第一章 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间平行关系，系统梳理直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的向量表示及应用，通过问题链导入，从方向向量关系到法向量关系逐步递进，构建知识支架帮助学生理解逻辑脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过坐标法和基向量法解决几何问题，例题结合长方体等模型培养空间观念，反思感悟明确证明步骤与易错点。学生能提升逻辑推理与空间想象能力，教师可借助系统例题与训练提高教学效率。

第2课时 第一章 <<< 空间中直线、平面的平行 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系(重点). 学习目标 观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的 直线和护旗战士所在的直线平行.旗杆所在直线的方向 向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？旗 杆底部平台所在平面的法向量和地面所在平面的法向量有什么关系？ 导 语 一、直线和直线平行 二、直线和平面平行 课时对点练 三、平面和平面平行 随堂演练 内容索引 直线和直线平行 一 提示　平行. 由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 问题1 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔___________⇔∃λ∈R，使得u1＝ . u1∥u2 λu2 知识梳理 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在棱DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 例 1 8 方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 所以MN∥RS. 9 又R∉MN， 所以MN∥RS. 10 证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明. (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示. 反 思 感 悟 11 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝ ，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 跟踪训练 1 12 方法一　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直. 以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)， 又M∉AP，故MN∥AP. 13 14 二 直线和平面平行 提示　垂直. 如图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 问题1 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u n ⇔_________. ⊥ u·n＝0 知识梳理 (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. 注 意 点 <<< 18 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 例 2 19 如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点， 设PD＝DC＝a. 连接AC，交BD于点G， 连接EG， 20 方法一　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 21 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法二　因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 22 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 方法三　假设存在实数λ，μ使得 23 所以PA∥平面EDB. 24 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝ ＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由. 延伸探究 25 分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图. 则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0). 假设在棱PD上存在符合题意的点E， 设E(0，y，z)， ∴－y－2(z－1)＝0. ① 26 ∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0. ∴E是PD的中点，即存在点E为PD的中点时，CE∥平面PAB. 27 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. (3)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外. 反 思 感 悟 28 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点.求证：C1F∥平面ABE. 跟踪训练 2 29 如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设BC＝a，AB＝b，BB1＝c， 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 30 又C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE. 31 平面和平面平行 三 提示　平行. 如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 问题3 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔___________⇔∃λ∈R，使得 ________. n1∥n2 n1＝λn2 知识梳理 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，求证：平面 AB′D′∥平面BDC′. 例 3 35 方法一　设该正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B′(1,1,1)， 设平面AB′D′的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 36 令y1＝1，则x1＝－1，z1＝－1， 可得n1＝(－1,1，－1). 设平面BDC′的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 令y2＝1，则x2＝－1，z2＝－1， 可得n2＝(－1,1，－1). 所以n1＝n2，所以n1∥n2， 故平面AB′D′∥平面BDC′. 37 又AD′⊄平面BDC′，AB′⊄平面BDC′，所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′. 又AD′∩AB′＝A，且AD′⊂平面AB′D′，AB′⊂平面AB′D′，所以平面AB′D′∥平面BDC′. 38 方法三　由方法一得平面AB′D′的一个法向量 为n1＝(－1,1，－1). 39 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 证明面面平行的方法 反 思 感 悟 40 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点.求证：平面AA1D1D∥平面FCC1. 跟踪训练 3 41 因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点， 所以BF＝BC＝CF， 所以△BCF为正三角形. 因为平面ABCD为等腰梯形，所以∠BAD＝∠ABC＝60°. 取AF的中点M，连接DM， 则DM⊥AB，所以DM⊥CD. 以D为原点，DM，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 42 又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1，CF⊂平面FCC1， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 43 1.知识清单： (1)线线平行的向量表示及应用. (2)线面平行的向量表示及应用. (3)面面平行的向量表示及应用. 2.方法归纳：坐标法、转化化归. 3.常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略直线不在平面内的条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1,2)，b＝(－2,2，－4)，则 A.l1∥l2 B.l1与l2相交 C.l1与l2重合 D.l1∥l2或l1与l2重合 √ ∵b＝－2a，∴l1与l2平行或重合. 