第2章 2.2.1 直线的点斜式方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦直线的点斜式方程与斜截式方程核心知识点，前承直线斜率、倾斜角概念，通过问题驱动（如“给定一点和斜率如何确定直线方程”）引导推导，后为直线方程综合应用奠基，构建“问题-推导-辨析-应用”的学习支架。 资料以射击手瞄准情境引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，推导过程注重逻辑推理（如点斜式由斜率公式导出）发展数学思维，含参数直线方程分析（如恒过定点问题）强化用数学语言表达几何关系。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖基础与提升，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2.2.1　直线的点斜式方程 [学习目标]　1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题． 导语 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到上述的两个动作要求，分析子弹是否会击中目标． 一、直线的点斜式方程 问题1　给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？ 提示　 y－y0＝k(x－x0)． 知识梳理 我们称方程y－y0＝k(x－x0)为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．由于该方程由直线上一定点及其斜率确定，因此把方程y－y0＝k(x－x0)称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 例1　根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(－4,3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°. 解　(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－3＝3(x＋4)． (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－(x＋1)． 反思感悟　求直线的点斜式方程的思路 跟踪训练1　写出满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行． 解　(1)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线的点斜式方程为y＋3＝(x－2)． (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. 二、直线的斜截式方程 问题2　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程． 提示　y＝kx＋b. 知识梳理 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标称为直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b称为直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解　(1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y＝2x＋5. (2)∵直线的倾斜角为150°， ∴斜率k＝tan 150°＝－. 由斜截式可得方程为y＝－x－2. (3)∵直线的倾斜角为60°， ∴其斜率k＝tan 60°＝. ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线的斜截式方程为 y＝x＋3或y＝x－3. 跟踪训练2　求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程． 解　∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－， ∴其倾斜角α＝120°， 由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°， 故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝. ∴所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5， 故所求直线的方程为y＝x－5. 三、含参数的直线方程的几何特征 例3　已知直线l：y＝ax＋. (1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限； (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． (1)证明　因为y＝ax＋＝a＋， 所以直线l恒过定点. 因为点位于第一象限， 所以直线l必经过第一象限． (2)解　设A， 则直线OA的斜率kOA＝＝3. 若直线l不经过第二象限， 则直线l的斜率kl≥3， 即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，＋∞)． 反思感悟　对于含参数k的直线y－y0＝k(x－x0)，该直线恒过定点(x0，y0)． 跟踪训练3　(1)已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　) A．(1,3) B．(－1，－3) C．(3,1) D．(－3，－1) 答案　C 解析　直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)． (2)直线y＝ax－的图象可能是(　　) 答案　B 解析　因为直线y＝ax－，所以该直线的斜率与截距异号且a≠0，结合选项知B项正确． 1．知识清单： (1)直线的点斜式方程． (2)直线的斜截式方程． (3)含参数的直线方程的几何特征． 2．方法归纳：待定系数法、数形结合法． 3．常见误区：求直线的方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离． 1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过定点(2，－1)，斜率为－1 B．直线经过定点(1，－2)，斜率为－1 C．直线经过定点(－2，－1)，斜率为1 D．直线经过定点(－1，－2)，斜率为－1 答案　D 解析　直线的方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过定点(－1，－2)，斜率为－1. 2．已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　) A．9 B．－9 C. D．－ 答案　B 解析　由y＋＝(x－1)，得y＝x－9， ∴l在y轴上的截距为－9. 3．(多选)给出下列四个结论，正确的是(　　) A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B．若直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C．若直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 答案　BC 解析　方程k＝不经过点(－1,2)，与方程y－2＝k(x＋1)不表示同一条直线，故A错误；B，C显然正确；当直线的斜率不存在时，没有点斜式和斜截式方程． 4．经过点(－1,1)，且斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　) A．x＝－1 B．y＝1 C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1) 答案　C 解析　由题意知所求直线斜率为，故由点斜式知所求直线方程为y－1＝(x＋1)． 　