离心率. （2）由（1）可得、， 设，则，，， 所以， ， ， 所以 ， 因为， 所以， 所以，即为定值； （3）设椭圆的右顶点为， 设直线方程为，联立椭圆方程得， 消去得，直线与椭圆有交点，可知， ，解得. 设，可知，即， 因为，所以，， 可得直线解析式为，化简得， ,， 可得，， ，，即为定值，且定值为. 【题型11 点在定直线上】 高妙技法 表示定直线的方程需要化简，这里的消参化简过程是运算复杂的地方，可以使用先猜后证的方法处理。 1．（25-26高二上·河北·期中）在平面直角坐标系中，对于椭圆E：（），我们把曲线：（）叫椭圆E的共焦共形椭圆簇. (1)证明：曲线为有公共焦点的椭圆； (2)对于任意的椭圆E外一点P，是否存在两个不同的k，使曲线过点P？如果存在，求出k的值，若不存在，请说明理由； (3)过曲线外定点作曲线的两条切线，过两切点M，N的直线方程为，若线段MN的中点为G.证明：对于符合条件的实数k，点G始终在一条定直线上. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义进行证明即可. （2）先化简椭圆方程变为，然后若存在两个不同的k使曲线过点P，判断是否有满足①式有两个小于的不同解. （3）设点，，代入椭圆方程，结合中点坐标公式即可证明. 【详解】（1）根据椭圆性质，设椭圆E：（）的焦点为，， 其中.因为， 所以在：中， 所以为焦点在x轴的椭圆，又， 所以曲线为有公共焦点的椭圆. （2）设点，曲线过点P要满足， 整理得① 记， 若存在两个不同的k使曲线过点P，需满足①式有两个小于的不同解， 设①式有的两根为，，则， 因为点P在椭圆E外，所以，， 得 又 故和不会同时成立. 又，故不存在两个不同的k使曲线过点P，只存在一个满足条件的P. （3）当点在坐标轴上时，明显点G始终在一条定直线上. 当点不在坐标轴上时，可设点，， 可知①，且② ①－②得，， 因为线段MN的中点为G，可设，则， 即， 又过M，N的直线方程为，所以 综上. 可知点与原点连线斜率为定值. 所以对于符合条件的实数k，点G始终在一条定直线上. 2．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：（）的左右顶点为，，短轴长为，且上的动点满足直线、的斜率之积为． (1)求的方程； (2)已知，过点的直线与椭圆交于点（异于），求面积的最大值． (3)若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线与相交于点．试判断点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在定直线上 【分析】（1）根据斜率之积求出即可得出椭圆的方程； （2）根据面积最大时点所处的位置，利用求椭圆的切线后，得三角形的高求解； （3）设直线，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，再联立直线方程求的横坐标，化简即可. 【详解】（1）由题意，， 设,，， 则， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）如图，    由，可得, 直线的方程为：，即， 当面积的最大时，点在与直线平行且与椭圆相切的直线上， 设切线为， 则可得， 由，解得（舍去）， 此时三角形的高为， 所以. （3）设直线，，， ，可得， 所以． 直线AE的方程：① 直线BF的方程：② 联立①②可得． 因为， 所以 所以点G在直线上． 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知点F为椭圆的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆于点.过点P作椭圆的切线，交x轴于点Q. (1)求椭圆的方程； (2)求点Q的坐标； (3)过点Q的直线交椭圆于A，B两点，过点A作x轴的垂线与直线交于点D，求证：线段的中点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)在定直线上 【分析】（1）由题中所给的半焦距与半通径，可解得进而确定椭圆方程； （2）设出过点的直线，与椭圆联立后使得判别式，解出直线，再求其与轴的交点即可； （3）设出过的直线，设出，与椭圆联立后，计算出的中点坐标，结合韦达定理计算推理即可. 【详解】（1）由题可知，，又，可得. 因此椭圆的方程为. （2）易知过点且与椭圆相切的直线斜率存在，因此可设该直线为. 联立直线与椭圆整理得， 再令，整理得，解得. 则过点的切线方程为：，再令，得. 因此点的坐标为. （3）    设过的直线方程，设点，线段的中点为， 联立，得， 令，得，即或. 根据韦达定理，由，， 直线的方程为. 则. 于是， . ， 因此点在直线上， 即线段中点在定直线上. 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且． (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）． （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）证明见解析 【分析】（1）由已知条件去设点的坐标，表示斜率之积，通过点在双曲线上，代入并消元一个变量，即可得到，从而求出双曲线方程； （2）（i）利用过点的直线与双曲线的左右两支相交，必满足，从而去求出的取值范围； （ii）先用交点坐标去表示直线的方程，然后猜想交点的横坐标为定值，所以消去纵坐标得到关于交点的横坐标的表达式，最后利用韦达定理代入化简，可得定值，即问题可得证. 【详解】（1）   由题意可知，因为，所以. 设，则，所以， 又，所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为. 联立，化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：，解得或；    （ii）由（i）， 直线的方程为 直线的方程为． 联立直线与的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上. 1．