第三章 3.2.2 第2课时 直线与双曲线的位置关系（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线与双曲线的位置关系及弦长公式、中点弦问题，通过类比直线与椭圆位置关系的问题导入，引导学生发现双曲线与渐近线平行的特殊情况，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，通过例题分类讨论（如例1中k的取值需考虑二次项系数和判别式）培养数学思维，用点差法解决中点弦问题（如例2）体现数学语言的严谨性。反思感悟和小结帮助学生形成结构化认知，提升数学眼光，助力学生掌握解题方法，也为教师提供系统教学资源。

第2课时 第三章 <<< 直线与双曲线的位置关系 1.理解直线与双曲线的位置关系. 2.会求解有关弦长问题.(重点) 学习目标 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题. 导 语 一、直线与双曲线的位置关系 二、弦长公式及中点弦问题 课时对点练 随堂演练 内容索引 直线与双曲线的位置关系 一 提示　有三种位置关系，分别为相交，相切、相离三种情况. 类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？ 问题1 提示　不一定.当直线与渐近线平行时，仅有一个交点. 当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？ 问题2 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式. (1)Δ>0时，直线与双曲线有 不同的公共点. (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有 切点. (3)Δ<0时，直线与双曲线 公共点. 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有 交点. 两个 一个 没有 一个 知识梳理 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支. 注 意 点 <<< 9 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 例 1 消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点. 10 若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 延伸探究 11 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 12 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x＝5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点. 直线l与双曲线有且只有一个公共点. 13 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 反 思 感 悟 14 已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)，讨论过点P的直线l的斜率的情况，使l与双曲线C分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点. 跟踪训练 1 15 ①当l垂直于x轴时，直线l与双曲线C相切，有一个公共点. ②当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)， 代入双曲线C的方程，得(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0. 当k2≠2时，Δ＝48－32k， 16 17 二 弦长公式及中点弦问题 例 2 19 设直线l的方程为y＝x＋m， 代入双曲线方程， 得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0， Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0， ∴m2>3. 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 20 即m＝±5，满足m2>3， ∴直线l的方程为y＝x±5. 21 (2)过点P(3,1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被点P平分，求直线l′的方程. 设直线l′与双曲线交于A′(x3，y3)，B′(x4，y4)两点， 点P(3,1)为A′B′的中点， 则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2. 两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0， 22 即3x－4y－5＝0. 把此方程代入双曲线方程， 满足Δ>0， 即所求直线l′的方程为3x－4y－5＝0. 23 解决双曲线中有关弦长问题，多数考虑应用弦长公式.解决中点弦问题常用根与系数关系法和点差法，注意所求参数的取值范围. 反 思 感 悟 24 跟踪训练 2 25 ∴k2－2≠0，且Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0， 设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∵点B(1,1)是弦的中点， 故双曲线上不存在被点B(1,1)平分的弦. 26 方法二　设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1. ① ② 27 又Δ＝－8<0，∴直线MN与双曲线不相交， 故双曲线上不存在被点B平分的弦. 28 1.知识清单： (1)直线与双曲线的位置关系. (2)弦长公式及中点弦问题. 2.方法归纳：定义法、数形结合. 3.常见误区： 判断直线与双曲线交点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数讨论.代数计算中的运算失误. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 所以它与双曲线只有1个交点. √ 1 2 3 4 2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为 A.(－2,2) B.[－2,2) C.(－2,2] D.[－2,2] √ 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0， 由Δ>0可得－2<k<2. 1 2 3 4 3.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是 A.(1,2) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(2,1) √ 又M在y＝x－1上，则有y0＝x0－1， ② 联立①②解得x0＝－1，y0＝－2，所以M(－1，－2). 方法一　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0， 方法二　设直线y＝x－1与双曲线2x2－y2＝3交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设线段AB的中点为M(x0，y0)，将A，B代入双曲线方程得 1 2 3 4 1 2 3 4 4.