1 2 3 4 2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 A.a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0) B.a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C.a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D.a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) √ 若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0. √ 1 2 3 4 3.设平面α，β的一个法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α，β的位置关系为________. ∵v＝－3(1,2，－2)＝－3u， ∴α∥β. 平行 1 2 3 4 4.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是______. ∵l∥平面ABC， －3 ∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)， 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是 A.a＝ ，b＝(－2，－4,0) B.a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1) C.a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0) D.a＝(－2，－1,1)，b＝(4，－2，－8) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，易知a＝ ，所以l1∥l2，A正确； 对于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正确； 对于C，D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2，C，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选)直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1, 2λ)，若l1∥l2，则λ的值为 A.2 B. C.－3 D.3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)， l1∥l2，令a＝tb， 则(λ＋1,0,2)＝t(6,2μ－1,2λ)＝(6t，(2μ－1)t,2λt)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是 A.l⊥α B.l∥α C.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l⊂α √ 因为a·u＝－3＋4－1＝0， 所以a⊥u.所以l∥α或l⊂α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)下列结论正确的是 A.直线的方向向量是唯一确定的 B.平面的单位法向量是唯一确定的 C.若两平面的法向量平行，则两平面平行 D.若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，与直线平行的任意非零向量都是直线的方向向量，A不正确； 对于B，与平面垂直的直线的方向向量都是平面的法向量，法向量方向不唯一，则平面的单位法向量也不唯一，B不正确； 对于C，两平面的法向量平行，即这两平面可以垂直于同一直线，则两平面平行，C正确； 对于D，若两直线平行，则它们的方向向量平行，与已知两直线的方向向量不平行矛盾，即两直线平行是错的，则两直线不平行，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知平面α的一个法向量是(2,3，－1)，平面β的一个法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是 ∵α∥β， ∴α的法向量与β的法向量也互相平行. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分 别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位 置关系是 A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意建立空间直角坐标系如图， 设正方体的棱长为2， 则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)， ∴M(2,1,1)，N(1,1,2)， 又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意建立空间直角坐标系如图， 设正方体的棱长为2， 则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)， ∴M(2,1,1)，N(1,1,2)， 又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)， 又∵MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是______. 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0， ＝－1×1＋0＋(－1)×(－1)＝0， ∴n也为α的一个法向量， 又α与β不重合，∴α∥β. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，C1B1的中点.求证：MN∥平面A1BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设该正方体的棱长为1， 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取x＝1，则y＝－1，z＝－1， 所以平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1). 又MN⊄平面A1BD， 所以MN∥平面A1BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD， 所以MN∥平面A1BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又MN⊄平面A1BD，故MN∥平面A1BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0，2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)， B1(2,2,2)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令z1＝2，则y1＝－1， 所以可取n1＝(0，－1,2). 同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令z2＝2，得y2＝－1， 所以可取n2＝(0，－1,2). 因为n1＝n2，即n1∥n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是 A.A1E⊥AC1 B.BF∥平面ADD1A1 C.BF⊥DG D.GE∥HF √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2， 则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，C1(0,2,2)，E(1,2,0)，F(0,2,1)，G(1,0,2)，H(0,1,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设M(a，a,1)，平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　如图，设AC与BD相交于点O，连接OE， 由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE， 得AM∥OE， 又O是正方形ABCD对角线的交点， 所以M为线段EF的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝a，AP＝b， 则A(0,0,0)，D(0,1,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得y＝－a，z＝－2a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　∵DP∥平面B1AE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平 面EFC，则AG＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)， O(1,1,0)， 则F(1,0,1)，E(0,1,1)， 