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线l与椭圆相交于不同两点，且直线的斜率之积为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)试问：动直线l是否过定点？若过定点，求出其坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)动直线l恒过定点 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出，即可得解； （2）设直线的方程为，联立方程组，求出点的横坐标，同理求出点的横坐标，从而可求出直线的斜率，再分和两种情况讨论即可得解； （3）由（2）可得点的坐标，利用点斜式可得直线的方程，化简即可得到直线所过定点． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 则依题意有，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为， 由消去，得， 解得. 因为直线的斜率之积为1，所以直线的方程为， 同理可得， 故直线的斜率 当为直角三角形时，只有或， 于是或. 若，由，可得，从而； 若，由，可得，从而. 所以存在，直线的斜率为． （3）由（2）可知，直线l的斜率， 所以直线l的方程为， 即， 所以动直线l恒过定点． 2．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，，是右支上一点，已知的最小值为． (1)求的标准方程； (2)经过点的直线与交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，过点作（为坐标原点），垂足为．则在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 【分析】（1）利用焦距及的最小值求出和的值，进而求出的值，代入标准方程即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，代入直线的方程中，求出直线与轴交点，则为定值，利用直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，即可得到定值，求出中点坐标即可. 【详解】（1）因为，即，所以. 又是右支上一点，所以，即， 当最小时，即最小，而当为右顶点时，最小（最小值为）， 所以最小值为，所以，故. 双曲线中，，又，故. 故的标准方程为. （2）由（1）知，，设过点的直线的方程为， ，，则. 将代入中，整理得. 得到， 所以，， 直线的斜率为：， 直线的方程为， 设直线与轴交点为，令，由，得， 则 ， 即直线恒过点. 又，在中，斜边长， 所以当点为中点时，，此时点坐标为. 当直线斜率不存在时，将代入双曲线方程得，. 设，，则， 所以直线的方程为， 当时，，即直线过点，故满足条件. 故在轴上存在定点，使得为定值，此时点坐标为. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； (3)设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. （3）设直线的方程为，联立化简可得，由条件化简可得，，结合双曲线的范围可得结论. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2） 显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故，    联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. （3）不妨设，，， 若直线的斜率为，则直线与双曲线的交点为双曲线的顶点，与条件矛盾， 所以可设直线的方程为，且， 联立，消可得， 方程的判别式， 所以， 所以，， 所以， ， ， ， 所以 所以 所以， 因为直线的斜率与直线的斜率之和为定值， 所以，故， 故为定值， 所以， 因为或，，， 所以或，存在双曲线上的点满足， 使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，定值为， 所以的范围为. 4．（25-26高二上·云南昆明·期中）椭圆：上的一个动点，点到右焦点的距离的最小值为1，的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线不经过原点，且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值； (3)若直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近点的一侧）.在直线上是否存在一定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）利用两点间的距离公式以及椭圆方程代入化简，求出最值即可得，再结合即可求解求出椭圆方程； （2）利用点差法整理即可得为定值； （3）利用定比点差法得出与的交点满足，结合解三角形知识得出，求出方程，再求出与交点即可得点. 【详解】（1）设，右焦点，则， 由于，则，所以， 所以当时，，又，解得， 所以， 椭圆的方程为. （2）设， 由于中点为，则， 由于在椭圆上，则， 两式相减得， 整理得，即 由于， 所以为定值. （3）设，点在线段上，且满足，则，，则①，②， 由点在椭圆上，则， ，再除以整理得： ， 代入可得，即点在直线上，所以点为与的交点. ，同理， 由于， 若，则， 显然，则， 则， 所以， 由于直线：，则，直线：， 所以存在符合题意. 5．（2025高二·全国·专题练习）已知，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)曲线的右顶点为，直线与相交于点，，设直线，的斜率分别为，，且．作，垂足为，是否存在某个定点，使得以为直径的圆经过点?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点 【分析】（1）根据几何意义，再由椭圆的定义写出方程即可； （2）设，，联立得到，利用得到，即可得直线过定点. 