2.3.1 第2课时 两条直线垂直的判定（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）  

两条直线垂直的判定 (强基课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1．理解并掌握两条直线垂直的条件．　 2．会用垂直的条件判定两条直线是否垂直． 3．运用两直线垂直时斜率的关系解决相应问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．斜率与两条直线垂直的关系 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔__________. (2)特殊地，当l1，l2中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线______． 2．两条直线垂直时，一般式中系数的关系 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，l1⊥l2⇔_______________. k1k2＝－1 垂直 A1A2＋B1B2＝0 微点助解 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 基点训练 √ 解析：根据斜率乘积为－1，可知两条直线垂直． 2．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有(　 ) A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90° C．|α2－α1|＝90° D．α1＋α2＝180° √ 3．若经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________． 解析：由题意可知m≠2， 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　判断直线l1与l2是否垂直． (1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)； (3)l1经过点A(－1,2)，B(5，－1)，l2经过点C(1,0)，D(4,6)； (4)直线l1：－3x＋4y＋1＝0，直线l2：8x＋6y－3＝0. 题型(一)　两条直线垂直的判定 解：(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2. (2)由点A，B的横坐标相等，得l1的倾斜角为90°， 则l1⊥x轴，设直线l2的斜率为k2， 所以l2∥x轴，故l1⊥l2. 因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2. 故k1k2＝－1， 所以这两条直线互相垂直． 法二　因为A1A2＋B1B2＝－3×8＋4×6＝0， 所以这两条直线互相垂直． 两条直线垂直的判定的常用方法 (1)斜率法：有两斜率均存在和一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零两种情形； (2)向量法：用直线的方向向量或法向量； (3)系数法：用两直线一般式的系数等式(A1A2＋B1B2＝0)．　　 方法技巧 1．直线l的方向向量是e＝(－1,2)，则下列选项中的直线与直线l垂直的是(　 ) A．x－2y＋3＝0 B．x＋2y－3＝0 C．2x－y＋3＝0 D．2x＋y－3＝0 √ 针对训练 由2x－y＋3＝0，可得斜率为2，故C错误； 由2x＋y－3＝0，可得斜率为－2，故D错误． √ √ 题型(二)　根据直线垂直求参数或点的坐标 解析：∵l1⊥l2， ∴a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 即(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3. √ [例3]　已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为______. 解析：因为直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1， 所以l2的斜率存在，而l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)， 则其斜率可能不存在，当l1的斜率不存在时，a－2＝3， 即a＝5，此时l2的斜率为0，则l1⊥l2，满足题意； 当l1的斜率存在时，a－2≠3， 0或5 即a≠5，此时直线l1，l2的斜率均存在， 由l1⊥l2得k1k2＝－1， 综上，a的值为0或5. (1)由两直线垂直求参数，用A1A2＋B1B2＝0更方便，可避开讨论斜率是否存在的情形； (2)由垂直关系求点的坐标，先设出点的坐标，再利用k1k2＝－1或直线的方向向量、法向量垂直求解．　　 方法技巧 针对训练 √ √ [例4]　已知△ABC的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,4)． (1)求BC边上的中线的直线方程； (2)求BC边上的高的直线方程； (3)求AC边的垂直平分线． 题型(三)　求与已知直线垂直的直线方程 所以BC边上的高的直线的斜率为－2. 又A(4,0)，则BC边上的高的直线方程为y－0＝－2(x－4)， 整理得2x＋y－8＝0. (3)因为A(4,0)，C(0,4)， 则AC边的垂直平分线的斜率为1， 所以其方程为y－2＝x－2，即x－y＝0. 与已知直线垂直的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率，再利用垂直直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出所求直线方程．但要注意一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况． (2)待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，再由直线所过的点确定m.　　 方法技巧 5．求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程． 解：由题意，可设所求直线的方程为3x＋4y＋b＝0. 针对训练 故所求直线的方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0. 又∵△AOB的周长为10，即|OA|＋|OB|＋|AB|＝10， 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知A(－2,1)，C(0,5)，则AC的垂直平分线所在直线方程为(　 ) A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x－2y＋5＝0 D．2x－y＋5＝0 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点B(－1,0)，C(0,2)，AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为(　 ) A．2x－4y－3＝0 B．2x＋4y＋3＝0 C．4x－2y－3＝0 D．2x＋4y－3＝0 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．过原点作直线l的垂线，若垂足为(－2,3)，则直线l的方程是_______________． 2x－3y＋13＝0 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．当直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直时，a＝________. 解析：∵l1⊥l2， ∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1. 将a＝±1代入方程，均满足题意．故a＝±1. ±1 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0，则过点A且与直线l垂直的直线l1的方程为_________________． 解析：设所求直线l1的方程为4x－3y＋m＝0. 因为l1经过点A(2,2)， 所以4×2－3×2＋m＝0， 解得m＝－2. 故l1的方程为4x－3y－2＝0. 4x－3y－2＝0 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴k1k2＝－1，则l1⊥l2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴k1k2＝－1，则l1⊥l2. (3)∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在， ∴l1⊥l2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q (1－2t，2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ， 从而OP∥QR，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形． 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当l1∥l2时，－ab＋3＝0，解得ab＝3.故B正确． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为________． 解析：∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直， ∴n－(n－2)m＝0， ∴2m＋n＝mn， 9 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当且仅当m＝n＝3时取等号． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________. 16 解析：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使得四边形ABCD为直角梯形． 解：当∠A＝∠D＝90°时，如图①所示． ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AB∥DC且AD⊥AB，易求得m＝2，n＝－1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当∠A＝∠B＝90°时，如图②所示． ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AD∥BC且AB⊥BC， ∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16．已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0)． (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角． 解：(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN，得kPQ·kMN＝－1， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0,1)． (2)设Q(x,0)， ∵∠NQP＝∠NPQ， ∴kNQ＝－kNP， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴Q(1,0)． 又∵M(1，－1)， ∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 16 1．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　 ) A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 则kl＝＝，解得m＝. 则k1＝－10，k2＝＝， 则k1＝－10，k2＝＝， 由8x＋6y－3＝0得其斜率为k2＝－， 则k2＝＝0， (3)直线l1的斜率k1＝＝－，直线l2的斜率k2＝＝2， (4)法一　由－3x＋4y＋1＝0得其斜率为k1＝， 解析：因为直线l的方向向量是e＝(－1,2)，所以直线l的斜率k1＝＝－2，所以与直线l垂直的直线的斜率为k2＝.由x－2y＋3＝0，可得斜率为，故A正确； 由x＋2y－3＝0，可得斜率为－，故B错误； 2．[多选]满足下列条件的直线l1与l2，其中l1⊥l2的是(　 ) A．l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1 B．l1的斜率为－，l2经过点A(2,0)，B(3，) C．l1经过点P(2,1)，Q(－4，－5)，l2经过点M(－1,2)，N(1,0) D．直线l1的斜率为，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行 直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－，k l1k l2≠－1，所以l1与l2不垂直，故D不正确． 解析：kl1＝tan 45°＝1，k l2＝1，k l1k l2≠－1，故A不正确； k l2＝＝，k l1k l2＝－×＝－1，故B正确； kl1＝＝1，k l2＝＝－1，k l1k l2＝－1，故C正确； [例2]　若直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0互相垂直，则a的值是(　 ) A．－3 B．1 C．0或－ D．1或－3 即·＝－1，解得a＝0. 3．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x－by－2＝0，则“＝－1”是“l1⊥l2”的(　 ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：因为直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x－by－2＝0，所以当l1⊥l2时，a·1＋(－1)(－b)＝0，即a＋b＝0，即＝－1或a＝b＝0，所以“＝－1”能推出“l1⊥l2”，“l1⊥l2”不能推出“＝－1”，所以“＝－1”是“l1⊥l2”的充分而不必要条件． 4．在平面直角坐标系内点A(4,2)，B(1，－2)，若在x轴上存在点C，使∠ACB＝，则点C的坐标为(　 ) A．(3,0) B．(0,0) C．(5,0) D．(0,0)或(5,0) 解析：设C(x0,0)，则kAC＝，kBC＝.∵∠ACB＝，∴AC⊥BC，则kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得x0＝0或x0＝5，∴点C的坐标为(0,0)或(5,0)．故选 D． 解：(1)由B(6,7)，C(0,4)和中点坐标公式得BC的中点为，又A(4,0)， 由直线方程的两点式得BC边上的中线的直线方程为＝，整理得11x＋2y－44＝0. (2)由B(6,7)，C(0,4)，得kBC＝＝， 所以其中点坐标为(2,2)，而kAC＝＝－1， 令x＝0，可得y＝－，即A，令y＝0，可得x＝－，即B， ∴＋＋＝10，解得b＝±10. A级——综合提能 1．直线l1，l2的斜率分别为－，－，若l1⊥l2，则实数a的值是(　 ) A．－ B．－ C． D． 解析：∵l1⊥l2，∴－×＝－1，∴a＝－. 2．下列直线与直线2x＋y＋1＝0垂直的是(　 ) A．2x－y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋2y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 解析：∵直线2x＋y＋1＝0的斜率为k1＝－2，∴与直线2x＋y＋1＝0垂直的直线的斜率k2＝＝，对照A、B、C、D各项，只有B项的斜率等于，故选B． 3．已知直线l1的一个方向向量为(2，t)，直线l2：2x－y＋1＝0，若l1⊥l2，则实数t的值为(　 ) A．1 B． C．－ D．－1 解析：由题意得，直线l2的斜率k2＝2，因为l1⊥l2，所以直线l1的斜率k1存在，且k1＝＝－，所以直线l1的一个方向向量可用斜率k1表示为(1，k1)＝.又因为直线l1的一个方向向量为(2，t)，所以t＝－1，故D正确． 解析：因为A(－2,1)，C(0,5)，所以其中点坐标是(－1,3)，又kAC＝＝2，所以AC的垂直平分线所在直线方程为y－3＝－(x＋1)，即x＋2y－5＝0.故选A． 解析：∵B(－1,0)，C(0,2)，则中点坐标为，kBC＝＝2， ∴BC的垂直平分线方程为y－1＝－， 即2x＋4y－3＝0，∵AB＝AC，△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上， 所以△ABC的欧拉线方程为2x＋4y－3＝0. 解析：设垂足为A，则kOA＝＝－， 由题意可知kl＝－＝， 所以直线l的方程是y－3＝(x＋2)，整理得2x－3y＋13＝0. 9．判断下列两条直线是否垂直，并说明理由． (1)l1：y＝－3x＋2，l2：y＝x＋5； (2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5； (3)l1：y＝2 025，l2：x＝2 024. 解：(1)∵k1＝－3，k2＝， (2)∵k1＝－，k2＝， 解：由斜率公式得kOP＝＝t， kQR＝＝＝t，kOR＝＝－， kPQ＝＝＝－. B级——应用创新 11．[多选]已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：x－by＋2＝0，则(　 ) A．若l1⊥l2，则＝－3 B．若l1∥l2，则ab＝3 C．若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则a＝± D．当b<0时，l2不经过第一象限 解析：当l1⊥l2时，a＋3b＝0，解得＝－3或a＝b＝0，故A错误． 在直线l1：ax－3y＋1＝0中，当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝－，所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S＝··＝1，解得a＝±，故C正确． 由题知当b<0时，l2：y＝x＋的图象如图所示，故D正确． 12．已知点P(3,1)，Q(0，t)是y轴上的动点，若在x轴上存在点M，使得MP⊥MQ，则实数t的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 解析：设M(x,0)．①当x＝3时，PM⊥x轴，点Q在原点，此时t＝0；②当x＝0时，kMQ不存在，kMP＝，不合题意；③当x≠0且x≠3时，则由kMP·kMQ＝×＝－1，得t＝－x2＋3x＝－2＋≤且t≠0.综上所述，实数t的取值范围是. ∴＋＝1. ∴m＋2n＝(m＋2n) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 4＋ ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－. ∴＝－， 解得m＝4＋. ∴解得 综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－. 即×3＝－1①. 由已知得kPN＝－2，由PN∥MQ，得kPN＝kMQ，即＝－2②. 又∵kNQ＝，kNP＝－2， ∴＝2，即x＝1， $$