第三章 3.2.1 第1课时 双曲线及其标准方程（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及其推导过程和标准方程的条件，通过拉链实验引导学生观察动点运动轨迹，结合问题链梳理定义内涵，借助例题与跟踪训练构建从具体操作到抽象概念的学习支架。 其亮点在于类比椭圆推导双曲线方程培养逻辑推理能力，用“焦点跟着正项走”口诀强化数学语言表达，分层设计随堂演练与课时对点练。学生能深化数学思维，教师可高效落实教学目标，提升课堂效率。

第1课时 第三章 <<< 双曲线及其标准方程 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(难点) 2.掌握双曲线的标准方程及其求法.(重点) 学习目标 同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌，这首歌是王渊超于1995年读高中时创作的.创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近，但不能相交”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就.课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生. 导 语 一、双曲线的定义 二、双曲线的标准方程及其推导过程 课时对点练 三、双曲线标准方程的条件 随堂演练 内容索引 双曲线的定义 一 提示　双曲线.曲线上的点满足条件：||MF1|－|MF2||＝常数，且常数小于|F1F2|. (1)取一条拉链，拉开一部分； (2)在拉开的两边各选择一点，分 别固定在点F1，F2上； (3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线. 试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ 问题1 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 差的绝对值 双曲线 焦点 焦距 知识梳理 (1)常数要小于两个定点的距离. (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 注 意 点 <<< 8 平面内动点P到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是 A.(－4，＋∞) B.(4，＋∞) C.(－4,4) D.(－4,0)∪(0,4) √ 由双曲线的定义可得，|m|<4，且m≠0，解得m∈(－4,0)∪(0,4). 例 1 9 双曲线的定义中，距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支. 反 思 感 悟 10 已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 跟踪训练 1 √ F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线. 11 二 双曲线的标准方程及其推导过程 提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称 性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1， F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系Oxy， 此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0. 类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 问题2 设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0 的常数)， 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0 ，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 问题3 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 ___________________ ___________________ 焦点 _________________ ____________________ a，b，c的关系 b2＝_______ 双曲线的标准方程 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2－a2 知识梳理 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上. 记忆口诀：“焦点跟着正项走”. (2)a与b没有大小关系. (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 注 意 点 <<< 17 由题意得，双曲线的焦点在x 轴上， 例 2 18 (2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： 所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.(ⅰ) 由(ⅰ)(ⅱ)得a2＝12，b2＝8， 19 解得λ＝4或λ＝－14(舍去). 20 因为点P，Q在双曲线上， 21 方法二　设所求双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0， 因为点P，Q在此曲线上 22 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.或设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过方程组确定m，n. 双曲线的标准方程 反 思 感 悟 23 求满足下列条件的双曲线的标准方程. 跟踪训练 2 若双曲线的焦点在y轴上， 24 设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， 25 双曲线标准方程的条件 三 (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； 若方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0， 即(k＋4)(k－1)>0， 解得k<－4或k>1， 因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞). 例 3 27 (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围. 因此实数k的取值范围是(－∞，－4). 28 方程表示双曲线的条件 反 思 感 悟 29 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 跟踪训练 3 ∴(9－k)(k－4)<0，即k>9或k<4， ∴k>9是该方程表示双曲线的充分不必要条件. √ 30 1.知识清单： (1)双曲线的定义. (2)双曲线的标准方程及其推导过程. (3)双曲线标准方程的条件. 2.方法归纳：待定系数法、分类讨论. 3.常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.双曲线的一支 设A(1,0)，B(－1,0)， √ 1 2 3 4 A.－2＜m＜2 B.m＞0 C.m≥0 D.|m|≥2 ∵已知方程表示双曲线， ∴(2＋m)(2－m)＞0. ∴－2＜m＜2. √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上. 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是 A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4 C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4 √ 当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以选项A中P点的轨迹是双曲线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又c＝6， 所以b2＝c2－a2＝36－20＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差等于6，则点P的轨迹方程为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知曲线C：mx2－ny2＝1，下列说法正确的是 A.若mn>0，则C为双曲线 B.若m>0且m＋n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆 C.若m>0，n<0，则C不可能表示圆 D.若m>0，n>0，则C为两条直线 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若mn>0，则C为双曲线，所以A正确； 若m>0且m＋n<0，则n<0，|n|>m>0，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确； 若m>0，n<0，当m＝1，n＝－1时，C是单位圆，所以C不正确； 若m>0，n>0，则C为双曲线，所以D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.双曲线 ＝1(a>0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|MF2|＝______. 9 由题意得，2c＝8，可得c＝4， 所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2， 又||MF1|－|MF2||＝2a＝4， 所以|5－|MF2||＝4， 解得|MF2|＝1或|MF2|＝9， 当|MF2|＝1时，|MF1|＋|MF2|＝6<8，不满足题意，故舍去； 当|MF2|＝9时，|MF1|＋|MF2|＝14>8，满足题意，所以|MF2|＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.焦点在x轴上的双曲线经过点 ，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为__________. 又∵c2＝a2＋b2＝25， ∴a2＝16，b2＝9. 设焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)， 则由QF1⊥QF2，得 ＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.求适合下列条件的双曲线的标准方程： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点(0,4). ∵双曲线焦点在y轴上， 由其焦距为10，得2c＝10，c＝5， 又该双曲线过点(0,4)，则a＝4， ∴b2＝c2－a2＝25－16＝9， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k. 由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4. 所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20. 若焦点在x轴上，以MN所在直线为x轴，以MN的中点O为原点建立直角坐标系，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由|PM|－|PN|＝4， 得2a＝4，a＝2，a2＝4. 