【详解】（1）因为点在线段的垂直平分线上，所以， 又是圆的半径，所以， 所以点的轨迹是椭圆，方程为． （2）设，．联立 得，则，， 由得． ， 化简得， 即，解得或． 当时，直线过点，舍去． 当时，满足，此时直线，且过定点， 又因为点在以为直径的圆上，所以点在直线上， 所以存在定点满足条件． 6．（25-26高二上·广西贺州·月考）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. ②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证. 【详解】（1）依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为： （2）①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是. ②证明：由①知. 所以 . 7．（2025·上海崇明·一模）已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． (1)求椭圆的离心率； (2)若，直线的方程； (3)求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合椭圆离心率的定义，即可求解； （2）设，得到，由，代入求得，结合，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）设的方程为，联立方程组求得，再设的方程为，联立方程组，求得，，同理求得，，结合，化简得到，即可得证. 【详解】（1）解：由椭圆，可得，则， 所以，所以椭圆的离心率为. （2）解：由（1）知，椭圆的左焦点， 设，其中，则， 则向量，可得， 将代入得，解得，则，即， 可得， 又由过点，所以的方程为，即. （3）证明：设直线的斜率为，则方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 由直线过，设其直线方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为在直线上，可得，化简得，则， 同理可得：设，可得，则， 又因为， 又由， 即，所以.    8．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知圆过点，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆C于异于点M的A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由短轴长求得，将点M的坐标代入椭圆方程求得，即可求出椭圆方程，然后求出，即可求出离心率； （2）易知直线AB的斜率存在，当直线AB的斜率为0时，，，求得.当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，代入两点式斜率公式化简得，即可证明. 【详解】（1）由题意得，所以，所以椭圆C的方程为. 因为椭圆C过点，所以，解得， 所以椭圆C的方程为. 因为，，所以， 所以，，所以离心率. （2）由题意知，直线AB的斜率存在. 当直线AB的斜率为0时，直线AB的方程为，点A，B是长轴的端点. 设，， 则，，所以. 当直线AB的斜率不为0时， 设直线AB的方程为，，. 把直线AB的方程代入椭圆C的方程，化简得. 由，得. 所以. 所以 . 把，代入得 . 9．（25-26高三上·河北·期中）已知椭圆C 直线与C 交于点 M，N，且线段的中点为 (1)求C 的离心率. (2)若点M在x轴上，点 P，Q（点Q在点 P的右上方）在C上，且直线与直线平行. （i）求直线与直线之间距离的取值范围； （ii）求证：直线，的交点在定直线上. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见详解 【分析】（1）利用点差法可得，进而得，求得椭圆的离心率； （2）由题可先求得椭圆的方程，（i）设，代入椭圆方程，由求得的范围，结合两平行线间距离公式求得答案；（ii）由（1）点差法结论可得弦的中点始终在直线上，由，得直线与的交点始终在直线上，得证. 【详解】（1）设，，的中点，则，， 由，两式相减整理得，即， ，解得， 所以椭圆离心率. （2）在中，令，得，故， 由的中点为，故， 直线方程为，即， 所以椭圆的方程为. （i）由，设， 代入椭圆方程并整理得， 由，得，且， 直线与的距离， 结合的范围，得，， ， （ii）设的中点，直线与的交点为， 由（1）知，即，所以， 即弦的中点始终在直线上， 又，所以直线的方程为. 因为，所以直线与的交点始终在直线上， 即直线与的交点在定直线上. 10．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知椭圆E：的长轴端点为，，斜率为k的直线l与椭圆E交于M，N两点（与长轴端点不重合），记直线AM，AN，BM的斜率分别为，，，且满足. (1)求证：为定值； (2)求证：直线l过定点； (3)判断直线AN，BM的交点P是否在一条定直线上，并证明你的结论. 【答案】(1)； (2)； (3)在一条定直线上，此定直线为，证明见解析. 【分析】（1）设椭圆上点，求出，，，由在椭圆上，代入解得，代入得解； （2）设斜率为k的直线l的方程为，由直线l与长轴端点不重合得到，将代入，整理得，设，，利用根与系数的关系求出和，由，在直线，求出，求出，，计算，代入已知， 计算得到或，讨论和得到直线l过的定点； （3）求出直线和的方程，联立和的交点为，计算得解. 【详解】（1）设椭圆上点，则，，， 在椭圆上，， ，，为定值； （2）设斜率为k的直线l的方程为，直线l与长轴端点不重合，则， 将代入，得到， 整理得， 设，，则有， ，在直线，， ，， ， ，， ，， ，或， 当时，直线l的方程为， 此直线恒过，不满足题意，舍去； 当时，直线l的方程为， 此直线恒过，则直线l过定点； （3），，，，， 直线的方程为， ，直线的方程为， 联立和的交点为， 解得的的值为交点的横坐标， 整理得， 由（2）知，，代入， 得到 将代入，得到， 整理得， 设，，则有， ，， ，， ， ，交点在定直线上. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $