第三章 3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦双曲线的几何性质、标准方程及离心率，通过类比椭圆几何性质导入，构建从旧知到新知的学习支架，系统梳理范围、对称性等性质及应用脉络。 其亮点是知识梳理表格化呈现焦点位置对比，例题与跟踪训练结合待定系数法培养数学思维，注意点与反思感悟强调易错点，帮助学生用数学语言表达规律，提升推理能力，教师可高效开展教学。

第1课时 第三章 <<< 双曲线的简单几何性质 1.掌握双曲线的简单几何性质.(重点) 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(难点) 学习目标 在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质. 导 语 一、双曲线的几何性质 二、由双曲线的几何性质求标准方程 课时对点练 三、求双曲线的离心率 随堂演练 内容索引 双曲线的几何性质 一 提示　1.范围 问题1 所以x≥a 或x≤－a；y∈R. 2.对称性 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心. 3.离心率 (2)e的范围：e>1. 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形     性质 范围 ______________ _______________ x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 知识梳理 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 性质 范围 ______________ ______________ 对称性 对称轴： ；对称中心：______ 顶点坐标 _________________ ____________________ 渐近线 ________ ________ 离心率 e＝____，e∈ ，其中c＝ x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 坐标轴 原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) (1，＋∞) 知识梳理 (1)B1(0,－b)，B2(0，b)不是双曲线上的点，不能称为顶点. (2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置. (4)焦点到渐近线的距离为b. (5)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.为了便于研究，方程一般写为x2－y2＝m(m≠0). 注 意 点 <<< 10 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 例 1 11 因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 12 若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 延伸探究 13 14 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 由双曲线的方程研究几何性质 反 思 感 悟 15 A.焦距 B.离心率 C.顶点坐标 D.渐近线方程 跟踪训练 1 √ √ 16 ∴a2＝2k2，b2＝k2，c2＝3k2， ∴因k改变而变化的是焦距和顶点坐标. 17 二 由双曲线的几何性质求标准方程 求满足下列条件的双曲线的标准方程： 例 2 19 20 ①②联立，无解. 21 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. 22 ∵A(2，－3)在双曲线上， 23 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的技巧 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 反 思 感 悟 ②渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程可设为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0). 24 求满足下列条件的双曲线的标准方程： 跟踪训练 2 代入c2＝a2＋b2，得a2＝9， 25 当所求双曲线的焦点在x轴上时， 当所求双曲线的焦点在y轴上时， 26 求双曲线的离心率 三 例 3 √ 28 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2， 29 (2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解. 求双曲线离心率的方法 反 思 感 悟 30 跟踪训练 3 31 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°， 知|PF1|＝|F1F2|， 即e2－2e－1＝0， 32 1.知识清单： (1)双曲线的几何性质. (2)等轴双曲线. (3)双曲线的离心率. 2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法. 3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. √ 1 2 3 4 2. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则 √ √ √ 1 2 3 4 3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是 A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4 C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4 √ 令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， 1 2 3 4 4.中心在坐标原点，离心率为 的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________. 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |PF|的最小值为c－a＝2，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点M的横坐标为c，将x＝c代入双曲线C的方程， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2＝64，c2＝64－16＝48， 从而a′＝6，b′2＝12， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； 由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6， 于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6. 设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即bx＋ay－ab＝0. 又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 于是双曲线的离心率为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又2c＝10，∴c＝5. 由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2，B(0，b)的直线与双曲线右支在第一象限相交于点P，若 ，则双曲线C的渐近线方程为__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x0，y0)，x0>0，y0>0， 因为B(0，b)，F2(c,0)， 又 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需 考虑第一象限内的情况. 记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限 的交点为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连 接PQ，如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以双曲线N的离心率为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|， 即|PF2|＝2a时取等号， 所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a， 所以e∈(1,3]. 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1 可得＝1＋≥1， 类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1(a>0，b>0)的几何性质. 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R， －＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称. (1)定义：e＝. (3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄. －＝1(a>0，b>0)  －＝1(a>0，b>0) y＝±x y＝±x   焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. 将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1， 即－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 所以渐近线方程为y＝± x， 即y＝±x. 