过双曲线x2－ ＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝______. 课时对点练 四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 直线与双曲线有唯一公共点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一公共点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4,0)，经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－4)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过F1的直线l垂直于x轴时， 一条是通径所在的直线，另两条与右支相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设F1(－c,0)，A(－c，y0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B为双曲线的右焦点，如图所示. ∵四边形OABC为正方形且边长为2， 又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋3， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又Δ＝(18k)2－4×21×(3k2－2)＝72k2＋168>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为以AB为直径的圆过坐标原点O， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.设A，B为双曲线x2－ ＝1上的两点，线段AB的中点为M(1,2).求： (1)直线AB的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)， 即y＝kx＋2－k. 消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k＝1时，满足Δ>0， ∴直线AB的方程为y＝x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)△OAB的面积(O为坐标原点). 由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4， ∴c＝2.∴F2(2,0)， 又直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线l的方程为y＝x－2， 代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴A，B两点不位于双曲线的同一支上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.已知双曲线E的中心在原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为 √ x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30， 又因为a2＋b2＝c2＝9， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设双曲线的半焦距为c， 又A1(－a,0)，A2(a,0)， 因为A1B⊥A2C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以b＝2， ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2＋b2＝c2， ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由P为该双曲线上支上的一个动点， 根据双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝4， 所以|PF1|＝4＋|PF2|， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P到渐近线y＝2x的距离为d， 则|PF1|＋d＝4＋|PF2|＋d， 过F2作渐近线y＝2x的垂线， 垂足为M，如图. 所以|PF1|＋d＝4＋|PF2|＋d≥4＋|F2M|＝5， 同理|PF1|与P到渐近线y＝－2x的距离之和的最小值也为5. 在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在y轴上， 离心率为 ，且过点 ，则双曲线的方程 为__________；若直线x＝0，x＝1在第一象限内与 C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为_____. 拓广探究 15.祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体 3π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取直线x＝m(0≤m≤1)， ∴直线x＝m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S＝(3＋3m2)π－3m2π＝3π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又高度为1， 故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为 ，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积为3π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求双曲线C的标准方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)直线l：x＝my＋1交x轴于点B，与双曲线C的左、右两支分别交于点E，F(不同于点A)，记直线AE，AF分别与直线x＝1交于点M，N，证明：B是MN的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得(2m2－1)y2＋4my－2＝0. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则2m2－1≠0，Δ＝32m2－8>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴yM＋yN＝0， 又B(1,0)， ∴|BM|＝|BN|，即B是MN的中点. 联立 由得－<k<且k≠±1， 联立消去y， 由得k＝±， 故当k＝±或±1时， 当k2＝2，即k＝或－时，方程有一个解. 令Δ＝0，可得k＝； 令Δ>0，可得k<且k≠±； 令Δ<0，可得k>. 综上所述，当直线l的斜率k∈或直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C有一个公共点； 当直线l的斜率k∈∪∪时，直线l与双曲线C有两个公共点； 当直线l的斜率k∈时，直线l与双曲线C没有公共点. 已知双曲线的方程是－y2＝1. (1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程； 则x1＋x2＝－m，x1x2＝. 由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝＝， ∴＝， 由x－4y＝4，x－4y＝4， ∴＝， ∴l′的方程为y－1＝(x－3)， 整理得5y2－10y＋＝0， 已知双曲线的方程为x2－＝1.试问：双曲线上是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. ∴＝1，∴k＝2>. 方法一　设被点B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0， 解得k<，且k≠±. 则x1＋x2＝. 且 由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴kMN＝＝2， 由消去y，得2x2－4x＋3＝0. 由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)， 因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行， 可得其渐近线方程为y＝±x， 1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是 A.1 B.2 C.1或2 D.0 由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为(－1，－2). 2x－y＝3,2x－y＝3，作差整理得  kAB＝＝＝＝1， ① 4 由双曲线方程可得右焦点为(2,0)，渐近线方程为y＝±x，把x＝2代入渐近线方程， 得y＝±2，故|AB|＝4. 2.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为 A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±2x 设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3， 所以其渐近线方程为y＝±x. A. B. C. D.7 代入x2－y2＝8并整理得3x2－32x＋72＝0，设交点A(x1，y1)，B(x2，  y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝24， 所以直线被双曲线截得的线段的长为×＝. 4.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|＝3的直线l有 双曲线－＝1， |AB|＝＝＝3， 双曲线两个顶点的距离为2， ∴满足|AB|＝3的直线l有3条， 5.设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点.若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为 A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 则－＝1，∴＝－1＝＝＝， ∴y＝， ∴|AB|＝2|y0|＝. 又 ＝2， ∴·2c· |AB|＝·2c·＝＝2， ∴＝， ∴＝＝. ∴该双曲线的渐近线方程为y＝±x. 6.(多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是 A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y＝±x D.直线2x－y－1＝0与C有两个公共点 由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确； 因为双曲线C的离心率为＝＝，所以选项B不正确； 因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确； 将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确. 7.双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝_____. ∴c＝|OB|＝2. 又∠AOB＝， ∴＝tan ＝1，即a＝b. 8.过点M(0,3)的直线l与双曲线C：－＝1交于A，B两点，且以AB为直径的圆过坐标原点O，则直线l的方程为____________. y＝±x＋3 联立消去y可得(3k2－2)x2＋18kx＋21＝0， 则3k2－2≠0，解得k≠±. 且x1＋x2＝－，x1x2＝. 故y1y2＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝－＋9＝， 所以·＝0， 即x1x2＋y1y2＝＋＝0， 解得k＝±. 故直线l的方程为y＝±x＋3. 由 则1＝＝(2－k2≠0)，解得k＝1. ∴|AB|＝·＝×＝4. 又点O到直线AB的距离d＝＝， ∴S△OAB＝|AB|·d＝×4×＝2. 双曲线方程可化为x2－＝1， ∵x1·x2＝－<0， ∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－， ∴|AB|＝＝·＝6. A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 则－＝1，  ①  －＝1， ② 由①②得＝，从而＝1， 故a2＝4，b2＝5，所以E的方程为－＝1. 由已知条件易得直线l的斜率k＝＝1， 设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 12.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，  A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点.若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为 A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 则F(c,0)，将x＝c代入双曲线－＝1， 得y＝±，不妨取C，B， 故 ＝＝－， ＝＝. 故－×＝－1， 即＝1，即＝1， 所以a＝b，故渐近线方程是y＝±x，即y＝±x. 13.(2023·天津)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为 A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 不妨设过F2(c,0)作一条渐近线y＝x的垂线，垂足为P， 则|PF2|＝＝b＝2， 联立可得x＝，y＝， 即P， 因为直线PF1的斜率为＝， 整理得(a2＋c2)＝4ab， ② ①②③联立得，a＝，b＝2， 故双曲线的方程为－＝1. 14.已知双曲线－x2＝1(a>0)的离心率e＝，点F1，F2分别是它的下 焦点和上焦点，若P为该双曲线上支上的一个动点，则|PF1|与P到一条 渐近线的距离之和的最小值为______. 双曲线－x2＝1(a>0)的离心率e＝， 所以e2＝1＋＝，解得a＝2， 所以F1(0，－)，F2(0，)，双曲线方程为－x2＝1， 由－x2＝0得双曲线的渐近线方程为y＝±2x， 所以|F2M|＝＝1， －x2＝1 ∵双曲线C的离心率e＝＝， ∴c＝a， ∴c2＝a2＋b2＝a2， ∴b2＝a2， ∵双曲线的方程为－＝1过点(，2)， 即－＝1，a2＝3，b2＝1， ∴双曲线方程为－x2＝1， 则渐近线方程为y＝±x， 代入－x2＝1，得y＝， 代入y＝x，得y＝m， 16.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A(2,2)，且△AF1F2的面积为2. 由题知解得 ∴双曲线C的标准方程为－＝1. 将l：x＝my＋1代入双曲线C：－＝1，  y1＋y2＝－，  y1y2＝－. 直线AE的方程为y＝(x－2)＋2， 令x＝1，得yM＝＋2； 直线AF的方程为y＝(x－2)＋2， 令x＝1，得yN＝＋2. ∵＋＝＝－4， $