第一章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间中点、直线、平面的向量表示，涵盖位置向量、直线方向向量、平面法向量等核心内容。通过问题链导入，从“如何用向量表示点”“直线的方向向量如何确定”等具体问题出发，结合提示与知识梳理搭建学习支架，引导学生逐步构建知识脉络。 其亮点在于以问题驱动和实例分析培养数学思维，如通过正方体、直角梯形模型求解方向向量和法向量，结合注意点强调概念本质。课堂小结梳理方法归纳，助力学生用数学语言表达空间关系，既发展学生空间观念与推理能力，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

第1课时 第一章 <<< 空间中点、直线和平面的向量表示 1.会用向量语言描述直线和平面. 2.理解直线的方向向量和平面的法向量. 3.会求直线的方向向量和平面的法向量.(重点) 学习目标 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面. 导 语 一、空间中点的向量和直线的向量表示 二、空间中平面的向量表示 课时对点练 随堂演练 内容索引 空间中点的向量和直线的向量表示 一 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 问题1 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l? 问题2 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的 唯一确定. 方向向量 知识梳理 (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 注 意 点 <<< 10 (1)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为__________________. 故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)； 例 1 (0,0,1) (0,1,1)(答案不唯一) 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1). 11 (2)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于 √ 12 ∵A(0，y,3)，B(－1,2，z)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)， 13 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. 理解直线方向向量的概念 反 思 感 悟 14 (1)(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是 A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(－3,0,1) 跟踪训练 1 √ √ 15 (2)已知直线l1的方向向量a＝(2，－3，5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若a∥b，则x，y的值分别是 A.6和－10 B.－6和10 C.－6和－10 D.6和10 √ 16 因为a∥b，a＝(2，－3,5)，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa， 即(－4，x，y)＝λ(2，－3,5)＝(2λ，－3λ，5λ)， 所以x，y的值分别是6和－10. 17 二 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别 为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理 可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得 ＝ . xa＋yb x y 知识梳理 3.空间中任意平面由空间一点及两个 向量唯一确定. 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为 平面α的 .给定一个点A和一个向量a，那么过点A， 且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a· ＝0}. 不共线 法向量 知识梳理 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行. 注 意 点 <<< 21 已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量. 例 2 22 设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)， 23 ∵x轴⊥平面SAB， ∴m＝(1,0,0)即为平面SAB的一个法向量. 注意：答案不唯一(所有与上述m，n共线的非零 向量均可作为相应平面的法向量). 24 (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z). 求平面法向量的方法与步骤 反 思 感 悟 (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为非零常数，便可得到平面的一个法向量. 25 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； 跟踪训练 2 26 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，E(1,0,2)， 设平面BDD1B1的法向量为 n＝(x1，y1，z1)， 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝0， ∴平面BDD1B1的一个法向量为n＝(1，－1,0).(答案不唯一) 27 (2)平面BDEF的一个法向量. 28 设平面BDEF的法向量为m＝(x2，y2，z2). 令x2＝2，则y2＝－2，z2＝－1， ∴平面BDEF的一个法向量为m＝(2，－2，－1).(答案不唯一) 29 1.知识清单： (1)空间中点、直线、平面的向量表示. (2)直线的方向向量. (3)平面的法向量. 2.方法归纳：待定系数法、赋值法. 3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.(多选)下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是 √ 由点P在直线上的充要条件可得，A，B符合题意. √ 1 2 3 4 2.已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是 A.－1 B.1或－1 C.－3 D.1 √ 1 2 3 4 3.若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是 A.(0，－3,1) B.(2,0,1) C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1) √ 由题意可得要求平面α的一个法向量，即求与n共线的一个向量.易知(2，－3,1)＝－(－2,3，－1). 1 2 3 4 4.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z) 是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是______________. 故x＋2y－3z＝0. x＋2y－3z＝0 课时对点练 四 1.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1在空间直角 坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方 向向量为 A.(1,1,0) B.(1,0,1) C.(0,0,1) D.(1,1,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.向量n＝(1，－1,1)为平面α的一个法向量，则下列向量中，也是平面α的一个法向量的是 A.(－1,0,1) B.(－1,1，－1) C.(－1，－1，－1) D.(1,1，－1) √ 非零向量(－1,1，－1)与n平行，故(－1,1，－1)也是平面α的一个法向量，而A，C，D中向量均不与向量n平行，所以不能作为平面α的一个法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知平面α内有两点M(－2,3,1)，N(2,4,1)，若平面α的一个法向量为n＝(6，a,6)，则a等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， ∴x＝y＝z， 又∵单位向量的模为1，故只有B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 同理可排除C，D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知空间中A(0,0,0)，B(2,1,0)，C(－1,2,1)三点，则下列说法正确的是 D.平面ABC的一个法向量是(1，－2,5) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)， 令y＝－2，则n＝(1，－2,5)，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝(2,1,1)与n2＝(0,2,1)为其法 向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为________________________. (写出一个方向向量的坐标) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若点P(a,1,1)在平面ABC内，则a＝________. －1 因为P(a,1,1)在平面ABC内， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2). (1)写出直线BC的一个方向向量； ∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)， 即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0. 