2.3.1 课时2 两条直线垂直的判定课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

2.3.1 课时2 两条直线垂直的判定 第2章 作者编号：32200 1.掌握两条直线垂直的判定方法. 2.能利用两条直线的垂直关系，求参数或直线方程. 学习目标 作者编号：32200 两条直线l1，l2垂直的情况有哪几种？试画图说明. 2种，如下图所示. 问题导入 … … … 作者编号：32200 (1)若直线l1，l2有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1⊥l2. 新知探究 … … … 作者编号：32200 (1)若直线l1，l2有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1⊥l2. (2)若直线l1，l2有一条直线的斜率都存在，那么直线l1，l2的倾斜角α1，α2中必定一个是锐角，另一个是钝角. 不妨设α2是钝角，则α2＝α1＋，从而k2tan α2tan(α1+) ， 即k1k2＝-1. α1 α2 反之，如果k1k2＝-1，那么l1⊥l2. 作者编号：32200 思考：设直线l1的方向向量、法向量分别是m1，n1，l2的方向向量、法向量分别是m2，n2，如果l1⊥l2，则m1、m2之间，n1、n2之间分别有什么关系？ ①l1⊥l2⇔m1⊥m2⇔n1⊥n2； ②l1⊥l2⇔m1·m2＝0⇔n1·n2＝0. 新知探究 … … … 作者编号：32200 若两直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2. 方向向量m1=(1，k1)，m2=(1，k2) 设直线l1的方向向量、法向量分别是m1，n1，l2的方向向量、法向量分别是m2，n2，如果l1⊥l2，则m1、m2之间，n1、n2之间分别有什么关系？ l1⊥l2⇔k1k2＝-1 l1⊥l2⇔m1·m2＝0，即1+k1k2＝0 新知探究 … … … 作者编号：32200 若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 法向量n1=(A1，B1)，n2=(A2，B2) 设直线l1的方向向量、法向量分别是m1，n1，l2的方向向量、法向量分别是m2，n2，如果l1⊥l2，则m1、m2之间，n1、n2之间分别有什么关系？ l1⊥l2⇔n1·n2＝0，即A1A2+B1B2＝0 新知探究 … … … 作者编号：32200 两条直线的垂直 (1)设直线l1，l2的方程分别为y=k1x+b1，y=k2x+b2，则l1⊥l2⇔k1k2=-1. (2)设直线l1，l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0(A1，B1不同时为零，A2，B2不同时为零)，则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 知识梳理 作者编号：32200 例1 (1)已知四点A(5，3)，B(10，6)，C(3，－4)，D(－6，11)，求证：AB⊥CD； (2)已知直线l1:3x＋5y－10＝0，l2:15x－9y＋8＝0，求证：l1⊥l2. 证：(1)∵，， ∴，∴ (2)由方程可知，，， ∴∴l1⊥l2. 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 判断两直线是否垂直的依据：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两直线也垂直． 作者编号：32200 例2 (1)已知直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，求实数a的值. (2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直，求实数a的值. 解：(1)∵直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行， ∴3×8－(－4)a＝0 ，解得a＝－6 . (2)由直线l1⊥l2，得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0，解得a=±1. 故当a=1或a=-1时，直线l1⊥l2. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例3 求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程. 解：(方法一)设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，∴k＝， 又∵直线l经过点A(2，1)，∴直线l的方程为y-1＝(x－2)，即x－2y＝0. (方法二)设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2，1)，∴2－2×1＋m＝0， ∴m＝0. ∴直线l的方程为x－2y＝0. 新知探究 … … … 作者编号：32200 (1)求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在且斜率不为0，则利用斜率乘积等于－1求斜率；若不存在，则所求直线斜率为0，然后用点斜式求直线方程；若斜率为0，则所求直线斜率不存在. (2)与直线l1：Ax＋By＋C1＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，其中A，B不全为0. 归纳总结 作者编号：32200 根据本节课所学，回答下列问题： 1.设直线l1：y=k1x+bl，l2：y=k2x+b2，满足什么条件时，l1与l2垂直？ 2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，满足什么条件时，l1与l2垂直？ 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.已知直线l1的倾斜角为30°，且直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A. B. C. D. 2.“a2＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 C B 当堂检测 … … … 作者编号：32200 3.已知点A(2，3)，B(4，1)，直线x－2y＋4＝0与y轴相交于点C，则△ABC中AB边上的高CE所在直线的方程是( ) A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0 C.x－y＋2＝0 D.x－y－2＝0 4.(多选)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论正确的是( ) A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS C ABD 当堂检测 … … … 作者编号：32200 $$