由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100， 所以b2＝c2－a2＝100－4＝96， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 A.(5，＋∞) B.(－2,2)∪(5，＋∞) C.(－2,2) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 因为方程对应的图形是双曲线， 所以(k－5)(|k|－2)>0. √ 解得k>5或－2<k<2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是 A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1(0,0)和O2(4,0)，半径分别为1和2，设动圆的圆心为M，半径为r， 由两圆外切的充要条件，得 |MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝1， 又|O1O2|＝4， ∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记四边形A1PA2Q内切圆的半径为r， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵c2＝a2＋b2＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知圆C：(x＋3)2＋y2＝4及点A(3,0)，Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为__________. 由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M， 得|MA|＝|MQ|，又圆的半径为2， 所以||MC|－|MA||＝2<|AC|＝6， 故点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线， 所以2a＝2,2c＝6，所以a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与 圆O的交点将圆O的周长八等分， 且AB＝BC＝CD＝2，视AD所在直 线为x轴，则双曲线的标准方程为 __________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则点C的坐标为(1,0)， 将其代入双曲线方程，得a＝1，又坐标轴和双曲线 与圆O的交点将圆O的周长八等分， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即tan θ的取值范围为(1,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0). 因为|PF1|＝，|PF2|＝， 所以－＝±2a， ① 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)·x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1. 提示　－＝1(a>0，b>0). －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) (1)求以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程. 且c＝2， 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1， 解得a2＝3，b2＝5， 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 所以－＝1.(ⅱ) 所以双曲线的标准方程为－＝1. ①与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； 方法一　因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为－ ＝1(a>0，b>0)， 因为双曲线经过点(3，2)， 方法二　设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16). 因为双曲线经过点(3，2)，所以－＝1， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0). ②过点P，Q，且焦点在坐标轴上. 方法一　当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－ ＝1(a>0，b>0). 因为点P，Q在双曲线上，所以此方程组无解； 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 所以解得 所以双曲线的标准方程为－＝1. 所以解得 (2)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为－＝1(－a2<λ<b2). 代入A(4，3)， 即－＝1，解得b2＝9， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (1)经过点A(4，3)，且a＝4； 则－＝1，不成立，可知双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为－＝1(b>0)， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)经过点A，B(3，－2). 代入点A，B(3，－2)， 可得解得 给出曲线方程＋＝1. 若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k<－4， (1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线. (2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线. k>9是方程＋＝1表示双曲线的 ∵方程＋＝1表示双曲线， 1.已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点  P的轨迹是 则由已知得||PA|－|PB||＝， 即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数， 又|AB|＝2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线. 2.若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是 3.若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为 A.1 B.1或－2 C.1或 D. 由题意知解得a＝1. 4.与椭圆＋＝1有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程为____________. －＝1 解得或(不符合题意，舍去)， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0). 根据题意得 A. B. C. D.(，0) 将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1， ∴a2＝1，b2＝， ∴c2＝a2＋b2＝， ∴c＝， 故右焦点坐标为. A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 2a＝|－|＝4， 所以a＝2， 所以双曲线的标准方程为－＝1. A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x≤3) D.－＝1(x≥3) 动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，又c＝5，a＝3，∴b2＝16，∴点P的轨迹方程为－＝1(x≥3). 6.已知双曲线的一个焦点为F(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程是 A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 由线段PF的中点坐标为(0,2)知P(，4)， 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 则有解得 所以该双曲线的标准方程为x2－＝1. － P(4，－3) －＝1 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， ∵双曲线过点P(4，－3)， ∴－＝1， ∴双曲线的标准方程为－＝1. ∴·＝－1，∴c＝5. (1)焦点在x轴上，a＝2，经过点A(－5,2)； ∵a＝2，且双曲线的焦点在x轴上， ∴可设双曲线的标准方程为－＝1(b>0)， 将点A代入双曲线的方程得－＝1，解得b2＝16， ∴双曲线的标准方程为－＝1. ∴设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， ∴双曲线的标准方程为－＝1. 10.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，  N为焦点，且过点P的双曲线方程. 因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝， 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0). 故所求方程为－＝1； 若焦点在y轴上，同理可得双曲线方程为－＝1. 11.已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是 即或 13.(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，  A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为，则双曲线C的方程可以为 A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 ∵四边形A1PA2Q的面积为2， ∴×2a×2b＝2，得ab＝. 则2πr＝， 解得r＝， 又4×cr＝2，∴c＝. 得或 ∴双曲线C的方程为－y2＝1或x2－＝1. x2－＝1 又焦点在x轴上，故动点M的轨迹方程为x2－＝1. x2－＝1 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，因为AB＝BC＝CD＝2， 所以点在双曲线上， 得－＝1，则b2＝， 故所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 16.已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点. (1)设<m<4，求与的夹角θ的正切值的取值范围； 因为 所以tan θ＝， 又<m<4，所以1<tan θ<4， (2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程. 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)， 所以S△OFQ＝||·|y1|＝2， 则y1＝±，又·＝m. 即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，解得x1＝c， 所以||＝＝≥＝2， 当且仅当c＝4时取等号，||最小， 此时Q的坐标为(，)或(，－). 因此所以 所以双曲线的标准方程为－＝1. $