设平面EFC的法向量为n＝(x，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x＝1，得n＝(1,1,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则 (1)PQ与BD的位置关系是________； 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， B(1,1,0)，因为P，Q均在平面A1B1C1D1内，所以设P(a，b,1)，Q(m，n,1)， 因为BP⊥A1E，BQ⊥A1E， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以PQ与BD的位置关系是平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1， A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， 设Q(0,1，m)(0≤m≤1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 BD1＝(－1，－1,1)， 于是OP∥BD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 设平面PAO的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取x1＝1，则n1＝(1,1,2). 设平面D1BQ的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取z2＝1，则n2＝(m,1－m,1). 要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2， 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 又＝，＝， 所以＝，所以∥，因为M∉RS， 根据题意得M，  N(0,2,2)，R(3,2,0)，S. 则，分别为MN，RS的方向向量， ＝＋＋＝b－a＋c. 所以＝， 所以∥. 方法二　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＋＝c－a＋b， DB 则D(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，N，M， 所以＝(－1,0,1)，＝，所以＝， 方法二　由题意可得＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝＋＝(＋)＝，又M∉AP，所以MN∥AP. 依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E， B(a，a,0). 令z＝1，则所以n＝(1，－1,1)， 又＝(a,0，－a)， 又＝，＝， 则有即即 故点G的坐标为， 所以＝. 所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0. 所以n⊥. ＝λ＋μ， 即(a,0，－a)＝λ＋μ， 又＝(a,0，－a)， 所以＝2，则PA∥EG. 则有解得 所以＝－＋，又PA⊄平面EDB， AD 则＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1). ∵∥， ∴y＝1，代入①式得z＝. 由CE∥平面PAB，可得⊥. ∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量， ＝(－1，y－1，z)， 则即 则B(0,0,0)，A(0，b,0)，C1(a,0，c)，F，E. 所以＝(0，－b,0)，＝. 又因为＝， 所以n·＝－a＋a＝0， 令x＝2，则y＝0，z＝－， 即n＝. 则 D′(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，C′(0,1,1)，于是＝(0,1,1)，＝(1,1,0)， ＝(1,1,0)，＝(0,1,1). 则 方法二　由方法一知＝(－1,0,1)， ＝(－1,0,1)，＝(0,1,1)，＝(0,1,1)， 所以＝，＝， 即AD′∥BC′，AB′∥DC′， 易知＝(1,1,0)，＝(0,1,1). 因为n1·＝(－1,1，－1)·(1,1,0)＝0，n1· ＝(－1,1，－1)·(0,1,1)＝0，所以n1也是平面BDC′的一个法向量，所以平面AB′D′∥平面BDC′. 则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，－1,0)，F(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， 所以＝(0,0,2)，＝(，－1,0)， ＝(，－1,0)，＝(0,0,2)， 所以∥，∥，则DD1∥CC1，DA∥CF， ∴存在实数x，y，使a＝x＋y，又＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)， ∴∴m＝－3. －b 即解得或 A.－ B.6 C.－6 D. ∴＝＝，∴λ＝6. ∴＝(－1,0,1). ∴·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0， ∴⊥n， ∴＝(－1,0,1). ∴·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0， ∴⊥n， ∵＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)， n·＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1) n·＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1) ∴n⊥，n⊥. 8.若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________________. 由题意，知 即 解得 所以a＝. 则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝. 则 又·n＝·(1，－1，－1)＝0，所以⊥n. 方法二　＝－＝－＝(－)＝，所以∥， 即可用与线性表示，故与，是共面向量， 方法三　＝－＝－＝ －＝(＋)－(＋)＝－. 所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)， ＝(2,0,0)， 则n1⊥，n1⊥， 即得 则n2⊥，n2⊥， 即得 对于A选项，＝(－1,2，－2)，＝(－2,2,2)，则·＝2＋4－4＝2≠0，A不正确； 对于B选项，易知平面ADD1A1的一个法向量为n ＝(0,1,0)，＝(－2,0,1)，因为n·＝0，则n⊥， 又因为BF⊄平面ADD1A1，因此BF∥平面ADD1A1，B正确； 对于C选项，＝(1,0,2)，则·＝－2＋2＝0，C正确； 对于D选项，＝(0,2，－2)，＝(0,1，－1)，故＝2，又因为GE，HF不重合，所以GE∥HF，D正确. 12.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则 M点的坐标为 A.(1,1,1) B. C. D. 方法一　由题意得C(0,0,0)，D(，0,0)，B(0，，0)，E(0,0,1)，A(，，0)， 则＝(－，0,1)，＝(，－，0)， 则即 令z＝，则x＝1，y＝1，所以n＝(1,1，)， 又＝(a－，a－，1)， 所以·n＝a－＋a－＋＝0， 解得a＝，即M. 在空间直角坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1). 由中点坐标公式，知点M的坐标为.  P(0,0，b)，B1(a,0,1)，E. 于是＝(a,0,1)，＝， ＝(0，－1，b). 方法一　设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)， 则得取x＝2， ∴n＝(2，－a，－2a)是平面B1AE的一个法向量. ∵DP∥平面B1AE，∴·n＝a－2ab＝0，解得b＝，即AP＝. ∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ， 即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ＝. ∴∴b＝λ＝，即AP＝. 如图所示，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 所以＝(1,2，－1)，＝(－1,1,0)， 则即 因为OG∥平面EFC，则n·＝0， 设G(0,0，a)，0≤a≤2，则＝(－1，－1，a)， 所以－1－1＋3a＝0，解得a＝， 所以G，即AG＝. 则A1(1,0,1)，E， 所以＝，＝(a－1，b－1,1)，＝(m－1，n－1,1). 所以 ＝(m－a，n－b,0)＝(n－b，n－b,0)， 解得 因为＝(－1，－1,0)， (2)||的最小值为_______. 由(1)可知b－a＝， ||＝ 当a＝时，||有最小值，最小值为. ＝＝ ＝， 则O，P， 方法一　因为＝， 所以∥BD1， 又＝，＝(－1,0，m)， 当m＝时，＝， 即∥，所以AP∥BQ，又OP∩AP＝P，BD1∩BQ＝B，所以平面PAO∥平面D1BQ， 方法二　＝，＝. 则有n1⊥，n1⊥， 因此 又因为＝(－1，－1,1)，＝(0，－1,1－m). 则有n2⊥，n2⊥， 因此 因此＝＝，解得m＝， 这时Q. $