第2章 2.3.1 第2课时 两条直线垂直的判定（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦两条直线垂直的判定核心知识点，承接上节课两条直线平行的判定，系统梳理斜率存在时k1k2=-1、斜率不存在与斜率为0时的垂直关系，以及一般式方程中A1A2+B1B2=0的判定条件，通过问题引导、表格对比和例题训练构建完整学习支架。 以十字路口等生活实例导入培养数学眼光，通过倾斜角推导斜率关系发展数学思维，分层例题如判断直角梯形形状提升用数学语言表达几何关系的能力。课中助力教师引导学生探究，课后分层习题帮助学生巩固知识，弥补学习盲点。

第2课时　两条直线垂直的判定 [学习目标]　1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两条直线是否垂直.3.运用两条直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 导语 除平行外，生活中也存在很多垂直关系，比如十字路口，黑板相邻两边等等，上节课我们学习了两条直线平行的判定方法，研究了两条平行直线的倾斜角之间的关系，当斜率存在时，斜率也有联系，那么两条垂直直线的倾斜角和斜率是否也有关系呢？ 一、两条直线垂直关系的判定 问题1　若两条垂直直线的斜率都存在，那么它们的斜率有怎样的关系呢？ 提示　如图，如果直线l1⊥l2(l1，l2都不与x轴垂直)，那么直线l1，l2的倾斜角α1，α2中必定一个是锐角，另一个是钝角．不妨设α2是钝角，则α2＝α1＋，从而k2＝tan α2＝tan＝－＝－，即k1k2＝－1. 问题2　反过来，如果两条直线斜率的乘积为－1，这两条直线互相垂直吗？ 提示　两条直线互相垂直． 知识梳理 1．两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 2.已知不重合的两条直线的一般式方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(A1，B1)，(A2，B2)分别是l1，l2的法向量，则l1⊥l2⇔法向量垂直⇔(A1，B1)·(A2，B2)＝0⇔A1A2＋B1B2＝0. 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 例1　判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)l1：y＝－x＋2，l2：y＝x＋5； (2)l1：2x＋3y＝10，l2：3x－2y＝5； (3)l1：y＝2 023，l2：x＝2 024. 解　(1)∵k1＝－1，k2＝1， ∴k1k2＝－1，则l1⊥l2. (2)∵k1＝－，k2＝， ∴k1k2＝－1，则l1⊥l2. (3)∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在， ∴l1⊥l2. 反思感悟　判断两条直线是否垂直的方法 (1)在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可． (2)若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． (3)若两条直线的法向量垂直，则这两条直线垂直． 跟踪训练1　判断下列两直线是否垂直． (1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (2)直线l1经过点A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(－2,4)，Q(2,4)； (3)直线l1的法向量为(1,2)，直线l2的法向量为(2，－1)． 解　(1)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，因为k1k2＝－10×＝－1，所以l1与l2垂直． (2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直． (3)因为1×2－1×2＝0，所以l1与l2的法向量垂直，所以l1与l2垂直． 二、求与已知直线垂直的直线方程 例2　求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 解　方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， ∴k·(－2)＝－1，∴k＝， 又直线l经过点A(2,1)， ∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)， 即x－2y＝0. 方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2,1)， ∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0， ∴所求直线l的方程为x－2y＝0. 反思感悟　求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率，若原直线斜率存在且不为0，利用斜率乘积等于－1求斜率；若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程；若斜率为0，则所求直线斜率不存在． 跟踪训练2　(1)与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的方程为(　　) A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4 C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4 答案　D 解析　直线y＝2x＋1的斜率k1＝2，则与直线y＝2x＋1垂直的直线的斜率k2＝－，因为在y轴上的截距为4，所以直线的方程为y＝－x＋4. (2)已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的方程为____________． 答案　3x－5y＋15＝0 解析　设BC边上的高为AD，则BC⊥AD， 所以kAD·kBC＝－1，因为kBC＝＝－， 所以－·kAD＝－1，解得kAD＝， 所以BC边上的高所在直线的方程为y－0＝(x＋5)，即3x－5y＋15＝0. 三、 直线平行与垂直的综合应用 例3　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． 解　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3， kBC＝＝－， ∴kAB＝kCD，且直线AB与CD不重合， ∴AB∥CD. 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行． 又kAB·kAD＝×(－3)＝－1， ∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形． 反思感悟　(1)利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 (2)判定几何图形形状的注意点 ①在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜想其形状，以明确证明的目标． ②证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况． ③判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况． 跟踪训练3　已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形． 解　设所求点D的坐标为(x，y)， 如图所示，由于kAB＝3， kBC＝0， ∴kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰． (1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD， AD⊥CD， ∵kBC＝0， ∴CD的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC， ∴＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行， 故所求点D的坐标为(3,3)． (2)若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD＝，kCD＝， ∴ 解得 ∴点D的坐标为. 综上，点D的坐标为(3,3)或. 1．知识清单： (1)两直线垂直的条件． (2)求与已知直线垂直的直线方程． (3)直线平行与垂直的综合应用． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合． 3．常见误区：研究两直线垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况． 1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋2y－2＝0互相垂直，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．4 D．－4 答案　D 解析　两直线的斜率分别为－，－，依题意得×＝－1，解得a＝－4. 2．(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B．－ C．a D．不存在 答案　BD 解析　当a≠0时，由k1k2＝－1知，k2＝－， 当a＝0时，l2的斜率不存在． 3．过点A(3,4)且与直线l：x－2y－1＝0垂直的直线的方程为(　　) A．2x＋y－10＝0 B．x＋2y－11＝0 C．x－2y＋5＝0 D．x－2y－5＝0 答案　A 解析　设经过点A(3,4)且垂直于直线x－2y－1＝0的直线的一般式方程为2x＋y＋m＝0，把点A的坐标代入可得6＋4＋m＝0，解得m＝－10，故所求直线方程为2x＋y－10＝0. 4．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D的坐标为__________时，AB⊥CD. 答案　(－9,0) 解析　设点D(x,0)，因为kAB＝＝4≠0， 所以直线CD的斜率存在． 则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1， 所以4·＝－1，解得x＝－9，所以D(－9,0)．　　 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1．直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，因为直线l1⊥l2，所以l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，则l2的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－. 2．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．可能重合 D．无法确定 答案　B 解析　由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立． 故方程有两个不同的实数根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2. 3．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A．1 B．3 C．0或1 D．1或3 答案　D 解析　因为l1⊥l2， 所以k1k2＝－1， 即×＝－1， 解得a＝1或a＝3. 4．已知直线l经过点P(2,1)，且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则直线l的方程为(　　) A．2x＋3y－7＝0 B．3x＋2y－8＝0 C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－4＝0 答案　D 解析　由题意知，直线2x＋3y＋1＝0的斜率k＝－，故kl＝，所以直线l的方程为y－1＝(x－2)，整理得3x－2y－4＝0. 5．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　) A．－12 B．－2 C．0 D．10 答案　A 解析　由2m－20＝0，解得m＝10. 由垂足(1，p)在直线10x＋4y－2＝0上，代入得p＝－2， 所以垂足坐标为(1，－2)． 又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，代入得n＝－12. 6．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为(　　) A．(－1,0) B．(0，－1) C．(1,0) D．(0,1) 答案　D 解析　设D(x，y)， 则kCD＝＝，kAD＝， kAB＝＝3，kCB＝＝－2， 又CD⊥AB，CB∥AD， ∴∴ ∴∴即D(0,1)． 7．(5分)已知直线l1的斜率为1，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为________． 答案　135° 解析　因为直线l1的斜率k1＝1，且直线l2⊥l1， 则直线l2的斜率k＝－1， 所以直线l2的倾斜角为135°. 8．(5分)直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________，若l1∥l2，则m＝________. 答案　－2　2 解析　直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，则m≤2，所以k1k2＝，若l1⊥l2，则k1k2＝＝－1，得m＝－2；若l1∥l2，则k1＝k2，所以Δ＝16－8m＝0，解得m＝2. 9．(9分)(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；(4分) (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．(5分) 解　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意，知直线l2的斜率k2一定存在， 直线l1的斜率可能不存在． 当直线l1的斜率不存在时，3＝a－2， 即a＝5，此时k2＝0，则l1⊥l2，满足题意． 当直线l1的斜率k1存在时，a≠5， 由斜率公式，得k1＝＝， k2＝＝. 由l1⊥l2，知k1k2＝－1， 即×＝－1，解得a＝0. 综上所述，a的值为0或5. 10．(12分)已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)． (1)求点D的坐标；(6分) (2)试判定▱ABCD是否为菱形．(6分) 解　(1)设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以解得所以D(－1,6)． (2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形． 11．(多选)以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形，下列结论正确的有(　　) A．kAB＝－ B．kBC＝－ C．是以A点为直角顶点的直角三角形 D．是以B点为直角顶点的直角三角形 答案　AC 解析　由题意得kAB＝＝－，kBC＝＝－5，故A正确，B错误；又kAB·kBC＝－×(－5)≠－1，∴△ABC不是以B点为直角顶点的直角三角形，故D错误；kAC＝＝，又kAC·kAB＝×＝－1，∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，故C正确． 12．(多选)设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，则下面四个结论正确的是(　　) A．PQ∥SR B．PQ⊥PS C．PS∥QS D．PR⊥QS 答案　ABD 解析　由题意计算得， kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝， ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS， ∴PS与QS不平行． 13．(5分)已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为________． 答案　(－19，－62) 解析　设A(x，y)，因为AC⊥BH，AB⊥CH， 且kBH＝－，kCH＝－， 所以解得所以A(－19，－62)． 14．(5分)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为________． 答案　9 解析　∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直， ∴n－(n－2)m＝0，∴2m＋n＝mn， ∴＋＝1，∴m＋2n＝(m＋2n) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当m＝n＝3时取等号，故m＋2n的最小值为9. 15．(5分)直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________. 答案　4＋ 解析　如图，∵直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率 k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－. ∴＝＝－，解得m＝4＋. 16．(12分)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(6分) (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．(6分) 解　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0. 又∵直线l1过点(－3，－1)， ∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2. (2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直线l1的斜率存在，∴k1＝k2，即＝1－a. 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b. 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $