第07讲 倾斜角与斜率（培优讲义）新高二数学人教A版

第07讲 倾斜角与斜率（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 直线的倾斜角 2 知识点02 直线的斜率 3 知识点03 直线斜率的坐标公式 4 剖题型·讲技巧 5 题型1 求直线的倾斜角 5 题型2 求直线的斜率 7 题型3 斜率与倾斜角的关系 9 题型4 斜率公式的简单应用 11 释疑惑·重难拓展 13 题型1 斜率公式的几何意义 13 题型2 直线与线段相交关系求斜率范围 16 练好题·提分培优 18 课标要点 1． 掌握倾斜角定义与取值范围，能结合图像理解倾斜角几何意义，区分平行直线倾斜角特点。 2． 理解斜率概念，熟记倾斜角与斜率对应变化规律，清楚90°倾斜角直线不存在斜率。 3． 熟练掌握两点式斜率计算公式，牢记公式使用注意事项，能由两点坐标快速算出斜率。 4． 会完成倾斜角与斜率互相转化计算，体会数形结合思想，规范解决基础计算类习题。 知识点01 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 3、直线倾斜角的含义 （1）几何作用：直线的倾斜角能够直观反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度。 （2）存在唯一性：平面直角坐标系内，任意一条直线都对应唯一确定的倾斜角。 （3）辨析要点：若两条直线倾斜角相等，无法判定两条直线重合，二者可能为平行线。 练习1．直线的倾斜角的大小为____________． 2． 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，求的倾斜角. 知识点02 直线的斜率 1、斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2、斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 练习3．已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．已知（为坐标原点）是等腰直角三角形的直角顶点，点在第一象限，，则斜边的斜率为_________. 知识点03 直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 注意： 1．若，分式无意义，直线斜率不存在，倾斜角，直线垂直于轴。 2．计算斜率与两点选取顺序无关，和可同步互换，但分子、分母不可交换位置。 3．求解斜率，无需借助倾斜角，直接代入直线上两个点的坐标就能计算。 4．若，斜率，倾斜角，直线平行于轴或与轴重合。 5．已知直线上两点坐标，可先算出斜率，再根据斜率求解对应直线的倾斜角。 练习5．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 题型1 求直线的倾斜角 方法技巧 1.定义基础：倾斜角范围，直线平行/重合x轴时，垂直x轴时。 2.已知直线图像求倾斜角：观察直线升降趋势，水平直线，竖直直线，从左往右上升，下降。 【例1】直线 的倾斜角为（    ） A． B． C．不存在 D． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线与垂直，垂足为A，、与x轴的交点分别为B、C，，则直线的倾斜角为________．    【变式1-1】倾斜角为钝角的直线l一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限 【变式1-2】如图，直线与轴正向之间的夹角为，则直线的倾斜角为（    ）    A． B． C． D．不确定 【变式1-3】1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 题型2 求直线的斜率 方法技巧 1.由倾斜角求斜率：公式；时无意义，斜率不存在。 2.特殊直线斜率判断：若，分母为0，斜率不存在，直线垂直x轴；若，分子为0，，直线平行或重合于x轴。 【例3】直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 【例4】已知直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】在平面直角坐标系中，正方形的其中一条对角线的斜率为2，则直线的斜率为（   ） A．1 B．或 C． D．或 题型3 斜率与倾斜角的关系 方法技巧 1.分段对应关系：，，直线水平；，，增大，单调递增；，斜率不存在，直线竖直；，，增大，单调递增。 2.大小比较思路：先区分倾斜角是否为钝角，锐角斜率为正、钝角斜率为负，正数一定大于负数；同区间内倾斜角越大斜率越大。 3.易错区分：倾斜角越大斜率不一定越大，跨90°时斜率由正无穷突变为负无穷。 【例5】直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6】（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 题型4 斜率公式的简单应用 方法技巧 1.已知两点坐标直接求斜率：代入，快速计算，无需画图求倾斜角。 2.已知一点、斜率求参数：设未知坐标，代入斜率公式列方程求解未知数。 3.倾斜角互求：两点算出斜率后，借助求出直线倾斜角。 【例7】过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【例8】若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 【变式4-2】已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【变式4-3】直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 释疑惑·重难拓展 题型1 斜率公式的几何意义 方法技巧 几何含义：代表两点纵坐标变化量与横坐标变化量的比值，反映直线倾斜程度。 【例1】已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【例2】点在函数的图象上，当，则的取值范围为______. 【变式1-1】已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是_________． 【变式1-2】已知实数满足，则的最大值为______． 【变式1-3】已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型2 直线与线段相交关系求斜率范围 方法技巧 求出定点与线段两端点的斜率；在坐标系中画出两条边界直线，观察直线旋转区间；结合倾斜角增减性，写出斜率取值范围，注意区分开区间、闭区间。 【例3】设，且，点，过点的直线l与线段始终有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4】已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【变式2-3】已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 一、单选题 1．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 3．直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线的倾斜角为，则“直线的斜率”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 6．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 7．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 9．