第一章 1.1.2 空间向量的数量积运算（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖夹角定义、数量积的概念性质运算律、投影及应用。通过类比平面向量，将空间向量平移转化为平面向量，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是运用类比迁移构建知识网络，结合空间四边形数量积计算等实例，培养学生的数学思维与数学语言表达能力。课堂小结梳理知识清单和方法，帮助学生系统掌握，教师可高效开展教学提升学生应用能力。

1.1.2 第一章 <<< 空间向量的数量积运算 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点). 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离(难点). 学习目标 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 导 语 一、空间向量的数量积运算 二、空间向量数量积的应用 课时对点练 三、垂直问题 随堂演练 内容索引 空间向量的数量积运算 一 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 _______________ 向量垂直 如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 1.空间向量的夹角 ∠AOB 0≤〈a，b〉≤π 注意：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉. 知识梳理 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝_______，λ∈R 交换律 a·b＝_____ 分配律 (a＋b)·c＝__________ 2.(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝ .零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝ . (2)运算律 |a||b|·cos〈a，b〉 0 λ(a·b) b·a a·c＋b·c 知识梳理 3.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与 向量b共线的向量c，c＝ ，向量c称为向量a在向量b上 的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②). 知识梳理 知识梳理 (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定. ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. 注 意 点 <<< 10 (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立. 注 意 点 <<< 11 √ 例 1 12 (2)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： 13 14 15 16 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确. 反 思 感 悟 17 跟踪训练 1 √ 18 －1 19 二 空间向量数量积的应用 提示　(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； 类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质. 问题 (4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立). 　(1)已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则|a－b＋2c|等于 √ 例 2 22 (2)如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离. 23 24 (1)将两点确定的线段用向量表示； (2)用其他向量表示此向量； 用数量积求两点间距离的步骤 反 思 感 悟 25 已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为 跟踪训练 2 √ 26 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 27 垂直问题 三 (1)若非零向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则 A.m∥n B.m⊥n C.m不平行于n，m也不垂直于n D.以上三种情况都有可能 √ m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，所以m⊥n. 例 3 29 (2)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB. 30 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a， 且p，q，r三向量两两夹角均为60°. 31 对于非零空间向量a，b，通常可利用“a⊥b⇔ a·b＝0”这一关系完成向量垂直与数量积的转化. 反 思 感 悟 32 跟踪训练 3 √ 33 34 35 1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影. (2)空间向量数量积的性质及运算律. (3)空间向量的垂直. 2.方法归纳：化归转化. 3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是 √ √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 3.已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直.若m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n的值为 A.7 B.－20 C.28 D.11 √ 因为向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直，所以|i|＝|j|＝|k|＝1且i·j＝j·k＝i·k＝0.因为m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，所以m·n＝(8j＋3k)·(－i＋5j－4k)＝40|j|2－12|k|2＝40－12＝28. 1 2 3 4 60° 1 1 2 3 4 方法一　连接A1D，PD(图略)， 即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°， 1 2 3 4 方法二　根据向量的线性运算可得 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则 的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝ ，则两直线的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积 等于a2的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在空间四边形ABCD中，因为∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝______. |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242， ∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22. 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝_____. 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝ |b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|， 60° 所以〈a，b〉＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝|c|2－|a|2 ＝22－22＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，正四棱锥P－ABCD的各棱长都为a. (1)用向量法证明BD⊥PC； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角为 A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设a与b的夹角为θ， 由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c， 两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝c2， 因为|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝______. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则 ＝______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵OA，OB，OC两两垂直， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动(含端点)，则 的取值范围是______. [0,1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正 四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上 底面上其余的八个点，则 (i＝1,2，…，8) 的不同值的个数为 A.8 B.4 C.2 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵AB⊥平面BP2P8P6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD且为锐角. (1)求证：CC1⊥BD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意有|a|＝|b|， ＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0， ∴CC1⊥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥DC1，A1C⊥BD. ＝(a＋b＋c)·(a－c) ＝|a|2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－|c|2 ＝|a|2－|c|2＋|b||a|cos θ－|b||c|cos θ ＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cos θ)＝0， 得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1. 同理可证，当|a|＝|b|时，A1C⊥BD. |a|cos〈a，b〉· (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量 称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向 量a所在直线与平面β所成的角. 　(1)在正四面体ABCD中，与的夹角等于 A.30° B.60° C.150° D.120°111 〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. ①·； ·＝· ＝||·||·cos〈，〉 ＝×1×1·cos 60°＝. ②·； ·＝·＝||·||·cos〈，〉 ＝×1×1·cos 0°＝， 所以·＝. ③·； ·＝·＝||·||·cos〈，〉 ＝×1×1·cos 120°＝－， 所以·＝－. ④·. ·＝(＋)·(＋) ＝[·(－)＋·(－)＋·＋·] ＝[－·－·＋(－)·＋·] ＝×＝－. (1)已知空间向量|a|＝，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为 A.－b B.b C.b D.－b a在b上的投影向量为·＝·＝－·＝－b. (2)若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－c，则·＝_______. 由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos ＝， 则·＝2(a－b)·(b－c)＝2(a·b－a·c－b2＋b·c) ＝2＝－1. (2)a·a＝|a|2或|a|＝＝； (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； A.5 B.6 C. D. 由题意，得a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝＝ ＝＝. ＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)] ＝－＋＋， 所以2＝2＋2＋2＋2××·＋2×× ·＋2××·＝2. 所以||＝，即E，F间的距离为. (3)用|a|＝求解. A.6 B. C.3 D. 设＝a，＝b，＝c， 因此a·b＝b·c＝c·a＝. 由＝a＋b＋c， 得||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以||＝. ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0， 所以⊥，即MN⊥AB. 设＝p，＝q，＝r. ＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)， 所以·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2) (1)若空间向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为 A.0 B. C. D. ∵a·c＝a·＝a·a－a·b＝a·a－a·a＝0，∴a⊥c，向量a与c的夹角为. (2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.求证：⊥. ＝＋＝－＋， ＝＋＝－(＋)， 所以·＝－(·＋· －2－·＋·＋)＝－×(0＋0－1＋1)＝0， 所以⊥. A.与 B.与 C.与 D.与 2.已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈， 〉的值为 A. B. C.－ D.0 ＝||||－||||＝0， 所以⊥. 所以cos〈，〉＝0. ·＝·(－)＝·－· ＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________. 即与所成角的大小为60°， 因此·＝××cos 60°＝1. 则∠PA1D就是与所成的角， 在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝， 由题意可得PA1＝B1C＝， 则××cos〈，〉＝1， 从而〈，〉＝60°. ·＝(＋)·＝2＝1. 与 由题意，可得＝， 所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. A.12 B.8＋ C.4 D.13 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos 120°＝2×4－2×5×＝13. － 设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. A.－1 B.－1 C. D.－ 如图，因为＝－＋， 所以||2＝|－＋|2 ＝||2＋||2＋||2－·－2·＋2· ＝1＋1＋1－2×1×1×cos 45°－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°＝3－， 所以||＝. A.2· B.2· C.2· D.2· 对于A,2·＝2a2cos 120°＝－a2，A错误； 对于B,2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，B正确； 对于C,2·＝·＝a2，C正确； 对于D,2·＝·＝－·＝－a2，D错误. 6.在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，则在上的投影向量为 A. B. C. D. 所以·＝·＝0， 又＝＋＋， 则·＝(＋＋)·＝||2， 所以在上的投影向量为 ·＝·＝. 所以cos〈a，b〉＝＝＝， (1)·； 如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. ·＝·(＋) ＝· ＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·； ·＝(＋)·(＋) ＝·(＋) ＝·(a＋c) (3)·. ·＝(＋)·(＋) ＝· ＝· ＝(－a＋b＋c)· ＝－|a|2＋|b|2＝2. ∵＝＋， ∴·＝(B＋)·＝·＋· ＝||||cos 60°＋||||cos 120° ＝a2－a2＝0. ∴⊥，∴BD⊥PC. ∵＋＝＋＋， ∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝a2＋ a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴|＋|＝a. (2)求|＋|的值. 所以4＋2×2×3cos θ＋9＝16，解得cos θ＝， 即A，B，C选项均不符合cos θ＝. ||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝49， 所以||＝7. ·(＋＋) ∴·＝·＝·＝0， 且＝， 故·(＋＋)＝(＋＋)2 ＝(||2＋||2＋||2)＝×(1＋4＋9)＝. · 依题意，设＝λ，其中λ∈[0,1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝1＋λ×1××＝1－λ∈[0,1].因此·的取值范围是[0,1].  · ·＝·(＋)＝＋·， ∴⊥， ∴·＝0， ∴·＝||2＝1， 则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为1. 设＝a，＝b，＝c. ＝－＝a－b. 设，，两两夹角均为θ， 于是·＝c·(a－b)＝c·a－c·b 由·＝(＋)·(－) ∴当＝1时，A1C⊥平面C1BD. $