离心率e＝＝＝， 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长a＝， (多选)已知双曲线－＝1，对于∀k∈R且k≠0，下列四个选项中因k改变而变化的是 顶点坐标(±|k|,0)，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. ∵双曲线－＝1，∀k∈R且k≠0， 焦距为2c＝2|k|， 离心率e＝＝＝， (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)； ∴＝. 由题意得解得 ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0). ∵e＝， ∴e2＝＝＝1＋＝， 则＝. ① ∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1. ② (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3). 方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x. 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 则＝. ③ ∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1. ④ ∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. ①与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). 由题意知2b＝8，e＝＝， 故双曲线的标准方程为－＝1. 从而b＝4，c＝a， (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； 设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 可设其方程为－＝λ(λ>0)， 可设其方程为－＝λ(λ>0)， 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1. (2)过点(2,0)，与双曲线－＝1的离心率相等. 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝， 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D. 由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0， 则圆心到渐近线的距离为d＝＝，则＝2， 可得e＝＝. (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解. 已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率. 所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，所以双曲线的离心率为1＋. 设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±. 所以＝2c，所以b2＝2ac， 所以c2－2ac－a2＝0，所以2－2×－1＝0， 1.双曲线－＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于 A.6 B.8 C.9 D.10 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为. A.实轴长为8 B.虚轴长为4 C.焦距为6 D.离心率为 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6， ∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，即双曲线方程为x2－y2＝8. y＝±x ∴＝，∴＝， ∴＝. 又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， ∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x. ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x， ∵＝， ∴＝＝， 1.已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于 A. B. C. D. 由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝. A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1. 3.若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为 A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x ∵e＝， ∴＝，即＝3， ∴b2＝2a2，∴双曲线方程为－＝1， ∴渐近线方程为y＝±x. 4.设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为 A.4 B.3 C.2 D.1 由双曲线的几何性质可得，双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2. 5.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 由双曲线C的一个焦点为F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确； 离心率为e＝，B不正确； 焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确； 6.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为 A.2 B. C. D.5 e＝＝＝. 7.已知双曲线C：－＝1的离心率是，F1，F2分别为双曲线C的左、 右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则 tan∠MF1F2的值为______. 由题意得，e＝＝， 得－＝1，所以y＝±， 又y>0，所以M， 所以tan∠MF1F2＝＝＝＝＝＝. －＝1 椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1， ∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝， 则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝＝， 故所求双曲线的方程为－＝1. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ>0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1； 当λ<0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1. 故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 10.设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率. 直线l的方程为＋＝1， 于是有＝c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 解得e2＝4或e2＝. 又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2. 11.已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为 A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 由题意，得点P(2,1)在双曲线的渐近线y＝x上， ∴＝，即a＝2b. 故所求双曲线方程为－＝1. 12.已知P为双曲线－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为 A.4 B.5 C. D.与点P的位置有关 设点P(x0，y0)，则有－x＝1， 所以y－4x＝4. 易知双曲线－x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0， 所以|PA|·|PB|＝·＝＝. 13.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为 A. B. C. D.2 由题意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T，如图，则PF1⊥TF2，|TF2|＝c，在Rt△F1TF2中，∠TF2F1＝60°⇒|PF1|＝2c， 则由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|－2a＝2c－2a，所以2c＝2c－2a，解得e＝＝. － y＝±x 所以直线BF2的方程为＋＝1， ＝×2c·b＝bc， ＝×2c·y0＝cy0， 则bc＝3cy0，解得y0＝， 将y0＝代入＋＝1中，得x0＝， 则P，所以－＝1， 又a2＋b2＝c2，解得＝， 故双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 15.已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1(m>0，n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为______. －1 由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为， 所以椭圆半焦距为2,2a＝|PQ|＋|PF|＝2＋2，a＝＋1，椭圆M的离心率为＝－1. e2＝＝1＋＝4， 双曲线N的一条渐近线斜率为＝tan 60°＝， 16.已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围. 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点， 所以＝＝＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当＝|PF2|， 因为|PF1|－|PF2|＝2a<2c，|PF1|＋|PF2|＝6a≥2c⇒e＝≤3， $