第一章 1.3.1 空间直角坐标系-1.3.2 空间向量运算的坐标表示（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件系统涵盖空间直角坐标系、空间向量坐标运算及平行垂直、夹角距离计算等内容，通过平面直角坐标系类比引入空间坐标系，以问题引导构建学习支架，帮助学生建立从平面到空间的知识联系，夯实基础概念与运算方法。 其亮点在于结合正四棱锥、三棱柱等几何体实例，通过表格归纳坐标特点、反思总结建系原则，培养学生的空间观念和推理能力。分层练习与规律总结助力学生巩固，教师使用可提升教学效率，促进学生用数学语言表达空间关系。

第一章 <<< 1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的 坐标表示 1.了解空间直角坐标系，能写出所给定点、向量的坐标. 2.掌握空间向量运算的坐标表示.(重点) 3.会用空间向量的坐标解决一些简单的几何问题.(难点) 学习目标 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题. 导 语 一、空间直角坐标系及点的坐标 二、空间向量的坐标及坐标运算 课时对点练 三、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 随堂演练 内容索引 四、夹角和距离的计算 空间直角坐标系及点的坐标 一 提示　在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系. 利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？ 问题1 1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个 . 2.相关概念： 叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过____________ 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分. x轴、y轴、z轴 空间直角坐标系Oxyz O 每两条坐标轴 Oxy Oyz Ozx 知识梳理 (x，y，z) 横坐标 纵坐标 竖坐标 知识梳理 4.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 知识梳理 (1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (3)让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系. 注 意 点 <<< 10 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 例 1 11 ∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所 在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直 线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 答案不唯一. 12 试写出例1中点A分别关于Ozx平面、y轴、坐标原点的对称点. 点A关于Ozx平面的对称点为(2,2,0)， 点A关于y轴的对称点为(－2，－2,0)， 点A关于坐标原点的对称点为(－2,2,0). 延伸探究 13 (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. ③一般用右手直角坐标系. 反 思 感 悟 14 (2)求某点M的坐标的方法 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z). (3)空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则. 反 思 感 悟 15 　已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标. 跟踪训练 1 16 如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. ∵三棱柱各棱长均为1， ∵A，B，C均在坐标轴上， ∵点A1与C1在Oyz平面内， 17 ∵点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1＝1， 18 二 空间向量的坐标及坐标运算 1.向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作 ＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝ . (x，y，z) 知识梳理 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b _______________________ 减法 a－b _______________________ 数乘 λa ______________ 数量积 a·b ________________ 2.设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 知识梳理 3.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝ .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标 起点坐标. (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 减去 知识梳理 (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致. (2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)· (a－b)＝a2－b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量. 注 意 点 <<< 23 例 2 24 设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以点B的坐标为(6，－4,5). 25 所以点C的坐标为(9，－6,10). 26 27 28 设P(x2，y2，z2)， 29 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定(终点坐标减去起点坐标). (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算. (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标. 空间向量坐标运算的规律 反 思 感 悟 30 (1)如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为(4,3,2)，则C1的坐标是 A.(0,3,2) B.(0,4,2) C.(4,0,2) D.(2,3,4) 跟踪训练 2 √ ∴B1的坐标为(4,3,2)， ∴BC＝4，DC＝3，CC1＝2， ∴C1的坐标为(0,3,2). 31 4 32 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 三 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔ ， ，________ (λ∈R)； (2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔ . a1＝λb1 a2＝λb2 a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 知识梳理 (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0). (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔ 注 意 点 <<< 35 所以2a－b＝－2c， 所以(2a－b)∥c. 例 3 36 (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值. 由(1)知ka＋b＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k＋2，k，－4). 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 37 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明. 反 思 感 悟 38 已知a＝(x,1，－1)，b＝(－2，y,1)，c＝(2，－3，z)，若a∥b，b⊥c，求a，b，c. 跟踪训练 3 因为a∥b，所以a＝λb，则(x,1，－1)＝λ(－2，y,1)， 所以a＝(2,1，－1)，b＝(－2，－1,1)， 又b⊥c，所以b·c＝－4＋3＋z＝0， 解得z＝1，所以c＝(2，－3,1). 所以a＝(2,1，－1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(2，－3,1). 39 四 夹角和距离的计算 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 问题2 提示　如图，建立空间直角坐标系Oxyz， 这就是空间两点间的距离公式 1.空间两点间的距离公式： 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)， 知识梳理 (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆. 注 意 点 <<< 44 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. (1)求BM，BN的长； 例 4 45 以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. 46 (2)求△BMN的面积. 47 48 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标. (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算. (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题. 反 思 感 悟 49 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝ ，H为C1G的中点. (1)求FH的长； 跟踪训练 4 50 如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点， 51 (2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值. 52 53 1.知识清单： (1)空间直角坐标系及空间点的坐标. (2)空间向量的坐标表示及坐标运算. (3)空间向量的坐标表示及应用. 2.方法归纳：数形结合、类比联想. 3.常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念；求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况. 课堂小结 随堂演练 五 1.在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,3)，B(－3,0,1)，则线段AB的中点坐标是 A.(－1，－1,2) B.(1,1，－2) C.(2,2，－4) D.(－2，－2,4) 1 2 3 4 设线段AB的中点坐标为(x，y，z)， √ 1 2 3 4 2.已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若 ，则点B的坐标应为 A.(－1,3，－3) B.(9,1,1) C.(1，－3,3) D.(－9，－1，－1) √ 1 2 3 4 3.已知点P(2,3，－1)关于Oxy平面的对称点为P1，点P1关于Oyz平面的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为___________. 点P(2,3，－1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于Oyz平面的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标为(2，－3,1). (2，－3,1) 1 2 3 4 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)下列命题中正确的是 A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c) D.在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a,0，c) √ 空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)，故A错误，B，C，D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2,4)关于y轴对称的点为 A.(－1，－2，－4) B.(－1，－2,4) C.(1,2，－4) D.(1,2,4) 关于y 轴对称，则y的值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是 依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0， 所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0， 而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于 ∵a－b＋2c＝(9,3,0)， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知空间向量m＝(－1,2,5)，n＝(2，－4，x)，则下列选项中正确的是 A.当m⊥n时，x＝2 B.当m∥n时，x＝－10 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为m⊥n，m＝(－1,2,5)，n＝(2，－4，x)，所以m·n＝(－1)×2＋2×(－4)＋5x＝－10＋5x＝0，解得x＝2，故A正确； 因为m＋n＝(－1＋2,2－4,5＋x)＝(1，－2,5＋x)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则 △ABC的重心G的坐标是___________. 由题意知A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知向量a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，若a与b的夹角为120°，则实数k的值为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M，N分别是B1C1，A1A的中点. (1)求M，N的距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为 √ 12.(多选)已知空间直角坐标系中，点A的坐标为(－3，－1,4)，坐标原点为O，且 ＝(x，y，z)方向相反，则 A.x＋y＋z＝0 B.x＝3y C.x＋z＝0 D.4y＋z＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意， ＝(－3λ，－λ，4λ)，λ<0，则x＝－3λ，y＝－λ，z＝4λ，则x＋y＋z＝0，即选项A正确； x＝3y，即选项B正确； x＋z＝λ<0，即选项C错误； 4y＋z＝－4λ＋4λ＝0，即选项D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0， 若a与b的夹角为180°， 则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知向量a＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2).在直线AB上，存在一点E，使得 ⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为 _______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 又点N在棱CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若异面直线AB1和MN所成的角等于45°， 所以在棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°. 3.在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对 空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由 向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的 有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组 ，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的 ，y叫做点A的 ，z叫做点A的 . ∴正四棱锥的高为2. 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2，2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0，2). ∴A1，C1. ∴OA＝OC＝O1A1＝O1C1＝，OB＝. ∴A，B，C. ∴B1，即该三棱锥各顶点的坐标为A，B，C，A1，B1，C1. 在△ABC中，A(2，－5,3)，＝(4,1,2)，＝(3，－2,5). ①求顶点B，C的坐标； 所以解得 所以＝(x－2，y＋5，z－3)， ＝(x1－x，y1－y，z1－z). 因为＝(4,1,2)， 因为＝(3，－2,5)， 所以解得 ②求·； 因为＝(－7,1，－7)， 所以·＝－21－2－35＝－58. ③若点P在AC上，且＝，求点P的坐标. 故点P的坐标为. 则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，＝(9－x2，－6－y2,10－z2)， 于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2,10－z2)， 所以解得 ∵的坐标为(4,3,2)，D为坐标原点， (1,0，) (2)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝____________，b＝__________，a·b＝______. a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)， ∴a＝(1，，)，b＝(1,0，)， ∴a·b＝1＋0＋3＝4. (1，，) ＝＝. 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设＝a，＝b. (1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？ 因为a＝＝(1,1,0)， b＝＝(－1,0,2)， 所以2a－b＝(3,2，－2)， 又c＝， 解得k＝2或－. 即解得 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)， 于是||＝＝. 所以P1P2＝||＝， 2.空间向量的夹角公式： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝ ＝ . P1P2＝||＝ . (2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝. ∴||＝＝，||＝＝. 故BM的长为，BN的长为. 则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N. ∵＝(1，－1,1)，＝， S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN＝×××＝. 即△BMN的面积为. ∵cos∠MBN＝cos〈，〉 ＝＝＝， ∴sin∠MBN＝＝， CD 则有F，H， ∴＝， ∴||＝＝. ∴FH的长为. ∴·＝×0＋×＋×(－1)＝， ∴|cos〈，〉|＝＝. 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. 由(1)知E，F， ∴＝，∴||＝. 又C1(0,1,1)，G，∴＝，∴||＝. 所以x＝＝－1，y＝＝－1，z＝＝2，故线段AB的中点坐标是(－1，－1,2). ＝ ＝＝－，＝＋＝(9,1,1). 4.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为_______. ∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)， ∴||＝3，||＝，·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos〈，〉＝＝， 又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝. 3.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于 A. B. C. D. ＝＋＝k－ j＝. A.1 B. C. D. 所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝. A.3 B.2 C. D.5 ∴|a－b＋2c|＝＝3. C.当|m＋n|＝时，x＝－4 D.当x＝时，cos〈m，n〉＝ 因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m＝λn，则(－1,2,5)＝λ(2，－4，x)＝(2λ，－4λ，λx)，即解得故B正确； 所以|m＋n|＝＝＝，解得x＝－5，故C错误； 因为x＝，则m＝(－1,2,5)，n＝(2，－4，)，所以cos〈m，n〉＝＝＝，故D正确. 由重心坐标公式得点G的坐标为. － 由题意知，cos 120°＝＝＝－，即＝，k2＝39，显然k<0，所以k＝－. 9.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标. 建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i，＝j，＝k，则＝0i＋j＋0k＝(0,1,0)，＝－＝k＋－＝i－j＋k＝(1，－1,1). ＝－＝＋－＝i－j＋2k＝(1，－1,2). 依题意得N(1,0,1)，M， ∴＝， ∴||＝＝. ∴M，N的距离为. (2)求cos〈，〉的值. ∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)， ·＝3，||＝，||＝， ∴cos〈，〉＝＝. A. B.3 C. D. 空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为＝. 与 ＝λ A. B. C. D. 因为点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，所以＝(1＋t,2t－1,0)， 所以||2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋0＝5t2－2t＋2， 易知当t＝时，||2取得最小值， 即A，B两点的距离的最小值为. 14.已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为______________________. ∪ 由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－， 即3t－<0， 所以t<. 即(5,3,1)＝λ， 所以所以t＝－， 故t的取值范围是∪. 设＝λ，因为A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)，所以＝(1，－1，－2)，＝(λ，－λ，－2λ)，＝(3,1，－4)，＝－＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)， 因为⊥a， 解得λ＝，又A(－3，－1,4)，＝， 所以点E的坐标为. 由题意知A(0,0,0)，B1(，1,2)，C(0,2,0)，B(，1,0)，  M. 则＝(，1,2)，＝， 所以||＝2，||＝，·＝2m－1. 则cos 45°＝|cos 〈，〉| ＝＝. 即＝， 解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾. $