1.1.2 空间向量的数量积运算 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

教学设计 课题 1.1.2空间向量数量积的运算 课型 新授课 课时 2 学习目标 1.结合立体几何与空间向量的特征,知道投影向量的概念. 2.类比平面向量,能进行空间向量的数量积运算. 3.类比平面向量并借助空间图形,知道空间向量的有关运算律,能运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题. 学习重点 两个向量的数量积的计算方法及其应用. 学习难点 将立体几何问题转化为向量的计算问题. 学情分析 学生在高一上学期已经学过平面向量的数量积运算，空间向量的数量积运算，是继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归 纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础. 高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅. 核心知识 两个向量的数量积的计算方法及其应用. 教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备 情景引入 回忆平面向量的数量积相关内容 研探新知 1.空间向量的夹角 如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则角AOB叫作向量a,b的　　　　,记作　　　　.  2.夹角的取值范围:a与b的夹角的取值范围是　　　　,其中当<a,b>=0时,a与b方向　　　　;当<a,b>=π时,a与b方向　　　;当<a,b>=时,a与b　　　　.反之,若a∥b,则<a,b>=0或π;若a⊥b,则<a,b>=.  3.数量积的相关概念及性质 已知两个非零向量a,b,则　　　　　　　　叫作a,b的数量积,记作a·b,即a·b=　　　　　　　　.  特别地,零向量与任意向量的数量积为0. 4.空间向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b=　　　　.   (2)a2=a·a=|a||a|cos<a,a>=　　　　.   (3)cos<a,b>=　　　　　　　　.   5.投影向量的概念 如下表格总结 概念 图形表示 符号表示 向量a在向量b上的投影向量 c 向量a在直线l上的投影向量 向量a在平面β上的投影向量 注:向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 6.空间向量数量积的运算律 (1)(λa)·b=　　　　,λ∈R.   (2)a·b=　　　　(交换律).   (3)(a+b)·c=　　　　(分配律).  例题及练习 例1 如图所示,在棱长为1的正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求: 练习 在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E，F分别是D′D，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为C′G的中点. （1）求证：EF⊥B′C； （2）求EF与C′G所成角的余弦值； （3）求FH的长． 课堂小结 1．知识收获：空间向量的夹角的定义、表示方法、取值范围；两个空间向量的数量积运算和运算法则；利用空间向量的数量积证明共线和垂直以及求夹角和距离． 2．方法收获：类比方法、数形结合方法、转化变形方法． 3．思维收获：类比思想、转化思想． 板书设计 1. 空间向量的夹角 2. 空间向量的数量积 3. 空间向量的投影向量 4. 例题及练习 5. 课堂小结 6. 作业 作业设计 课本第8页 1-4题 教学反思 1.学生在理解空间向量数量积概念时，可能对其几何意义（与向量长度、夹角的关系）理解不深入，教学中可通过具体图形、实例，如力做功模型（力与位移的数量积表示功） ，帮助学生理解. 2.对于空间向量数量积运算律，学生可能受实数乘法运算律影响，错误类比结合律，教学中通过反例说明结合律不成立，加深学生印象. 3.在利用空间向量数量积解决立体几何问题时，学生难以准确选择合适向量表示几何元素，建立向量关系与几何关系的联系。教学中通过典型例题示范，引导学生分析几何图形结构，确定关键向量，逐步掌握解题方法. 1. 　　 ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $