3.2.2 第2课时 直线与双曲线的位置关系及其应用（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（人教版）

第三章　圆锥曲线的方程 3.2　双曲线 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第2课时　直线与双曲线的位置关系及其应用 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 目录 contents Part 01 课 前 预 习 Part 02 课 堂 互 动 Part 03 课时作业 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课 前 预 习 返回导航 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课 堂 互 动 返回导航 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 课时作业（二十六） 点击进入 word 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 谢谢观看 第三章　圆锥曲线的方程 返回导航 1 学习目标 素养要求 1．进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用，会判断直线与双曲线的位置关系． 2．能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题. 1．通过对直线与双曲线位置关系的判断，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过对弦长、中点弦问题及双曲线综合问题的探究，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. [自主梳理] 知识点　直线与双曲线的位置关系 [问题1]　直线与椭圆有几种位置关系？ 答：三种：相交、相离、相切． [问题2]　直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么直线与双曲线相切能用这个方法判断吗？ 答：不能．当直线与双曲线的渐近线平行时，若直线与双曲线相交，此时直线与双曲线也只有一个公共点． ►知识填空 1．直线与双曲线位置关系的判定方法 直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0. 位置关系 公共点 判定方法 相交 2个或1个 m＝0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＞0)) 相切 1个 m≠0且Δ＝0 相离 0个 m≠0且Δ＜0 2．判断直线与双曲线位置关系的注意事项 (1)联立直线方程与双曲线方程，消元后得到的方程不一定是一元二次方程，也可能是一次方程，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行． (2)直线与双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，也可能相交，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行． [自主检验] 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)若直线与双曲线只有一个公共点，则直线与双曲线相切．(　　) (2)过点(0,2)和双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1只有一个公共点的直线有两条．(　　) (3)若直线与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有两个交点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．(多选)若直线x＝a与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　) A．1　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选CD　因为双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a与双曲线有两个交点，则a＞2或a＜－2. 3．已知双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,a)＝1的一条渐近线为y＝eq \r(2)x，则实数a的值为(　　) A．eq \r(2) B．2 C．eq \r(3) D．4 解析：选D　由题意，得eq \r(2)＝eq \f(\r(a),\r(2)).所以a＝4. 4．双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的焦点到其渐近线的距离为(　　) A．2eq \r(3) B．2 C．eq \r(3) D．1 解析：选A　∵双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝eq \r(3)x，∴点F到eq \r(3)x－y＝0的距离为eq \f(4\r(3),2)＝2eq \r(3). 题型一　直线与双曲线的位置关系 [例 1]　已知直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16.当k为何值时，直线与双曲线： (1)有两个公共点？ (2)有一个公共点？ (3)没有公共点？ 解：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx，,4x2－y2＝16)) 消去y，得(4－k2)x2－16＝0.(*) 当4－k2＝0，即k＝±2时，方程(*)无解． 当4－k2≠0时，Δ＝－4(4－k2)(－16)＝64(4－k2)． 当Δ＞0，即－2＜k＜2时，方程(*)有两解； 当Δ＜0，即k＜－2或k＞2时，方程(*)无解； 当Δ＝0，且4－k2≠0时，不存在这样的k值． 所以(1)当－2＜k＜2时，直线与双曲线有两个公共点． (2)不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值． (3)当k≤－2或k≥2时，直线与双曲线没有公共点． [反思感悟] 1．探究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解． 2．直线与双曲线有三种位置关系： (1)无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线． (2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点． (3)有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点． 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围． 解：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，)) 消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－3k2＞0，,1－k2≠0，)) 得－eq \f(2\r(3),3) ＜k＜eq \f(2\r(3),3) 且k≠±1. 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点． 题型二　与双曲线相关的弦长和中点弦问题 [例 2]　经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1于A，B两点，且M为AB的中点． (1)求直线l的方程； (2)求线段AB的长． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 代入双曲线方程，得xeq \o\al(2,1)－eq \f(y\o\al(2,1),4)＝1，xeq \o\al(2,2)－eq \f(y\o\al(2,2),4)＝1. 两式相减得xeq \o\al(2,1)－xeq \o\al(2,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)－\f(y\o\al(2,2),4)))＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)－eq \f(1,4)(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 因为M为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝4. 