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共30分 1．经过点P(0,2)且斜率为2的直线的方程为(　　) A．y＝－2x－2 B．y＝2x－2 C．y＝2x＋2 D．y＝－2x＋2 答案　C 解析　由点斜式可得直线的方程为y－2＝2(x－0)，化为y＝2x＋2. 2．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为(　　) A．x＝3 B．x＝－2 C．y＝3 D．y＝－2 答案　D 解析　∵直线与x轴平行， ∴其斜率为0， ∴直线的方程为y＝－2. 3．若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是(　　) A．y－1＝x B．y＋1＝x C．y－1＝－x D．y＋1＝－x 答案　B 解析　∵直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率为1， 又∵直线l过点(0，－1)， ∴直线l的方程为y＋1＝x. 4．直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为(　　) A．a＋b B．2a－b C．b－2a D．|2a－b| 答案　C 解析　由题意得，直线的斜截式方程为y＝2x＋b－2a，∴直线在y轴上的截距为b－2a. 5．(多选)关于一次函数y＝kx＋b(k>0)，下列结论正确的有(　　) A．当b>0时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当b<0时，函数图象经过第一、三、四象限 C．∀b∈R，函数图象必经过第一、三象限 D．∀b∈R，函数在R上恒为减函数 答案　ABC 解析　在一次函数y＝kx＋b中，若k>0，b>0，则函数图象经过第一、二、三象限； 若k>0，b<0，则函数图象经过第一、三、四象限； 若k>0，则函数图象必经过第一、三象限，且函数在R上恒为增函数． 6．(多选)已知直线l：y＝x－1，则(　　) A．直线l过点(，－2) B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为60° D．直线l在y轴上的截距为1 答案　BC 解析　对于A，将(，－2)代入y＝x－1，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由y＝x－1，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，可得α＝60°，故C正确； 对于D，由y＝x－1，令x＝0，可得直线l在y轴上的截距为－1，故D不正确． 7．(5分)不管k为何值，直线y＝k(x－2)＋3必过定点________． 答案　(2,3) 8．(5分)在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是________________． 答案　y＝x－6或y＝－x－6 解析　因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为或－， 又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y＝x－6或y＝－x－6. 9．(10分)求倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(－4,1)；(5分) (2)在y轴上的截距为－10.(5分) 解　由直线y＝－x＋1的斜率为－，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k＝. (1)因为直线过点(－4,1)， 所以由直线的点斜式方程得y－1＝(x＋4)． (2)因为直线在y轴上的截距为－10， 所以由直线的斜截式方程得y＝x－10. 10．(10分)直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程． 解　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，易知k≠0， 令y＝0，得x＝， 由三角形的面积为2，得××2＝2. 解得k＝. 可得直线l的方程为y－2＝(x－2)． 综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2)． 11．(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为(　　) A．y＝x＋3 B．y＝x－1 C．y＝－x＋3 D．y＝－x－1 答案　BC 解析　由题意可知直线的斜率为±1， 当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1；当直线的斜率为－1时，直线方程为y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3. 12．(多选)直线(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y轴上的截距为1，则m的值可以是(　　) A．－2 B．－ C. D．2 答案　CD 解析　令x＝0，得y＝. 由已知得＝1， 则4m＋1＝2m2－m＋3， 即2m2－5m＋2＝0， 解得m＝2或m＝，经检验，均符合题意． 13．直线y＝ax与直线y＝x＋a在同一直角坐标系中的图象可能是(　　) 答案　C 解析　对于选项A，y＝ax过坐标原点，a>0，所以直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项B，y＝ax过坐标原点，a>0，所以直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项C，y＝ax过坐标原点，a<0，所以直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意； 对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意． 14．(5分)将直线y＝(x－2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线的斜截式方程是________________. 答案　y＝－x＋2 解析　∵直线y＝(x－2)的倾斜角是60°， ∴按逆时针方向旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－，且过点(2,0)， ∴其方程为y－0＝－(x－2)，即其斜截式方程为y＝－x＋2. 15．(多选)在平面直角坐标系中，直线l：y＝k(x－2)＋3与坐标轴分别交于点A，B，则下列选项中是真命题的有(　　) A．存在正实数m，使得△OAB面积为m的直线l恰有一条 B．存在正实数m，使得△OAB面积为m的直线l恰有两条 C．存在正实数m，使得△OAB面积为m的直线l恰有三条 D．存在正实数m，使得△OAB面积为m的直线l恰有四条 答案　BCD 解析　由题意知k≠0，直线l：y＝k(x－2)＋3与x轴、y轴交点的坐标分别为A，B(0,3－2k)，当k＝时，直线l：y＝x过原点，∴k≠， 所以S△OAB＝××|3－2k|＝＝2，作出其图象如图所示， 由图可知，当0<m<12时，k有两个解； 当m＝12时，k有三个解；当m>12时，k有四个解． 结合选项可知B，C，D正确，A错误． 16．(10分)已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点；(4分) (2)若当－3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．(6分) (1)证明　由y＝kx＋2k＋1， 得y－1＝k(x＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(－2,1)． (2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方， 需满足即 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $