第3章 圆锥曲线与方程 章末复习课（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

一、圆锥曲线的定义及标准方程

1．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：动点M的集合 {M||MF1|＋|MF2|＝2a}，其中|F1F2|＝2c，a，c为正常数，且a>c.

(2)双曲线：动点M的集合 {M|||MF1|－|MF2||＝2a}，其中|F1F2|＝2c，a，c为正常数，且a<c.

(3)抛物线：动点M的集合{M||MF|＝d}，其中定点F是定直线l外一点，d为点M到定直线l的距离．

2．求圆锥曲线方程的常用方法

(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)待定系数法．

3．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．

例1　(1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为___________________________________________．

答案　x2－＝1

解析　由题意得解得

则b2＝c2－a2＝3，

因此双曲线方程为x2－＝1.

(2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程．

解　由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x，2y)．

因为点P在圆x2＋y2＝4上，

所以x2＋(2y)2＝4，

所以曲线C的方程为＋y2＝1.

反思感悟　(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．

(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．

(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离和到准线的距离进行相互转化，结合几何图形，利用几何意义去解决．

跟踪训练1　(1)已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，椭圆C的焦距为8，则椭圆C的标准方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案　D

解析　椭圆C的焦距为8，则|F1F2|＝2c＝8，

由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，

得|PF1||PF2|＝12，

即|PF1||PF2|＝24，

又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝64，

所以(|PF1|＋|PF2|)2

＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝112，

即4a2＝112，a2＝28，

又c＝4，所以b2＝a2－c2＝12，

则椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)已知点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．

 

解　抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.

如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，

所以|PM|＋|PF|的最小值是4.

此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是.

二、圆锥曲线的几何性质

1．本类问题主要有两种考查类型：

(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点．

(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．

2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．

例2　(1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，