第3章 再练一课(范围：§3.2～§3.3)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

再练一课(范围：§3.2～§3.3)　 [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．抛物线y＝x2的焦点坐标是(　　) A. B．(1,0) C. D．(0,1) 答案　D 解析　y＝x2即x2＝4y，所以其焦点在y轴正半轴上，坐标为(0,1)． 2．已知方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案　A 解析　∵方程－＝1表示双曲线， ∴>0， ∴－1<k<1. 3．已知双曲线－＝1的离心率为2，则a等于(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 答案　A 解析　由题意可知，双曲线－＝1的焦点在x轴上， 故该双曲线的离心率e＝＝2，解得a＝－1. 4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若∠AF1B＝90°，则双曲线的离心率为(　　) A. B.－1 C.＋1 D. 答案　C 解析　由题意可知，双曲线的通径长为，如图所示， 则|AB|＝， 若∠AF1B＝90°，所以2c＝， 所以2ac＝b2＝c2－a2，由于e＝， 所以e2－2e－1＝0，解得e＝1±， 因为e>1，所以e＝1＋. 5．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l的倾斜角为锐角，且l与C交于A，B两点，＝3，则l的斜率为(　　) A. B. C．1 D. 答案　A 解析　由题意可知F(1,0)，设l：x＝ty＋1(t>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立可得y2－4ty－4＝0， 且Δ＝(－4t)2－4×1×(－4)＝16(t2＋1)>0， 所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， 因为＝3，所以－y1＝3y2， 所以－2y2＝4t，－3y＝－4， 所以－3(－2t)2＝－4，解得t＝(负值舍去)， 所以直线l的斜率k＝＝. 6．已知M1，M2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，P为该双曲线上任一点(与M1，M2不重合)，已知PM1与PM2的斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．3x±y＝0 B.x±3y＝0 C．3x±2y＝0 D．2x±3y＝0 答案　D 解析　∵M1，M2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，∴M1(－a，0)，M2(a，0)， 设P(m，n)，又PM1与PM2的斜率之积为， 则·＝⇒＝⇒9n2＝4m2－4a2⇒－＝1， 又∵P为该双曲线上任一点(与M1，M2不重合)， ∴－＝1，故b2＝a2，即＝， ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x， 即2x±3y＝0. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．已知双曲线C：x2－＝1，则(　　) A．双曲线C与圆2＋y2＝1有3个公共点 B．双曲线C的离心率与椭圆＋＝1的离心率的乘积为1 C．双曲线C与双曲线－x2＝1有相同的渐近线 D．双曲线C的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同 答案　BCD 解析　作图可知A不正确；由已知得双曲线C中，a＝1，b＝，c＝＝2，所以双曲线C的焦点为，顶点为，渐近线方程为y＝±x＝±x， 离心率为＝2，易知选项BCD正确． 8．已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是(　　) A．点P到x轴的距离为4 B．|PF1|＋|PF2|＝ C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝60° 答案　AC 解析　由双曲线的方程可得a＝4，b＝3，则c＝5，由△PF1F2的面积为20，得×2c×|yP|＝20，解得|yP|＝4，即点P到x轴的距离为4，故A正确； 不妨设P，则|PF2|＝＝， 由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a＝8， 则|PF1|＝8＋＝，则|PF1|＋|PF2|＝＋＝，故B错误；在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝，则＝＝>0，则∠PF2F1为钝角，则△PF1F2为钝角三角形，故C正确； cos∠F1PF2＝ ＝ ＝＝≠， 则∠F1PF2≠60°，故D错误． 9．已知O是平面直角坐标系的原点，抛物线C：y＝x2的焦点为F，P，Q两点在抛物线C上，下列说法正确的是(　　) A．若|PF|＝5，则点P的坐标为(4,4) B．直线y＝x－1与抛物线C不相切 C．点P到直线y＝x－2的距离的最小值为 D．若P，F，Q三点共线，则·＝－3 答案　CD 解析　由y＝x2，得x2＝4y，则焦点为F(0,1)，设P(x，y)，由抛物线的定义得，y＋1＝5，解得y＝4，则点P的坐标为(4,4)或(－4,4)，故A错误；联立直线与抛物线方程消去y得x2－4x＋4＝0，得Δ＝0，所以直线y＝x－1与抛物线C相切，故B错误；因为直线y＝x－1与C相切，又直线y＝x－1与直线y＝x－2平行，所以两平行直线间的距离即点P到直线y＝x－2的最小距离，所求距离为＝，故C正确；抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，易知直线PQ的斜率存在，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，·＝x1x2＋y1y2＝－p2＋＝－4＋1＝－3，故D正确． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．抛物线的顶点在原点，焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程为________． 答案　y2＝16x或x2＝－8y 解析　x－2y－4＝0过点，(0，－2)． 若为焦点，则抛物线开口向右，＝4,2p＝16，抛物线方程为y2＝16x； 若(0，－2)为焦点，则抛物线开口向下，＝2,2p＝8，抛物线方程为x2＝－8y. 故抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y. 11．已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________. 答案　－3 解析　依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－＝1，令y2－＝0，得y＝± x，此时双曲线的渐近线的斜率为±＝±，解得m＝－3. 12．已知抛物线y＝x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q(1,1)，当△PQF的周长最小时，点P的坐标为________． 答案　 解析　如图，设l：y＝－1是抛物线的准线，过P作PH⊥l于H，作QN⊥l于N， 则|PF|＝，F(0,1)，＝1， |PF|＋＝＋，易知当Q，P，H三点共线时，＋最小，且最小值为1＋1＝2， 所以△PQF周长的最小值为3，此时xP＝1，yP＝，即P. 四、解答题(共37分) 13．(12分)已知双曲线经过两点A，B( ，－3)．求该双曲线的标准方程及其焦距． 解　设双曲线方程为mx2＋ny2＝1， 依题意得 解得 所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 因为a2＝1，b2＝，所以c2＝a2＋b2＝1＋＝， 所以c＝，故焦距为. 14．(12分)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程． 解　由题意，设所求抛物线的方程为 y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)， 交点A，B， 因为抛物线与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2， 则＋＝2，即y1－y2＝2. 由对称性知y2＝－y1，代入上式，解得y1＝， 把y1＝代入x2＋y2＝4，解得x1＝±1， 当x1＝1时，点(1，)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，p＝； 当x1＝－1时，点(－1，)在抛物线y2＝－2px(p＞0)上，p＝. 于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x. 15．(13分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点P到焦点F的距离|PF|＝2y0. (1)求抛物线C的方程；(4分) (2)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且·＝3，求△MAB的面积．(9分) 解　(1)由抛物线的定义得|PF|＝y0＋. 由题意得解得 ∴抛物线的方程为x2＝12y. (2)由(1)知点F(0,3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴直线l的方程为x＋y－3＝0. 由可得y2－10y＋9＝0， 则y1＋y2＝10， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝y1＋y2＋p＝10＋6＝16， 令y1＝1，y2＝9， 则点A，B的坐标分别为(2，1)，(－6，9)． 设点M的坐标为(t，－3)， 则＝(2－t，4)，＝(－6－t，12)， 则·＝(2－t)(－6－t)＋4×12＝3， 解得t＝－或－3. 又点M到直线l的距离为d＝， 故d＝或， 当d＝时，△MAB的面积为S＝d·|AB|＝28， 当d＝时，△MAB的面积为S＝d·|AB|＝36. 综上，△MAB的面积为28或36. 学科网（北京）股份有限公司 $