第3章 培优课 圆锥曲线的离心率（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦圆锥曲线离心率这一核心知识点，系统梳理定义法、几何法、齐次方程法及取值范围求解四大方法，通过例题解析、反思感悟与跟踪训练搭建学习支架，帮助学生从基础原理到综合应用逐步深化理解。 资料以“问题情境—逻辑推理—模型构建”为主线，例题结合图形分析培养几何直观（数学眼光），通过定义与定理推导强化逻辑推理（数学思维），规范的解题步骤示范提升数学表达能力（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，有效提升培优效果。

培优课　圆锥曲线的离心率 一、定义法 例1　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，左、右焦点分别为F1，F2，若过F1的直线与圆x2＋y2＝2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为________． 答案　 解析　如图，设过F1(－c，0)的直线与圆x2＋y2＝2相切于点Q， 则OQ⊥PF1， 由于|OQ|＝|OF1|，所以∠PF1F2＝30°， 因为PF2垂直于x轴， 所以tan∠PF1F2＝＝， 所以|PF2|＝，则|PF1|＝， 因为|PF1|＋|PF2|＝2a， 所以＋＝2a，化简得a＝c， 所以离心率e＝＝＝. 反思感悟　根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e. 跟踪训练1　设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为__________． 答案　 解析　不妨设P为双曲线右支上一点， |PF1|＝r1，|PF2|＝r2. 根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a， 又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝. 又r1·r2＝ab，所以·＝ab， 解得＝(负值舍去)， 故e＝＝＝ ＝＝. 二、几何法 例2　设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图，设PF1的中点为M，连接PF2. 因为O为F1F2的中点， 所以OM为△PF1F2的中位线． 所以OM∥PF2， 所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°. 因为∠PF1F2＝30°， 所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝|PF2|. 由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|， 即a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|， 即c＝，则e＝＝·＝. 反思感悟　涉及焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得的值． 跟踪训练2　设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________． 答案　 解析　根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点， 则解得 又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小，∴∠PF1F2＝30°. 在△PF1F2中，由余弦定理， 得＝cos 30°，∴2ac＝3a2＋c2. 可化为(a－c)2＝0，∴a－c＝0，∴＝，即e＝. 三、寻求齐次方程求离心率 例3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________． 答案　 解析　在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c. 由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2， 即a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，整理得a2＋b2＝c2＋2ac， 将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0， 即e2＋e－1＝0，解得e＝. 因为0<e<1，所以e＝. 反思感悟　利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合a，b，c之间的关系，化简为参数a，c的关系式进行求解． 跟踪训练3　已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为(　　) A. B．2 C.＋1 D.－1 答案　C 解析　如图所示，∵两条曲线交点的连线过点F， ∴两条曲线交点为， 代入双曲线方程得－＝1， 又＝c，∴－4×＝1， 化简得c4－6a2c2＋a4＝0， ∴e4－6e2＋1＝0，又e>1， ∴e2＝3＋2＝(1＋)2， ∴e＝＋1. 四、求离心率的取值范围 例4　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为(　　) A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．(1，] D．(1，] 答案　D 解析　依题意得，点(a，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a， ∴≤a， 解得e≤. 又e>1，∴1<e≤. 反思感悟　求离心率范围的常用思路 (1)通过几何方法如圆锥曲线上点的坐标的范围、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围． (2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围． 跟踪训练4　已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________． 