化简得x－y＋z－2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝6，AA1＝3，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(6,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,3)，A1(6,0,3)， 因为DD1⊥平面ABCD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)平面ACC1A1. 设平面ACC1A1的法向量为m＝(x，y，z)， 令x＝1，则m＝(1,3,0)， 所以平面ACC1A1的一个法向量为m＝(1,3,0). (答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的 一个法向量的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面PAB的法向量为n＝(x，y,1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是 A.1 B.－1 C.3 D.－3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以x＝±4. 因为a⊥b， 所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝0， 所以当x＝4时，y＝－3； 当x＝－4时，y＝1. 所以x＋y＝1或x＋y＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B点坐标为(x，y，z)， 即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)， 所以x＝18，y＝17，z＝－17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2∶3∶(－4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a是平面α的法向量， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知在空间直角坐标系中，A(2,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,6)，点M(x，y,2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则 的最小值为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面ABC的法向量为m＝(a，b，c)， 令c＝1，得m＝(3,2,1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求平行四边形ABCD的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. 提示　如图1，a是直线l的方向向量，在直线 l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，由 向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要 条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. 如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta， ① 将＝a代入①式，得＝＋t. ② 1.设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a， 设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝ . (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋ . t t 因为DD1∥AA1，＝(0,0,1)， 因为BC1∥AD1，＝(0,1,1)， A.0 B.1 C. D.3 ∴＝(－1,2－y，z－3)， 故设＝km. ∴解得∴y－z＝0. ∵＝(1,1,3)，M，N在直线l上，∴向量(1,1,3)，(2,2,6)都可作为直线l的方向向量. 所以解得 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件 是存在实数x，y，使＝＋____＋ .我们把这个式子称为空 间平面ABC的向量表示式. 解得y＝－，z＝， ∴n＝， ∵D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)，∴＝(1,2,0)， ＝(－1,0,2)， 则令x＝1， 即平面SCD的一个法向量为n＝， (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (3)联立方程组并求解. ∵＝(2,2,0)，＝(0,0,2)， 则即 ∵＝(2,2,0)，＝(1,0,2)， ∴即 A.＝＋k B.＝＋k C.＝＋k D.＝＋k 由题意得a∥b，所以＝＝，解得x＝－1. 由题意得e⊥， 则·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0， 由题意知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，所以＝(1,1,1)，即直线DB1的一个方向向量是(1,1,1). A.－ B. C.－24 D.24 由题可得＝(4,1,0)，因为平面α的一个法向量为n＝(6，a,6)，所以n⊥， 所以n·＝(6，a,6)·(4,1,0)＝6×4＋a×1＋6×0＝0，解得a＝－24. A.(1,1,1) B. C. D. 又＝(0，－1,1)，＝(－1,1,0)， 则 A.(1，－1,1) B. C. D. 对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A； 对于选项B，＝， 则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确； A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是 C.在方向上的投影向量是(－2，－1,0) ＝(2,1,0)，＝(－1,2,1)，＝(－3,1,1)， 若与共线， 设＝λ，则 方程无解，故与不共线，A错误； 与同向的单位向量是＝＝，B正确； 在方向上的投影向量是·＝·＝(－2， －1,0)，C正确； 则 (答案不唯一) 设直线l的方向向量为d＝(x，y，z)，则所以 令y＝1，则z＝－2，x＝，所以直线l的一个方向向量为d＝. 设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)，又＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)， 所以取x＝1，得n＝(1,1,1)， 则n·＝a－1＋1＋1＝0，解得a＝－1. ∴＝(－2,2，－2)， 由题意得＝(x－2，y－2，z－2)， (2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式. ∵⊥平面α，AM⊂α， ∴⊥，则·＝0，∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0. 所以＝(0,0,3)， 所以为平面ABCD的一个法向量， 所以平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,3).(答案不唯一) 因为＝(－6,2,0)，＝(0,0,3)， 所以 A. B.(1，，1) C.(1,1,1) D.(2，－2,1) 因为＝(1,0，－2)，＝(－1,1,0)， 由即 解得所以n＝(2,2,1). 又＝n， 因此，平面PAB的一个法向量为. 因为|a|＝＝6， 即y＝－1－x， 13.从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为 A.(18,17，－17) B. (－14，－19,17) C. D. 则＝λa(λ>0)， 因为||＝34， 即＝34，解得λ＝2， 14.若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝____________. 由已知得，＝，＝， ∴a·＝0，a·＝0， 即解得 ∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4).  ＋ 依题意，＝(－2,3,0)，＝(0，－3,6)，＝(x－2，y,2)， 则 依题意，m·＝0，则3x＋2y＝4， 则＋＝(3x＋2y)＝≥＝， 当且仅当x＝4－，y＝2－4时取等号. 16.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1). (1)求证：是平面ABCD的法向量； ·＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝0， 所以是平面ABCD的法向量. 因为·＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝0， 因为||＝＝， ||＝＝2， ·＝(2，－1，－4)·(4,2,0)＝6， 所以cos〈，〉＝＝， 故sin〈，〉＝， S▱ABCD＝||·||sin〈，〉＝8. $