2.1.1倾斜角与斜率课时练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.1倾斜角与斜率 一、选择题 1．(多选)在下列四个命题中，正确的有(　　) A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π) C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45° D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° 2．过两点A(3，y)，B(2，0)的直线的倾斜角为120°，则y＝(　　) A． C．－ D．－ 3．已知直线l的斜率的范围为[－1，1]，则直线l的倾斜角α的取值范围为(　　) A．0°≤α≤45°或135°≤α≤180° B．45°≤α≤135° C．45°＜α＜135° D．0°≤α≤45°或135°≤α＜180° 4．直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，其图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2 C．k2＞k1＞k3 D．k2＞k3＞k1 5．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索B10P10所在直线的斜率为(　　) A． C． 6．(多选)已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，斜率分别是k1，k2，k3，若θ1＜θ2＜θ3，则k1，k2，k3的大小关系可能是(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1 C．k3＜k1＜k2 D．k2＜k3＜k1 7．已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是(　　) A． C． 二、填空题 8．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为 ________． 9．已知直线l的方向向量n＝(2，－2)，则直线l的倾斜角为________． 10．已知直线l上一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率k为________． 11．已知点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则m的值为________． 12．已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的取值范围是 ________． 三、解答题 13．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)? (4)直线l的倾斜角为45°？ (5)直线l的倾斜角为锐角？ 14．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)． (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围． 答案解析 1．BCD　[对于A，当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在， 故坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率不成立，故A错误； 对于B，直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，故B正确； 对于C，由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的倾斜角为45°，故C正确； 对于D，与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°，选项D正确． 故选BCD．] 2．D　[设直线斜率为k，则k＝tan 120°＝．故选D．] 3．D　[由直线l的斜率的范围为[－1，1]，0°≤α<180°， 故倾斜角α的范围为0°≤α≤45°或135°≤α<180°．故选D．] 4．C　[由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象， 直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0， 直线l1与l2对应的倾斜角都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角， 则k2>k1>0，故k2>k1>k3． 故选C．] 5．B　[如图，根据题意，最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m， 且|PiPi+1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m，则|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝78＋9×18＝240 m，即点A10(240，0)， 同理B10(－240，0)，又|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝84＋9×4＝120，即点P10(0，120)， 所以，即最长拉索所在直线的斜率为．故选B．] 6．ACD　[由k＝tan x在上分别单调递增， 且当x∈时，k>0；当x∈时，k<0， 若0<θ1<θ2<θ3<，或<θ1<θ2<θ3<π，则k1<k2<k3，故A正确； 若0<θ1<θ2<<θ3<π，则k3<k1<k2，故C正确； 若0<θ1<<θ2<θ3<π，则k2<k3<k1，故D正确，无论哪种条件下，B都不成立． 故选ACD．] 7．D　[因为两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈， 当m＝－1时，m＝－1∈，此时直线的倾斜角为． 当m≠－1时，直线的斜率k＝， 可得m＋1∈，可得k＝≥或k≤－，即tan α≥或tan α≤－，可得α∈或α∈． 综上所述，直线的倾斜角α∈． 故选D．] 8．135°　[设直线l2的倾斜角为α2，直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1与l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°，故α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°．] 9．　[由于直线l的方向向量n＝(2，－2)，则直线l的斜率为， 设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝－，θ∈[0，π)，∴θ＝．] 10．－　[设点P(a，b)是直线l上的一点， 将点P(a，b)向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点P'(a＋4，b－2)仍在该直线上，则直线l的斜率k＝．] 11．4　[由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1， 所以kAC＝，kBC＝， 所以＝3×， 整理，得－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0， 解得m＝4或m＝－1(舍去)，所以m＝4．] 12．(－∞，－1]∪[3，＋∞)　[由题意，表示点P(x，y)与点Q(1，0)连线的斜率， 因为点P(x，y)在线段AB上，A(2，3)，B(－1，2)， 所以kAQ＝＝3，kBQ＝＝－1，kPQ＝， 所以kPQ＝∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 即的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．] 13．解：(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，即＝0，解得m＝1． (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以m＝－1． (3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)，故k＝，即，解得m＝． (4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0． (5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即>0，解得－1<m<1． 14．解：(1)由斜率公式得，kAB＝＝0， kBC＝，kAC＝，∴直线AB的倾斜角为0°，直线BC的倾斜角为60°，直线AC的倾斜角为30°． (2)如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时， 直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kAC增大到kBC，∴k的取值范围为． 1/7 学科网（北京）股份有限公司 $