第2章 2.5.2 圆的一般方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“圆的一般方程”核心知识点，前承圆的标准方程通过展开引入一般形式，后接方程辨析（配方及条件讨论）、转化（一般到标准）及应用（待定系数法、实际问题），以问题引导、知识梳理表格、例题与跟踪训练为学习支架，构建完整认知脉络。 资料通过问题链引导学生从标准方程发现一般方程，培养用数学眼光观察现实世界的意识，配方过程与条件辨析发展逻辑推理的数学思维，赵州桥等实际案例助力用数学语言建模解决问题。课中例题与跟踪训练提升教学效率，课后练习题与知识清单帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.5.2　圆的一般方程 [学习目标]　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 导语 前面我们已经讨论了圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式．请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线一定是圆吗？下面我们就来探讨这个问题． 一、圆的一般方程的辨析 问题1　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，需满足什么条件？ 提示　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得，2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆． 问题2　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示　①当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点. ②当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． 知识梳理 1．我们将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)叫作圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项，且2＋2－4·>0，即A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 解　(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 反思感悟　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法：将方程配方后，根据圆的标准方程的特征，观察是否表示圆． (2)由圆的一般方程的定义，判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆． 跟踪训练1　(1)当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m的值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　D 解析　因为圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－m)2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，从而圆C的面积在m＝1时取得最小值． (2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 答案　9π 解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为 ＝3， ∴该圆的面积为9π. 二、求圆的一般方程 例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)． (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 解　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意，得 解得 即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a，2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6. 反思感悟　求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程． (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于D，E，F或a，b，r的方程组解出系数得到圆的方程． 跟踪训练2　已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 解　圆心C， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0， 即D＋E＝－2.① 又∵半径长r＝＝， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限， ∴－<0，即D>0.则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 三、圆的一般方程的实际应用 例3　赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1 400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量.2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16 m，拱高为4 m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽10 m，水面以上高3 m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由．(≈1.732) 解　(1)设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0， 因为该拱圆过A(－8,0)，B(8,0)，C(0,4)， 所以解得 所以拱圆的一般方程为x2＋y2＋12y－64＝0， 即x2＋(y＋6)2＝100. (2)当x＝5时，52＋(y＋6)2＝100， 得y＝5－6≈2.66<3， 所以该景区游船不能从桥下通过． 反思感悟　解应用题的步骤 (1)建模． (2)转化为数学问题求解． (3)回归实际问题，给出结论． 跟踪训练3　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m．建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)． 解　建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，由题意知， P(0,4)，B(10,0)，A(－10,0)， 设圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为点A，B，P在圆上， 所以解得 故圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋21y－100＝0， 将P2的横坐标x＝－2代入圆的方程得y≈3.86. 故支柱A2P2的高度约为3.86 m. 1．知识清单： (1)圆的一般方程． (2)圆的一般方程的实际应用． 2．方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法． 3．常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件． 1．若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0， 所以m>－. 2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，则D，E分别为(　　) A．4，－6 B．－4，－6 C．－4,6 D．4,6 答案　A 解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为， 又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)， ∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6. 3．(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0(　　) A．关于点(2,0)对称 B．关于直线y＝0对称 C．关于直线x＋3y－2＝0对称 D．关于直线x－y＋2＝0对称 答案　ABC 解析　x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5， 即圆心为(2,0)． 圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故A正确； 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0，x＋3y－2＝0过圆心，直线x－y＋2＝0不过圆心，故B，C正确，D不正确． 4．过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的一般方程为________________． 答案　x2＋y2－8x＋6y＝0 解析　设过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 故所求圆的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.　　 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围为(　　) A．R B．a≤1 C．a<1 D．a>1 答案　C 解析　根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1. 2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为(　　) A．8π B．4π C．2π D．π 答案　C 解析　原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2， ∴半径r＝，∴圆的面积为S＝πr2＝2π. 3．(多选)下列结论正确的是(　　) A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆 D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 答案　ABD 解析　A，B显然正确；C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示点(1，－2)；D正确． 4．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x－y－6＝0的最大距离是(　　) A．36 B．8 C．6 D．18 答案　C 解析　圆x2＋y2－4x－4y－10＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝18，其圆心为(2,2)，半径为3， 则圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x－y－6＝0的最大距离是＋3＝6. 5．已知直线l：x＋my＋2＝0，若圆C：x2＋y2－6x＋4y－3＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(　　) A. B. C. D．5 答案　A 解析　因为圆C：x2＋y2－6x＋4y－3＝0，所以圆C的圆心为(3，－2)，又圆C上存在两点P，Q关于直线l对称，所以直线l经过圆C的圆心，从而3－2m＋2＝0，解得m＝. 6．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　) A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m 答案　B 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h，则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝3.62， 把点A的坐标代入上式可得，0.82＋h2＝3.62， 解得h＝4≈3.5(m)． 7．(5分)若方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝________. 答案　2 解析　根据题意，得方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆， 则解得 ∴a＋b＋c＝2. 8．(5分)已知函数y＝1＋loga(2－x)(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，且点P在圆x2＋y2＋mx＋m＝0外，则符合条件的整数m的取值可以为__________．(写出一个值即可) 答案　5(不唯一，取m>4的整数即可) 解析　因为函数y＝1＋loga(2－x)的图象恒过定点(1,1)，所以P(1,1)，因为点P在圆x2＋y2＋mx＋m＝0外， 所以12＋12＋m＋m>0且m2－4m>0， 解得－1<m<0或m>4， 又m为整数，所以m的取值可以为5,6,7，…. 9．(10分)已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆． (1)求t的取值范围；(3分) (2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3分) (3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．(4分) 解　(1)圆的方程可化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2. 由7t2－6t－1<0，得－<t<1. 故t的取值范围是. (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为. (3)r＝＝≤. 所以当t＝时，r的最大值为， 此时圆的标准方程为2＋2＝. 10．(12分)已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,4)，直线l过点B且与直线x－y＋1＝0平行，点A和点C关于直线l对称． (1)求直线l的方程；(4分) (2)求△ABC外接圆的方程．(8分) 解　(1)设直线l的方程为x－y＋c＝0， ∵直线l经过点B(2,4)，∴2－4＋c＝0，∴c＝2， 即直线l的方程为x－y＋2＝0. (2)设C(x0，y0)，则kAC·kl＝－1， 即＝－1，① 又∵线段AC的中点D在直线l上， 即－＋2＝0，② 由①②可得，x0＝－1，y0＝3，∴C(－1,3)， 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A(1,1)，B(2,4)，C(－1,3)都在圆上， ∴解得 故△ABC外接圆的方程为x2＋y2－x－y＋5＝0. 11．圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2,0)，又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有×1＝－1，解得a＝2. 12．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 答案　D 解析　由题意得，曲线C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4， 因此曲线C是圆心为(－a，2a)，半径为2的圆． ∵曲线C上所有的点均在第二象限内， ∴解得a>2， ∴a的取值范围是(2，＋∞)． 13．(5分)已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________． 答案　－2 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中， 得解得 所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，则y2＋4y－20＝0， 由根与系数的关系得y1＋y2＝－4； 令y＝0，则x2－2x－20＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2. 14．(5分)已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是________________． 答案　(－∞，－3]∪ 解析　由y＝得(x－1)2＋y2＝9(y≥0)，它表示以(1,0)为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆(含与x轴的交点)，故t可以看作半圆上的动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率．如图，A(－1，－3)，B(4,0)，C(－2,0)， 则kAB＝，kAC＝－3，则t≤－3或t≥. 15．已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　C 解析　由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)， 连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时|SP|＋|SQ|的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|.故(|SP|＋|SQ|)min＝|P′M|－1＝－1＝9. 16．(12分)在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆． 最小覆盖圆满足以下性质： ①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆． ②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆． 已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点． (1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；(4分) (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；(4分) (3)求曲线W的最小覆盖圆的方程．(4分) 解　(1)由题意，得t＝－2， 由于△ABC为锐角三角形，所以其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆． 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得 所以△ABC的最小覆盖圆的方程为 x2＋y2－3x－4＝0. (2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆， 所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16. 又因为|OA|＝|OC|＝2<4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内． 所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为 x2＋y2＝16. (3)由题意，知曲线W为中心对称图形． 设P(x0，y0)，则x＋y＝16. 所以|OP|2＝x＋y(O为坐标原点)， 且－2≤y0≤2. 故|OP|2＝x＋y＝16－y＋y ＝－2＋， 所以当y＝时，|OP|max＝， 所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $