第3章 习题课 圆锥曲线的离心率（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学圆锥曲线离心率这一核心知识点，系统梳理直接法（求a,c代入e=c/a）和齐次式法（从定义、正余弦定理、几何性质三个角度构造a,c齐次式）的解题思路，形成从基础计算到综合应用的递进式学习支架。 该资料通过“例题解析+跟踪训练+课时对点练”的分层设计，结合几何图形直观分析（如例2利用圆与椭圆相切关系）培养数学眼光，通过方程构造与逻辑推理（如例3用余弦定理建立离心率方程）发展数学思维，规范的解题步骤助力数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固方法，查漏补缺。

习题课　圆锥曲线的离心率 学习目标　1.掌握圆锥曲线的离心率的求法.2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题. 一、直接法 例1　已知椭圆C：+=1(a>)的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，若△ABF2的周长为16，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题可知4a=16，即a=4， c==， 所以椭圆C的离心率e==. 反思感悟　根据已知条件求出a和c的值，代入e=，即可求出离心率. 跟踪训练1　已知F为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为，过F且垂直于x轴的直线交双曲线C于A，B两点，若|AB|=10，则C的离心率为(　　) A.2 B. C.4 D.6 答案　B 解析　双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0， 所以焦点F(c，0)到渐近线bx-ay=0的距离为 ==b=. 由-=1，令x=c，得-=1， 则y2=5=5×==， 所以y=±， 所以|AB|==10，a=1， 所以c==，所以e==. 二、齐次式法 根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，构造出a，c的齐次式(方程或不等式)，进而得到关于e的方程或不等式，得出离心率e的值或范围，我们在解题时，经常从以下几个角度构造齐次式. 角度1　利用圆锥曲线的定义 例2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若过F1(-c，0)的直线与圆x2+y2=相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为　　　　　　.  答案　 解析　如图，设过F1(-c，0)的直线与圆x2+y2=相切于点Q，则OQ⊥PF1， 由于|OQ|=|OF1|， 所以∠PF1F2=30°， 因为PF2垂直于x轴， 所以tan∠PF1F2===， 所以|PF2|=， 则|PF1|=， 因为|PF1|+|PF2|=2a， 所以+=2a， 化简得a=c， 所以离心率e===. 反思感悟　根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e. 跟踪训练2　设F1，F2分别为双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为　　　　　　.  答案　 解析　不妨设P为双曲线右支上一点， |PF1|=r1，|PF2|=r2. 根据双曲线的定义， 得r1-r2=2a， 又r1+r2=3b， 故r1=，r2=. 又r1·r2=ab， 所以·=ab， 解得=(负值舍去)， 故e=== ==. 角度2　利用正余弦定理 例3　设F1，F2为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与C在第一象限相交于一点P，若|F1P|=|F1F2|，且直线l倾斜角的余弦值为，则C的离心率为　　　　　　.  答案　2 解析　设直线l的倾斜角为α， 则cos α=， 由P在第一象限内， 且|F1P|=|F1F2|， 则|F1P|=|F1F2|=2c， ∴|F2P|=2c-2a， 由余弦定理可得 cos∠PF1F2=cos α==， 整理得3c2-8ac+4a2=0， 则3e2-8e+4=0， 解得e=2或e=(舍去). 反思感悟　如果已知条件中涉及三角形中的一些角度和长度的信息，可以借助正、余弦定理来得到a，c的齐次式. 跟踪训练3　过椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2作倾斜角分别为30°和60°的两条直线l1，l2.若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为(　　) A. B.-1 C. D. 答案　C 解析　由题意知，在△PF1F2中，∠F1PF2=30°， 由正弦定理可得= ==， 所以 =， 所以该椭圆的离心率 e=== = = =. 角度3　利用图形的几何性质 例4　已知椭圆+=1(a>b>c>0，其中c为椭圆的半焦距)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b-c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作该圆的切线.切点为T，且|PT|的最小值不小于(a-c)，则椭圆的离心率e的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　依题意，如图所示，当P点位于椭圆的右顶点时， |PF2|最小， 且最小值为a-c. ∵|PT|=， ∴≥(a-c)， ∴(a-c)2≥4(b-c)2， ∴a-c≥2(b-c)，∴a+c≥2b， ∴(a+c)2≥4(a2-c2)， 化简得5c2+2ac-3a2≥0， 即5e2+2e-3≥0，结合0<e<1. 可得≤e<1. ① ∵b>c，∴b2>c2， ∴a2-c2>c2，∴a2>2c2， ∴e2<. ② 解得0<e<.由①②解得≤e<. 故椭圆离心率的取值范围为. 反思感悟　解析几何的本质是几何，将数量关系转化为几何关系，根据平面图形的几何性质求离心率的值或范围. 跟踪训练4　已知双曲线-=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率e等于(　　) A. B.5 C. D.7 答案　C 解析　由题意知|AF2|=|AB|=|BF2|， 设|BF2|=m， 则|BF1|=m-2a， 则|AF1|=|AB|+|BF1|=2m-2a， 由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=2m-2a-m=m-2a=2a，所以m=4a， 取AB的中点D，连接DF2， 由△ABF2为等边三角形，得DF2⊥AB， 且|BD|=m=2a，所以|DF2|=2a， |DF1|=|BD|+|BF1|=2a+m-2a=m=4a， 所以|F1F2|==2a=2c， 所以e==. 1.知识清单： (1)圆锥曲线的离心率的求法. (2)圆锥曲线的离心率的范围问题. 2.方法归纳：直接法和齐次式法. 3.常见误区：忽略离心率的范围导致出错. 1.设双曲线-=1(a>0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为双曲线-=1(a>0)的两焦点之间的距离为10， 所以2c=10，c=5， 所以a2=c2-9=16，所以a=4. 所以离心率e==. 2.已知圆C：x2+y2-6x+5=0与中心在原点、焦点在x轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　圆C：(x-3)2+y2=4的圆心C(3，0)， 半径r=2， 设双曲线D的方程为-=1(a>0，b>0)， 则其渐近线方程为bx±ay=0， 于是=2，即=， 因此双曲线D的离心率 e===. 3.已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0，弦的中点坐标是M(-4，1)，则椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM=-xM，代入k=1，M(-4，1)，解得=，e==. 4.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点(不在坐标轴上)，Q是∠F1PF2的角平分线与x轴的交点，若|QF2|=2|OQ|，则椭圆离心率的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　∵|QF2|=2|OQ|， ∴|QF2|=c，|QF1|=c. ∵PQ是∠F1PF2的角平分线， ∴==2， 则|PF1|=2|PF2|， ∴|PF1|+|PF2|=3|PF2|=2a， 解得|PF2|=. 由a-c<<a+c，可得e=>. 又0<e<1，∴椭圆离心率的取值范围是. 课时对点练 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点为F，点A是椭圆C的上顶点，直线l：y=2x与椭圆C交于M，N两点.若点A到直线l的距离是1，且|MF|+|NF|=6，则椭圆C的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由椭圆方程可得，A(0，b)， 因为点A到直线l：y=2x的距离是1， 所以=1， 解得b=， 记椭圆的右焦点为F1，连接MF1，NF1， 由椭圆的对称性可得，|MF1|=|NF|， 再由椭圆的定义可得， 2a=|MF1|+|MF|=|NF|+|MF|=6， 所以a=3，则c==2， 故离心率为e==. 2.设F1，F2是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，点M在双曲线C上，且满足MF2⊥F1F2，sin∠MF1F2=，则双曲线C的离心率为(　　) A. B. C. D.2 答案　B 解析　由MF2⊥F1F2，sin∠MF1F2==，可得|MF1|=5|MF2|， 由双曲线定义可知|MF1|-|MF2|=2a， 所以|MF1|=，|MF2|=，|F1F2|=2c， 由勾股定理可得=+4c2，可得c2=a2， 故e==. 3.在平面直角坐标系中，椭圆+=1(a>b>0)上存在点P，使得|PF1|=3|PF2|，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　) A.(0，1) B. C. D. 答案　C 解析　设椭圆的焦距为2c(c>0)， 由椭圆的定义可得 解得|PF1|=，|PF2|=， 由题意可得 解得e=≥， 又0<e<1，所以≤e<1， 所以该椭圆离心率的取值范围是. 4.已知圆C1：x2+y2=b2与椭圆C2：+=1(a>b>0)，P为椭圆C2的右顶点，由点P作圆C1的两条切线，其夹角为60°，则椭圆C2的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　圆C1：x2+y2=b2的圆心C1即为O(0，0)，半径为b， 由题意作图，由点P(a，0)作圆C1的两条切线PA，PB， ∵两条切线的夹角为60°， ∴∠OPA=30°， ∴|OP|=2|OA|，即a=2b， 则a2=4b2=4(a2-c2)，即3a2=4c2， 得e==. 5.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|=4|F1Q|，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意，可将点P的坐标代入椭圆C的方程，得+=1， 解得|PF2|=. 如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E， 设Q(x0，y0)， 根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1， ∵=4， ∴==4， ∴|EF1|===， ∴x0=-c-=-. 又∵y0=-|QE|=-=-. ∴点Q的坐标为. 将点Q的坐标代入椭圆方程， 得+=1. 结合b2=a2-c2， 解得e==. 6.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B点，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B点，F为其右焦点， 设左焦点为F'. ∴|AF'|+|AF|=2a， 根据对称关系知四边形AF'BF为矩形， ∴|AB|=|FF'|=2c. 由于AF⊥BF，∠ABF=α， ∴|AF|=2csin α，|AF'|=2ccos α， ∴2csin α+2ccos α=2a， ∴e===， 由于α∈，故α+∈， ∴<sin<1， ∴<<-1， 即离心率的取值范围是. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.双曲线-=1的离心率为e1，双曲线-=1的离心率为e2，则e1+e2的值可能是(　　) A.3 B.2 C. D. 答案　AB 解析　因为(e1+e2)2=++2e1e2=++2×× =2+++2=2+++2≥2+2+2=8， 当且仅当=，即a2=b2时，取等号， 所以e1+e2≥2，根据选项可知，e1+e2的值可能为2，3. 8.若椭圆C1：+=1(a1>b1>0)和椭圆C2：+=1(a2>b2>0)的离心率相同，且a1>a2，则下列结论正确的是(　　) A.椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点 B.= C.-<- D.a1-a2<b1-b2 答案　AB 解析　依题意，e==， 即=， 所以=，所以=，因此B正确； 又a1>a2，所以b1>b2，则椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点，因此A正确； 设==m，其中0<m<1，则(-)-(-)=(1-m2)(-)>0， 即->-，则->-，因此C错误； (a1-b1)-(a2-b2)=(1-m)(a1-a2)>0， 即a1-b1>a2-b2，则a1-a2>b1-b2，因此D错误. 9.已知椭圆+=1(a1>b1>0)的离心率为e1，双曲线-=1(a2>0，b2>0)的离心率为e2，两曲线有公共焦点F1，F2，P是椭圆与双曲线的一个公共点，∠F1PF2=60°，以下结论正确的是(　　) A.-=- B.+=1 C.=3 D.若e2∈[，2]，则e1∈ 答案　BCD 解析　根据题意，设F1(-c，0)，F2(c，0)， 对于A，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得所以-=+， 即-=+，所以A错误； 对于B，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得 所以|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2， 又由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°， 可得4c2=2+2-(-)=+3， 所以+=+==1，所以B正确； 对于C，由-c2=3c2-3，可得=3，所以C正确； 对于D，因为e2∈[，2]，所以∈， 由+=1可得∈，所以e1∈，所以D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知直线y=a与双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，若|PA2|=|A1A2|，则双曲线C的离心率为　　　　　　.  答案　或 解析　若渐近线的方程为y=x， 则点P的坐标为. 因为|PA2|=|A1A2|，所以+a2=5a2， 则=4， 所以=3， 从而e==. 若渐近线的方程为y=-x， 则点P的坐标为， 同理可得e=. 11.已知F1，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则+的最小值为　　　　　　.  答案　6 解析　设椭圆对应的参数为a1，b1，c，双曲线对应的参数为a2，b2，c， 由于线段PF1的垂直平分线过F2， 所以有|F1F2|=|PF2|=2c. 根据双曲线和椭圆的定义有 两式相减得到4c=2(a1-a2)，即a1-a2=2c， 所以+=+=4++ ≥4+2=6，当且仅当c=2a2时，等号成立，即最小值为6. 12.已知椭圆+=1(a>b>0)的内接△ABC的顶点B为短轴的一个端点，右焦点为F，线段AB的中点为K，且=2，则椭圆离心率的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　由题意可设B(0，b)，F(c，0)，线段AB的中点为K，且=2， 可得F为△ABC的重心， 设A(x1，y1)，C(x2，y2)， 由重心坐标公式可得， x1+x2+0=3c，y1+y2+b=0， 设AC的中点为M(x，y)，可得x==，y==-，即M， 由题意可得点M在椭圆内， 可得+<1， 由e=，可得e2<， 所以0<e<. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P，使=，求双曲线的离心率的取值范围. 解　分析知P不是双曲线的顶点. 在△PF1F2中，由正弦定理，得 =. 又=， 所以=，即|PF1|=|PF2|， 所以点P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义，知|PF1|-|PF2|=2a， 即|PF2|-|PF2|=2a，得|PF2|=. 由双曲线的几何性质， 知|PF2|>c-a， 则>c-a， 即c2-2ac-a2<0，所以e2-2e-1<0， 解得-+1<e<+1. 又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，+1). 14.(14分)双曲线C：-=1(a>0，b>0)，右焦点为F(c，0). (1)若双曲线C为等轴双曲线，且过点P(2，)，求双曲线C的方程；(5分) (2)经过原点O且倾斜角为45°的直线l与双曲线C的右支交于点M，△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率.(9分) 解　(1)∵双曲线C为等轴双曲线， ∴-=1， ∵双曲线过点P(2，)，将其代入得=1， 解得a2=1， ∴双曲线C的方程为x2-y2=1. (2)方法一　∵△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，∠MOF=45°， ∴△OMF是等腰直角三角形，|OF|=c， 过M作MA⊥x轴于点A，如图所示， 则A，M， 设左焦点F1(-c，0)，由双曲线定义知|MF1|-|MF|=2a， ∴2a= -=c-c=c， ∴e=. 方法二　同方法一得M， ∵点M在双曲线C：-=1(a>0，b>0)上， ∴-=1， 即-=4，∴e2-=4， 整理得e4-6e2+4=0， 解得e2=3±， ∵e>1，∴e2=3+， ∴e== ==. ∴e=. 学科网（北京）股份有限公司 $