1.3.1～2 空间直角坐标系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3.1~2 空间直角坐标系及其运算 坐标系三要素 平面直角 坐标系 空间直角 坐标系 坐标原点 单位长度 三条互相垂直的坐标轴 坐标原点 互相垂直的两条坐标轴 轴和 轴 单位长度 原点 坐标轴 单位长度 大家先回忆一下，平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间中应该有哪些要素？它们需要满足什么条件？ 平面直角坐标系包含三要素，分别是坐标原点，互相垂直的两条坐标轴 轴和 轴，以及单位长度. 类比到空间中，想一想，哪些不变？哪些有变化？对，同样也有坐标原点和单位长度，但是由平面到空间，由二维到三维，需要几条坐标轴呢？它们满足什么位置关系？是的，现在需要三条坐标轴，并且两两互相垂直. 2 在空间选定一点O和一个单位正交基底 ,以点O为原点，分别以 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyz 点O叫做原点，向量 都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面， Oyz平面， Oxz平面。 空间直角坐标系 x y z O j i k 平面直角坐标系 空间直角坐标系 在平面内选定一点 和一个单位正交基底 ， . 以 为原点，分别以 ， 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立两条数轴： 轴、 轴. 叫做 ， ， ， 在空间选定一点 和三个基向量， 以 为原点， ， ， 它们是两两互相垂直的单位向量. 分别以 的方向为正方向， 以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、 轴、 轴. 4 画空间直 角坐标系 O i j x y 斜二测画法 (3)建 系：建立右手直角坐标系 . (2)画 轴：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°. (1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 6 问题2：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？ 追问1：空间中任意一点 与哪个向量的坐标相同？ 7 由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 =x+y+z. 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定. x叫做点A的横坐标, y叫做点A的纵坐标, z叫做点A的竖坐标. 点A （x，y，z） 追问2：在空间直角坐标系中如何定义 的坐标呢？ 我们在空间直角坐标系 中可以作 . 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使 有序实数组 ，， 叫做 在空间直角坐标系 中的坐标，上式可简记为 ， ， 追问3：在空间直角坐标系中如何定义 的坐标呢？ 这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示 9 思路小结：目前，我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点 或任意一个向量 的坐标呢？ 点 的坐标 给定的向量 的坐标 的坐标     应用空间向量基本定理确定坐标 根据几何直观确定 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标 10 例1 如图示, 在长方体OABC-D'A'B'C'中, OA=3, OC=4, OD'=2, 以 为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1) 写出D', C, A', B'四点的坐标; (2) 写出向量 的坐标. A C O B C′ D′ B′ A′ 追问1：题目条件中的 ， ， 为什么是单位正交基底？ 追问2：怎么求解空间给定向量的坐标？ 追问3：观察几何体，有没有过原点的向量与所求向量相等？ 追问4：对于 和 ，没有棱所在的向量与它们相等，那又该怎么办呢？ 建系 例1 如图示, 在长方体OABC-D'A'B'C'中, OA=3, OC=4, OD'=2, 以 为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1) 写出D', C, A', B'四点的坐标; (2) 写出向量 的坐标. A C O B C′ D′ B′ A′ Ⅱ Ⅶ Ⅴ Ⅵ Ⅰ Ⅲ Ⅳ Ⅷ • O 空间直角坐标系的划分 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 一般地，对于给定一点P(x，y，z)，则点P： (1)关于x 轴对称的点为__________; (2)关于y 轴对称的点为__________; (3)关于z 轴对称的点为__________; (4)关于平面Oxy对称的点为__________; (5)关于平面Oxz对称的点为__________; (6)关于平面Oyz对称的点为__________; (7)关于原点对称的点为_____________. 教材P18 练习2(P22.习题1.3 2)————求对称点 • O 空间中点坐标公式和重心坐标公式 在空间直角坐标系中，点 和点 的中点坐标为: 在空间直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 ，则△ABC的重心坐标为: 平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 设 你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？ ? 问题1 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 设 你能类比平面向量运算的坐标表示，猜想空间向量运算的坐标表示吗？ 17 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 设 为空间的一个单位正交基底， 则 所以 去括号，利用向量数量积运算的分配律，将式子展开 18 平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 设 设 设 设 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致. 类似地，我们还可以得到：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 19 平面向量的特殊位置关系 空间向量的特殊位置关系 设 设 当 时， 当 时， 能否表示为 ？ ? 问题2 平面向量的坐标运算可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离等度量问题.空间向量的坐标运算是否仍然可以帮助我们解决这些问题？ 能否表示为？ 20 当 时， 设 能否表示为 ？ ? 至少一个不为0. 例如：当 与平面 平行时， .此时 无意义. 因此，只有 均不为0时， 特殊地， 与任意向量平行. 当 时， 显然，空间向量平行不等价于 ， 21 平面向量的特殊位置关系 空间向量的特殊位置关系 设 设 当 时， 当 时， 面我们看垂直的情况，我们已经知道，两向量垂直的充要条件是数量积为0， 本节课我们从坐标运算的角度得到了空间向量数量积运算的坐标表示 22 设 则 平面向量的长度和夹角 空间向量的长度和夹角 设 设 设 则 你能证明空间两点间的距离公式吗？ ? 能否用空间向量的坐标表示长度和夹角？ ? 同学们能利用空间向量运算的坐标表示证明空间两点间的距离公式吗？ 23 如图，建立空间直角坐标系 ， 你能证明空间两点间的距离公式吗？ ? 设 ， 是空间中任意两点， 则 于是 所以 这就是空间两点间的距离公式 首先，建立空间直角坐标系， 24 为点 到原点 的距离. 一般到特殊 设 则 平面向量的长度和夹角 空间向量的长度和夹角 设 设 设 则 因此，空间向量的模可以理解为点到原点的距离，这是空间两点间距离公式的特殊情况. 至此，类比平面向量运算的坐标表示，我们得到了空间向量运算的坐标表示.将空间向量的运算与向量的坐标结合后，可以使立体几何中的很多问题变得简单. 25 问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是 的中点. (1)求证 ; 如何用向量刻画两条直线垂直？ ? 判断垂直的依据 如何建立空间直角坐标系？ ? 空间直角坐标系 接下来，我们通过具体例题，加深对所学知识的理解．问题3如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，,分别是 , 的中点. 第一问，求证； 26 (1)求证 ; 建立如图所示的空间直角坐标系 则 以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴， 所以 又 所以 所以 所以 即 建立如图所示的空间直角坐标系OXyz 27 问题3 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是 的中点. (2)求 与 所成角的余弦值. 向量的数量积 分析： 向量夹角的余弦值 直线夹角的余弦值 两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？ ? 直线夹角的范围 向量夹角的范围 当 与 所成的角为锐角或直角时： 直线 与 所成的角和向量的夹角相等. 当 与 所成的角为钝角时： 直线 与 所成的角为向量夹角的补角. 我们看第2问，求与所成角的余弦值. 28 (2)求 与 所成角的余弦值. 解：因为 所以 所以 所以 所以 与 所成角的余弦值是 我们具体来计算一下，首先根据条件写出点A，点C，点E，点D1的坐标 29 方法提炼 空间直角坐标系 写出点坐标 向量运算 特殊位置关系 几何度量问题 向量坐标 关注向量的夹角与直线的夹角的区别 平行 垂直 长度 夹角 方法提炼：在空间直角坐标系中，先写出相关点、相关向量的坐标，把几何问题代数化，然后利用向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系与距离、角度等度量问题，其中需要关注空间两条直线所成角与对应向量夹角的取值范围是不同的.需要注意的是，很多问题往往需要我们先观察空间几何体的结构特征，然后根据空间几何体中相关线段的垂直关系，发现两两垂直的线段，在此基础上，建立空间直角坐标系，最后应用向量的线性运算和数量积运算解决几何问题. 30 问题：如何求空间点或向量的坐标呢？ 31 空间点或向量的坐标 将点或向量用单位正交基底 ， ， 来表示，它们的系数就是点或向量的坐标. 空间向量基本定理 确定点对应的向量在各个轴上的投影向量，根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标. 几何直观 1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？ （1）空间向量运算的坐标表示: 设 相应坐标的和（差）. 实数 乘原来向量的相应坐标. 对应坐标的乘积的和. 1. 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 32 位置关系 当 时， 1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 （2）空间向量运算坐标表示的应用: 设 问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？ 得到了空间向量平行和垂直的充要条件的坐标表示， 33 设 则 1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 （2）空间向量运算坐标表示的应用: 设 度量问题 问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？ 同时，我们证明了空间向量长度和夹角的公式. 34 2 关注空间向量与立体几何知识间的联系 问题4 回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？ 2.关注空间向量与立体几何知识间的联系 一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲”， 35 化为向量问题 建系，用空间向量表示立体图形中点、直线等元素. 进行向量运算 进行空间向量的运算，研究特殊的位置关系与几何度量. 回到图形问题 把运算结果“翻译”成相应的几何结论. 课后作业 1. 求： （1） ； （2） ； （3） . 2. 且 求 的值. 3.如图，在棱长为1的正方体 中， 为 的中点， 分别在棱 上， （1）求 的长； （2）求 与 所成角的余弦值. 通过本节课的探究学习，我们了解到类比，联想在数学发展中有着重要的推动作用，希望同学们在未来的数学学习中大胆发现，勇于探索，严谨推理，为数学的发展贡献自己的一份力量.   在课程的最后，再给大家布置三个作业. 36 课后作业 1. 在空间直角坐标系中标出下列各点： 2. 在长方体 中， ， ， ， 与 相交于点 ，建立如图所示的空间直角坐标系 . （1）写出点 的坐标； （2）写出向量 ， 的坐标. ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 作业 1.教材P18 1—4； 2.预习教材及练习册1.3.2节. 38 $$