答案　 解析　设P(x，y)， 则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2， 将y2＝b2－x2代入上式， 解得x2＝＝. 又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2， ∴e＝∈.　　　 　[分值：65分] 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共12分 1．设双曲线－＝1(a>0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为双曲线－＝1(a>0)的两焦点之间的距离为10，所以2c＝10，c＝5，所以a2＝c2－9＝16，所以a＝4.所以离心率e＝. 2．如果椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　) A. B. C. D．2 答案　A 解析　由椭圆的离心率为，得＝， ∴a2＝4b2.∴在双曲线中，e2＝＝＝. ∴双曲线的离心率e＝. 3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2＝，则椭圆的离心率e等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)， 则椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1的坐标为(－c，0)，右焦点F2的坐标为(c，0)， 依题意，不妨设点A的坐标为(0，b)，在△F1AF2中，由余弦定理得， |F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos∠F1AF2， ∵cos∠F1AF2＝， ∴4c2＝2a2－2a2×＝a2， ∴e2＝＝， 解得e＝. 4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，点A是椭圆C的上顶点，直线l：y＝2x与椭圆C交于M，N两点．若点A到直线l的距离是1，且|MF|＋|NF|＝6，则椭圆C的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由椭圆方程可得，A(0，b)， 因为点A到直线l：y＝2x的距离是1， 所以＝1， 解得b＝， 记椭圆的右焦点为F1，连接MF1，NF1， 由椭圆的对称性可得，|MF1|＝|NF|， 再由椭圆的定义可得，2a＝|MF1|＋|MF|＝|NF|＋|MF|＝6， 所以a＝3，则c＝＝2， 故离心率为e＝＝. 5. (多选)已知双曲线－＝1(m>0)，则(　　) A．离心率的最小值为4 B．当m＝1时，离心率最小 C．离心率最小时双曲线的标准方程为－＝1 D．离心率最小时双曲线的渐近线方程为x±y＝0 答案　CD 解析　由题意可得e2＝＝＝m＋，因为m>0，所以e2＝m＋≥2＝4，即e≥2，当且仅当m＝，即m＝2时取等号，此时双曲线的标准方程是－＝1，渐近线方程是x±y＝0. 6．(多选)在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)上存在点P，使得|PF1|＝3|PF2|，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为(　　) A. B. C．3－6 D. 答案　BCD 解析　设椭圆的焦距为2c(c>0)， 由椭圆的定义可得 解得|PF1|＝，|PF2|＝， 由题意可得解得e＝≥， 又0<e<1，所以≤e<1， 所以该椭圆离心率的取值范围是，故符合条件的选项为BCD. 7．(5分)已知直线y＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，若|PA2|＝|A1A2|，则双曲线C的离心率为________． 答案　或 解析　若渐近线的方程为y＝x， 则点P的坐标为. 因为|PA2|＝|A1A2|， 所以2＋a2＝5a2， 则2＝4，所以＝3， 从而e＝＝. 若渐近线的方程为y＝－x， 则点P的坐标为，同理可得e＝. 8．(5分)已知F1，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为________． 答案　6 解析　设椭圆对应的参数为a1，b1，c，双曲线对应的参数为a2，b2，c， 由于线段PF1的垂直平分线过F2， 所以有|F1F2|＝|PF2|＝2c. 根据双曲线和椭圆的定义有 两式相减得到4c＝2(a1－a2)，即a1－a2＝2c， 所以＋＝＋＝4＋＋ ≥4＋2＝6，当且仅当c＝2a2时，等号成立，即最小值为6. 9．(10分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P，使＝，求双曲线的离心率的取值范围． 解　分析知P不是双曲线的顶点． 在△PF1F2中，由正弦定理，得 ＝. 又＝， 所以＝，即|PF1|＝|PF2|， 所以点P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a， 即|PF2|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝. 由双曲线的几何性质，知|PF2|>c－a， 则>c－a， 即c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0， 解得－＋1<e<＋1. 又e>1， 所以双曲线离心率的取值范围为(1，＋1)． 10．(13分)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、下、上顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围． 解　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，F2(c，0)． 由题意，得A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)， 则＝(a，－b)，＝(－c，－b)． 因为∠B1PA2为向量与的夹角，且∠B1PA2为钝角， 所以·<0，所以b2－ac<0. 又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2<0， 即1－e－e2<0，解得e<或e>， 又e∈(0,1)，所以<e<1， 即该椭圆的离心率的取值范围为.　 学科网（北京）股份有限公司 $