第二章 2.1.1 倾斜角与斜率（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角和斜率，通过交通工程“坡度”实例导入，从生活直观过渡到数学抽象，构建倾斜角定义、范围及斜率公式推导与应用的知识脉络，为学生提供清晰的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过例3线段交点问题的数形结合训练数学思维，用分类讨论（如倾斜角旋转范围）和规范解题步骤强化数学语言表达。学生能深化概念理解，教师可借助分层练习提升教学效率。

2.1.1 第二章 <<< 倾斜角与斜率 1.了解直线的倾斜角和斜率的概念(重点). 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率(重点). 学习目标 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平 方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点 前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向 上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝ 若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全， 在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾 斜程度的呢？本节课我们就来学习一下. 导 语 一、直线的倾斜角 二、直线的斜率 课时对点练 三、倾斜角和斜率的应用 随堂演练 内容索引 直线的倾斜角 一 提示　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线. 在平面中，怎样才能确定一条直线？ 问题1 提示　直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同. 在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 问题2 1.倾斜角的定义： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 . 2.倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为 . 正向 0°≤α<180° 0° 知识梳理 (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角. (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度. 注 意 点 <<< 9 (1)(多选)下列命题中，正确的是 A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1) √ 任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确； 倾斜角不可能为负，故B错误； 倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确； 当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误. 例 1 √ 10 (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为 A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° √ 根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. √ 11 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的范围. 直线倾斜角的概念和范围 反 思 感 悟 12 (1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为_____________. 60°或120° 跟踪训练 1 有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. (1)　　　　　(2) 13 (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________. 135° 设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 14 二 直线的斜率 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. 问题3 问题3 问题3 (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？ 1.把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ . 2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ ，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在. 正切值 tan α 知识梳理 3.直线的方向向量与斜率的关系： (2)当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0,1). 知识梳理 (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关. (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0. (5)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝ 注 意 点 <<< 21 (1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. ①A(2,3)，B(4,5)； 则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝45°. 例 2 22 ②C(－2,3)，D(2，－1)； 则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝135°. 23 ③P(－3,1)，Q(－3,10)； 不存在.因为xP＝xQ＝－3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. 24 ④M(2,4)，N(－3,4). 存在.因为yM＝yN＝4， 所以直线MN的斜率为0，倾斜角α＝0°. 25 (2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率. 当a＝3时，斜率不存在； 26 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α. 求直线的斜率的两种方法 反 思 感 悟 27 (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为_______. (2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_____. 跟踪训练 2 1 28 设直线l的斜率为k， 29 倾斜角和斜率的应用 三 提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大. 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？ 问题4 α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 ______ 不存在 ______ k的增减性   随α的增大而_____   随α的增大而_____ 设直线的倾斜角为α，斜率为k. k>0 k<0 增大 增大 知识梳理 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值 范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞). 例 3 33 (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 34 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 倾斜角和斜率的应用 反 思 感 悟 35 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2). (1)求直线AB和AC的斜率； 跟踪训练 3 36 (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的 斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化 范围是 37 1.知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围. (2)直线斜率的定义和斜率公式. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列说法正确的是 A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 √ √ √ 1 2 3 4 2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于 A.2 B.1 C.