若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 10．经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 11．已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 12．已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 四、解答题 13．已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 14．已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 15．已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 倾斜角与斜率（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 直线的倾斜角 2 知识点02 直线的斜率 3 知识点03 直线斜率的坐标公式 4 剖题型·讲技巧 5 题型1 求直线的倾斜角 5 题型2 求直线的斜率 7 题型3 斜率与倾斜角的关系 9 题型4 斜率公式的简单应用 11 释疑惑·重难拓展 13 题型1 斜率公式的几何意义 13 题型2 直线与线段相交关系求斜率范围 16 练好题·提分培优 18 课标要点 1． 掌握倾斜角定义与取值范围，能结合图像理解倾斜角几何意义，区分平行直线倾斜角特点。 2． 理解斜率概念，熟记倾斜角与斜率对应变化规律，清楚90°倾斜角直线不存在斜率。 3． 熟练掌握两点式斜率计算公式，牢记公式使用注意事项，能由两点坐标快速算出斜率。 4． 会完成倾斜角与斜率互相转化计算，体会数形结合思想，规范解决基础计算类习题。 知识点01 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 3、直线倾斜角的含义 （1）几何作用：直线的倾斜角能够直观反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度。 （2）存在唯一性：平面直角坐标系内，任意一条直线都对应唯一确定的倾斜角。 （3）辨析要点：若两条直线倾斜角相等，无法判定两条直线重合，二者可能为平行线。 练习1．直线的倾斜角的大小为____________． 【答案】 【详解】将直线方程整理得，可知该直线为垂直于轴的直线， 因此该直线的倾斜角大小为. 2．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，求的倾斜角. 【答案】 【详解】若，则的倾斜角范围，倾斜角为； 若，则的倾斜角范围，倾斜角为. ∴的倾斜角为. 知识点02 直线的斜率 1、斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2、斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 练习3．已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为， 故选：A. 4．已知（为坐标原点）是等腰直角三角形的直角顶点，点在第一象限，，则斜边的斜率为_________. 【答案】 【详解】如图，设直线与轴的交点为， 则. 所以， 即斜边的斜率为. 知识点03 直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 注意： 1．若，分式无意义，直线斜率不存在，倾斜角，直线垂直于轴。 2．计算斜率与两点选取顺序无关，和可同步互换，但分子、分母不可交换位置。 3．求解斜率，无需借助倾斜角，直接代入直线上两个点的坐标就能计算。 4．若，斜率，倾斜角，直线平行于轴或与轴重合。 5．已知直线上两点坐标，可先算出斜率，再根据斜率求解对应直线的倾斜角。 练习5．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 6．图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：． 题型1 求直线的倾斜角 方法技巧 1.定义基础：倾斜角范围，直线平行/重合x轴时，垂直x轴时。 2.已知直线图像求倾斜角：观察直线升降趋势，水平直线，竖直直线，从左往右上升，下降。 【例1】直线 的倾斜角为（    ） A． B． C．不存在 D． 【答案】D 【详解】直线即，是一条与轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为． 故选：D． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线与垂直，垂足为A，、与x轴的交点分别为B、C，，则直线的倾斜角为________．    【答案】 【详解】直线的倾斜角为． 故答案为：. 【变式1-1】倾斜角为钝角的直线l一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限 【答案】B 【详解】因为直线的倾斜角为钝角，所以斜率为负， 由一次函数性质得直线l一定经过第二、四象限. 故选：B. 【变式1-2】如图，直线与轴正向之间的夹角为，则直线的倾斜角为（    ）    A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】根据倾斜角的定义可得，该直线的倾斜角为， 故选：B 【变式1-3】1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，分别为大五角星和第三颗小五角星的中心点， 所以平分第三颗小五角星的一个角， 又由五角星的角尖为知. 过作轴的平行线，如图，则. 所以直线的倾斜角约为.    故选：C. 题型2 求直线的斜率 方法技巧 1.由倾斜角求斜率：公式；时无意义，斜率不存在。 2.特殊直线斜率判断：若，分母为0，斜率不存在，直线垂直x轴；若，分子为0，，直线平行或重合于x轴。 【例3】直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 【答案】B 【详解】的倾斜角为，斜率,故 【例4】已知直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】直线的倾斜角为，可得，由，可得或， 则直线的斜率为或，所以充分性不成立； 反之：若直线的斜率为，可得，所以，所以必要性成立， 所以直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2-1】已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，则，故. 【变式2-2】已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则， 又，可得， 所以或， 所以中较大的倾斜角在内，其斜率为负， 较小的倾斜角在内，其斜率为正，所以， 所以“”是“”的充分条件， 若，不妨取，此时， 所以， 所以“”不是“”的必要条件. 故选：A. 【变式2-3】在平面直角坐标系中，正方形的其中一条对角线的斜率为2，则直线的斜率为（   ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由题意得直线斜率为2，有，则， 依题意有或， 当时，， 即，解得，即直线的斜率为； 当时，， 即，解得，即直线的斜率为； 综上所述，直线的斜率为或. 故选：B． 题型3 斜率与倾斜角的关系 方法技巧 1.分段对应关系：，，直线水平；，，增大，单调递增；，斜率不存在，直线竖直；，，增大，单调递增。 2.大小比较思路：先区分倾斜角是否为钝角，锐角斜率为正、钝角斜率为负，正数一定大于负数；同区间内倾斜角越大斜率越大。 3.易错区分：倾斜角越大斜率不一定越大，跨90°时斜率由正无穷突变为负无穷。 【例5】直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 【例6】（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 【变式3-1】（多选）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得， 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得, 结合选项，可得选项A、B、C. 故选：ABC. 【变式3-2】已知直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的斜率，为倾斜角，， 已知，即， 当时，； 当时，. 综上当时，. 故选：C 【变式3-3】若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】当时，，所以； 当时，，即； 所以的取值范围是. 题型4 斜率公式的简单应用 方法技巧 1.已知两点坐标直接求斜率：代入，快速计算，无需画图求倾斜角。 2.已知一点、斜率求参数：设未知坐标，代入斜率公式列方程求解未知数。 3.倾斜角互求：两点算出斜率后，借助求出直线倾斜角。 【例7】过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【详解】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 【例8】若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 【变式4-1】已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为直线过点和，且倾斜角为135°， 所以，得， 因为点在第一象限，所以， 所以，得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A 【变式4-2】已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. 【变式4-3】直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 释疑惑·重难拓展 题型1 斜率公式的几何意义 方法技巧 几何含义：代表两点纵坐标变化量与横坐标变化量的比值，反映直线倾斜程度。 【例1】已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【答案】 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 【例2】点在函数的图象上，当，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：.    【变式1-1】已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-2】已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】8 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 【变式1-3】已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 题型2 直线与线段相交关系求斜率范围 方法技巧 求出定点与线段两端点的斜率；在坐标系中画出两条边界直线，观察直线旋转区间；结合倾斜角增减性，写出斜率取值范围，注意区分开区间、闭区间。 【例3】设，且，点，过点的直线l与线段始终有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由点过点的直线l与线段始终有交点， 如图所示，可得， 设直线l的倾斜角为，可得且， 又因为，且，所以或， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 【例4】已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 【变式2-1】已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，    若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 【变式2-2】已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 【变式2-3】已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 【答案】 【详解】    如图，先求出直线的斜率分别为：， 则可得直线的倾斜角分别为， 由图知，要使直线与线段没有公共点，需使直线的倾斜角满足， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为：. 一、单选题 1．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 2．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】由题意，直线为垂直于轴的直线， 根据直线倾斜角的定义，可判断其倾斜角为. 3．直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 4．已知直线的倾斜角为，则“直线的斜率”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由直线的斜率，得，则或， 又，解得或； 反之当时，，则直线的斜率， 所以“直线的斜率”是“”的必要不充分条件. 5．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 6．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 7．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 8．下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 【答案】BD 【详解】由斜率与倾斜角的关系知， 因为正切函数在区间上单调递增，但它不是定义域内的增函数， 故A错误，B正确，C错误，D正确； 故选：BD 9．若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 三、填空题 10．经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【答案】 【详解】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 11．已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 12．已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 四、解答题 13．已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以； （2）由直线的倾斜角为可知，直线的斜率， 所以，解得； （3）由题意可知，直线的斜率，所以， 即，解得. 14．已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 15．已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $