第2章 2.6.2 圆与圆的位置关系（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦圆与圆的位置关系这一核心知识点，前承直线与圆的位置关系，通过类比构建学习支架，系统梳理内含、内切、相交、外切、外离五种位置关系，详解几何法与代数法判断方法，延伸公共弦及圆系方程应用，形成完整知识脉络。 该资料以生活图形引入培养数学眼光，通过几何法与代数法对比发展数学思维，例题与跟踪训练结合提升数学语言表达能力。课中助力教师清晰授课，课后练习题覆盖基础与综合应用，帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

2.6.2　圆与圆的位置关系 [学习目标]　1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 导语 观察这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间的位置关系． 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，本节课我们类比之前的研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系． 一、两圆位置关系的判断 知识梳理 1．圆与圆的位置关系有五种，分别为内含、内切、相交、外切、外离． 2．位置关系的判断方法 (1)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 (2)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆圆心的距离为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 注意点： 判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系． 例1　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，圆C1、圆C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解　将圆C1、圆C2的方程配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． 反思感悟　判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系． 跟踪训练1　若圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　) A．4 B．6 C．16 D．36 答案　C 解析　圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切， ∴＝1＋，解得a＝16. 二、公共弦及圆系方程问题 例2　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 解　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B两点坐标是方程组 的解， ①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． 又圆C1的圆心(－3,0)，r＝， ∴C1到直线AB的距离d＝＝， ∴|AB|＝2＝2＝5， 即两圆的公共弦长为5. (2)方法一　解方程组 得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则＝， 解得a＝，故圆心为，半径为. 故圆的方程为2＋2＝， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 方法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0， 解得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 反思感悟　(1)公共弦方程的求法 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． (3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 跟踪训练2　求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线l被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝截得的弦长． 解　由题意将两圆的方程相减， 可得圆C1和圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0. 又圆C3的圆心为(1,1)， 其到直线l的距离d＝＝， 所以所求弦长为2＝. 三、圆与圆的综合性问题 例3　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解　设所求圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1.① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0， 故＝.② ＝r.③ 解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 延伸探究　将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？ 解　因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a，0)，半径为r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2， 又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)， 所以 解得或(舍去)． 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 反思感悟　通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题． 跟踪训练3　已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．9 答案　D 解析　由题意可知，圆C1的圆心为(－2a，0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1，所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a2＝，b2＝时，等号成立，所以＋的最小值为9. 1．知识清单： (1)两圆的位置关系． (2)两圆的公共弦． (3)圆系方程． (4)圆与圆的综合性问题． 2．方法归纳：几何法、代数法． 3．常见误区：将两圆内切和外切相混． 1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　) A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 答案　B 解析　把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝＝<r1＋r2，又r2－r1<，所以两圆相交． 2．(多选)若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　) A．2 B．－5 C．－2 D．5 答案　AB 解析　圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3， 圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2. 依题意有＝3＋2， 即m2＋3m－10＝0， 解得m＝2或m＝－5. 3．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是_________________ ____________. 答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 解析　设圆C的半径为r， 圆心距d＝＝5， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4； 当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6， 则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16 或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________. 答案　1 解析　将两圆的方程相减， 得相交弦所在的直线方程为y＝， 圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1， 所以a＝1. [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为(　　) A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 答案　C 解析　由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则圆心距d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切． 2．圆(x－4)2＋y2＝1和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　C 解析　圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2. 两圆的圆心距为＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3. 3．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　) A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 答案　A 解析　圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1,0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1,2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为＝，即x＋y－1＝0. 4．(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是(　　) A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9 C．