－1 D.－2 √ 1 2 3 4 3.已知A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，则x＝_____，直线AB的倾斜角为_____. 3 1 2 3 4 4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是___________. (其中m≥1) 0°<α≤90° 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5) √ D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选)已知直线斜率的绝对值为 ，则直线的倾斜角可以为 A.30° B.60° C.120° D.150° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.60° B.30° C.120° D.150° ∴θ＝30°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k1＜k2 C.k1＜k2＜k3 D.k3＜k2＜k1 √ 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°， 所以tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0， 即k1＜0，k2＞k3＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.下列可作为斜率k＝ 的直线的方向向量的是 A.(2,3) B.(3,2) C.(－3，－2) D.(－3,2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知直线l经过(1,0)，(2， )两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为_______________. (3,0)或(0，－3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ 若直线l与x轴平行， ∴m＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)直线l与y轴平行？ 若直线l与y轴平行， 则直线l的斜率不存在， ∴m＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)直线l的一个方向向量的坐标为(3,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)直线的倾斜角为45°？ 由题意可知，直线l的斜率k＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (5)直线的倾斜角为锐角？ 由题意可知，直线l的斜率k>0， 解得－1<m<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB＝kCD＝0， 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 A.－2 B.－1 C.1 D.2 设A(a，b)是直线l上任意一点， 则平移后得到点A′(a－2，b＋2)， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又直线l与线段AB始终没有交点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.过点A(2,1)，B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是 ，则实数m的取值范围是 A.(0,2] B.(0,4) C.[2,4) D.(0,2)∪(2,4) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得0<m<2或2<m<4. 当直线的斜率不存在时，m＝2符合题意. 综上，实数m的取值范围是(0,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3， ＝. 提示　tan α＝＝. (1)已知直线l经过O(0,0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ 提示　tan α＝＝1－. (2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？ 提示　tan α＝.   (1)直线P1P2的方向向量＝(x2－x1，y2－y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为＝(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率.  . 存在.直线AB的斜率kAB＝＝1， 存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1， 当a≠3时，直线的斜率k＝. (2)利用斜率公式：k＝(x1≠x2). － 由斜率公式k＝＝1，得m＝1. (3)已知直线l的方向向量的坐标为(1，)，则直线l的倾斜角为____. 则k＝，所以直线的倾斜角为. 如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. 由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝. 直线AC的斜率kAC＝＝. 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. . 由题意知，tan 45°＝，得m＝2. 因为A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，所以kAB＝kBC，即＝，解得x＝3，设直线AB的倾斜角为θ，由tan θ＝1得θ＝，所以直线AB的倾斜角为. 当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°. 由题意得直线的斜率为或－，故直线的倾斜角为60°或120°. 3.已知点A(，1)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角θ是 kAB＝＝， ∴tan θ＝且0°≤θ＜180°， 4.若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是 A. B. C.∪ D. ∵直线的斜率k∈(－∞，]， ∴k≤tan ， ∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪. － 斜率为k＝－的直线的一个方向向量为a＝，所以与a共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量.经验证D中向量与共线. 由直线l经过(1,0)，(2，)两点， 则直线l的斜率k1＝＝， 设直线m的倾斜角为α，所以直线m的斜率k2＝tan α＝， 因为0≤α<π，所以α＝. 若点P在x轴上，设点P的坐标为(x,0)， 则k＝＝tan 45°＝1， 解得x＝3，所以P(3,0). 若点P在y轴上，设点P的坐标为(0，y)， 则k＝＝tan 45°＝1， 解得y＝－3，所以P(0，－3). 综上，P为(3,0)或(0，－3). 则直线l的斜率k＝＝0， 直线l的一个方向向量的坐标为(3,1)，故k＝， 即＝， 解得m＝. 即＝， 解得m＝. 即>0， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 所以kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－. 于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1. A. B. C. D.{k|k<2} ∵kAP＝＝2，kBP＝＝，如图， ∴斜率k的取值范围是. 由直线的倾斜角α的取值范围是，得直线的斜率存在时，k<－1或k>1. 当m≠2时，k＝＝， ∴<－1或>1， 14.若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为_____. ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝，即ab＝2a＋2b，两边同除以ab，得1＝＋，即＋＝. 15.已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则 ，，的大小关系是 A.>> B.>> C.>> D.>> 因为 表示经过点O(0,0)和点A(x，f(x))的直 线的斜率，所以，，的几何意义可 以表示为3个斜率，作函数f(x)＝log2(x＋1)的 图象，如图所示. 因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与坐标原点O相连，如图所示，可得 >>. 16.已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求的取值范围.  的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率. 所以可设该线段为AB，且A，B， 又kNA＝－，kNB＝， 所以的取值范围是∪. $