所以4(x1－x2)－(y1－y2)＝0，即k1＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝4， 所以l的方程为y－2＝4(x－2)，即y＝4x－6. (2)将y＝4x－6代入x2－eq \f(y2,4)＝1中，得3x2－12x＋10＝0. 故x1＋x2＝4，x1x2＝eq \f(10,3). 所以|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \f(2\r(102),3). [反思感悟] 1．直线和双曲线相交所得弦长的两种求法 (1)利用距离公式：求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长． (2)利用弦长公式． 2．解决与双曲线弦的中点有关的问题的两种方法 (1)根与系数的关系法．(2)点差法． 已知双曲线的方程为x2－eq \f(y2,2)＝1.试问：双曲线上是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 解：设被点B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1. 代入双曲线方程x2－eq \f(y2,2)＝1， 得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0. ∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)＞0. 解得k＜eq \f(3,2). 设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝eq \f(2kk－1,k2－2). ∵点B(1,1)是弦的中点， ∴eq \f(kk－1,k2－2)＝1.∴k＝2＞eq \f(3,2). 故双曲线上不存在被点B(1,1)所平分的弦． 题型三　双曲线性质的综合应用 [例 3]　已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点(3，－1)，点M(3eq \r(2)，m)在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)求eq \o(MF1,\s\up16(→))·eq \o(MF2,\s\up16(→))的值； (3)求△F1MF2的面积． 解：(1)因为e＝eq \r(2)， 所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ. 因为双曲线过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8. 所以双曲线的方程为x2－y2＝8. (2)由(1)知，F1(－4,0)，F2(4,0)． 所以eq \o(MF1,\s\up16(→))＝(－4－3eq \r(2)，－m)，eq \o(MF2,\s\up16(→))＝(4－3eq \r(2)，－m)． 所以eq \o(MF1,\s\up16(→))·eq \o(MF2,\s\up16(→))＝(－4－3eq \r(2))×(4－3eq \r(2))＋m2＝2＋m2. 因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8，即m2＝10. 所以eq \o(MF1,\s\up16(→))·eq \o(MF2,\s\up16(→))＝12. (3)由(1)知，△F1MF2的底|F1F2|＝8， 由(2)知，m＝±eq \r(10). 所以△F1MF2的高h＝|m|＝eq \r(10). 所以＝4eq \r(10). [反思感悟] 与双曲线有关的综合问题 (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标关系，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解． (2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解． 已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝eq \f(2\r(3),3)，直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，且原点O到直线l的距离是eq \f(\r(3),2). (1)求双曲线的方程； (2)过点B作直线m交双曲线于M，N两点，若eq \o(OM,\s\up16(→))·eq \o(ON,\s\up16(→))＝－23，求直线m的方程． 解析：(1)依题意，直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－b)＝1， 即bx－ay－ab＝0. 由原点O到l的距离为eq \f(\r(3),2)，得eq \f(ab,\r(a2＋b2))＝eq \f(ab,c)＝eq \f(\r(3),2). 又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(3),3)，所以b＝1，a＝eq \r(3). 故所求双曲线的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1. (2)显然直线m不与x轴垂直． 设直线m方程为y＝kx－1， 点M，N坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． 联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,3)－y2＝1，)) 消去y，得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.① 依题意，1－3k2≠0，由根与系数的关系， 知x1＋x2＝eq \f(6k,3k2－1)，x1x2＝eq \f(6,3k2－1). 故eq \o(OM,\s\up16(→))·eq \o(ON,\s\up16(→))＝(x1，y1)·(x2，y2) ＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1) ＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1 ＝eq \f(61＋k2,3k2－1)－eq \f(6k2,3k2－1)＋1＝eq \f(6,3k2－1)＋1. 又因为eq \o(OM,\s\up16(→))·eq \o(ON,\s\up16(→))＝－23， 所以eq \f(6,3k2－1)＋1＝－23.解得k＝±eq \f(1,2). 当k＝±eq \f(1,2)时，方程①有两个不相等的实数根， 所以直线m的方程为y＝eq \f(1,2)x－1或y＝－eq \f(1,2)x－1. [课堂小结] 直线与双曲线位置关系的判定方法 (1)代数法(方程思想的应用) 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考查方程的判别式． ①当Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． ②当Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． ③当Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． (2)几何法(数形结合思想的应用) ①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系． ②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的大小关系来确定其位置关系． [提醒]　利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数，前提是联立方程组通过消元化为一元二次方程． 判断直线与双曲线的位置关系时的注意事项 判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立得方程组，方程组解的个数即是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到形如二次方程的式子，要注意x2项或y2项的系数是否为零，否则容易造成漏解． $$