(x－2)2＋(y－2)2＝25 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49 答案　BCD 解析　由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2. A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3. ∵|C1C|＝∈(r1－r，r1＋r)，∴两圆相交； B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3， ∵|C2C|＝5＝r＋r2，∴两圆外切，满足条件； C项，圆心C3(2,2)，半径r3＝5， ∵|C3C|＝3＝r3－r，∴两圆内切； D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7， ∵|C4C|＝5＝r4－r，∴两圆内切． 5．设圆C1 ，C2 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距|C1C2|等于(　　) A．32 B．16 C．8 D．1 答案　C 解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都过点(4,1)， ∴两圆的圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)， 则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2， ∴a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2 的两个实数根， 即a，b为方程x2－10x＋17＝0 的两个实数根， ∴a＋b＝10 ，ab＝17 . ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32， ∴|C1C2|＝＝＝8. 6．已知点A(1,0)，B(1,6)，圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m等于(　　) A．－3或3 B．57 C．－3或57 D．3或57 答案　C 解析　由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切． 因为A(1,0)，B(1,6)，所以以AB为直径的圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9， 圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝61－m. 因为两圆相切， 所以|CM|＝|3±|，即5＝|3±|， 解得m＝57或m＝－3. 7．(5分)已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是________________． 答案　4a2＋b2＝1 解析　圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2a，0)，半径长为2. 圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1.圆心坐标为(0，b)，半径长为1. 由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以＝2－1＝1，整理得4a2＋b2＝1. 8．(5分)经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为______________________． 答案　x2＋y2－x－y－＝0 解析　由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0. 9．(9分)已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0. (1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；(4分) (2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．(5分) 解　(1)由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3. (2)设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，所以2＋2＝，由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，可得＝，解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0. 10．(12分)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. (1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；(6分) (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．(6分) 解　(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4， 所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意． ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)． 即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2， 所以＝2，即＝2， 解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0. 综上，直线l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0. (2)依题意，设圆心D(a，a＋2)． 又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|＝5， 所以＝5， 解得a＝－1或a＝6.所以D(－1,1)或D(6,8)， 所以所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9. 11．已知m是正实数，则“m≥16”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y＋3)2＝m有公共点”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　圆x2＋y2＝1的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆(x－4)2＋(y＋3)2＝m的圆心C2(4，－3)，半径r2＝(m>0)，则|C1C2|＝＝5，两圆有公共点⇔|－1|≤5≤＋1，解得16≤m≤36，显然[16,36][16，＋∞)．故“m≥16”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y＋3)2＝m有公共点”的必要而不充分条件． 12．(多选)若圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　) A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 答案　ABD 解析　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B， 两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确； 对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确； 对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝，半径r＝1，所以|AB|＝2＝，故C不正确； 对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离为d＝，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确． 13．若圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是(　　) A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3) C．[－1,1] D．(－3，－1]∪[1,3) 答案　A 解析　到原点的距离为的点的轨迹为圆C1：x2＋y2＝2， 因此圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为， 转化为圆C1：x2＋y2＝2与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8有两个交点， ∵两圆的圆心和半径分别为C1(0,0)，r1＝，C(a，a)，r＝2， ∴r－r1<|C1C|<r1＋r，∴<|a|<3， 解得－3<a<－1或1<a<3，∴实数a的取值范围是(－3，－1)∪(1,3)． 14．(5分)过点P(2,2)作圆C：x2＋y2＋2x－3＝0的两条切线，切点分别为A，B，则|AB|＝________. 答案　 解析　圆C：x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4， 所以圆心为C(－1,0)，半径为2，(2＋1)2＋22＝13>4，所以点P在圆C外． 线段PC的中点坐标为，|PC|＝＝， 以PC为直径的圆的方程为 2＋(y－1)2＝2， 即x2＋y2－x－2y－2＝0， 由x2＋y2＋2x－3＝0，x2＋y2－x－2y－2＝0两式相减并化简得3x＋2y－1＝0， 又C(－1,0)到直线3x＋2y－1＝0的距离为＝， 所以|AB|＝2＝. 15．(5分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1 : x2 ＋y2＝8与圆C2 : x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为__________． 答案　 解析　由题意知，直线AB为2x＋y＋8－a＝0， 当∠PAB＝90°或∠PBA＝90°时， 设C1到AB的距离为d， 因为△ABP为等腰直角三角形， 所以d＝AB，即d＝， 所以d＝2，所以＝d＝2， 解得a＝8±2； 当∠APB＝90°时，AB经过圆心C1， 则8－a＝0，即a＝8. 16．(12分)已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，圆B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0，如果圆B始终平分圆A的周长． (1)求动圆圆B的圆心的轨迹方程；(6分) (2)当圆B的半径最小时，求圆B的标准方程．(6分) 解　(1)把两圆的方程相减，即得两圆公共弦所在直线l的方程为2(a＋1)x＋2(b＋1)y－a2－1＝0， 由圆B始终平分圆A的周长， 知直线l经过圆A的圆心(－1，－1)， 因而a2＋2a＋2b＋5＝0， 设动圆B的圆心为(x，y)， 则由圆B的方程x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0， 可得B(a，b)，即x＝a，y＝b， 则所求方程为x2＋2x＋2y＋5＝0. (2)圆B：(x－a)2＋(y－b)2＝1＋b2， 其半径为，由(1)知a2＋2a＋2b＋5＝0， 即2b＋4＝－(a＋1)2≤0， 所以b≤－2，因而≥， 所以当圆B的半径最小时，其标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $