第1章 数列 章末检测试卷(一)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

章末检测试卷(一) [时间：120分钟　满分：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知数列1，，，，…，，则3是这个数列的第(　　) A．20项 B．21项 C．22项 D．23项 答案　D 解析　已知数列1，，，，…，， 则该数列的通项公式为an＝， 若＝3＝， 即2n－1＝45，解得n＝23， 则3是这个数列的第23项． 2．在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5， ∴d＝a4－a3＝7－5＝2. 3．在等比数列{an}中，a2＋a3＝1，a3＋a4＝2，则a4＋a5等于(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案　A 解析　由a3＋a4＝q(a2＋a3)，可得q＝2， 所以a4＋a5＝q(a3＋a4)＝4. 4．已知圆O的半径为5，|OP|＝3，过点P的2 023条弦的长度组成一个等差数列{an}，最短弦长为a1，最长弦长为a2 023，则其公差为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意，知最长弦长为直径，即a2 023＝10，最短弦长和最长弦长垂直， 由弦长公式得a1＝2＝8， 所以d＝＝. 5．已知等比数列{an}的各项均为正数，若log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝12，则a6a7等于(　　) A．1 B．3 C．6 D．9 答案　D 解析　因为等比数列{an}的各项均为正数， 且log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝12， 即log3(a1·a2·…·a12)＝12， 所以a1·a2·…·a12＝312， 所以(a6a7)6＝312，所以a6a7＝32＝9. 6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＋a7>0，a6＋a8<0，则Sn最大时n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　C 解析　∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a7>0，a6＋a8<0， ∴a6＋a8＝2a7<0， ∴a6>0，a7<0， ∴Sn最大时n的值为6. 7．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a8＝8(a1＋a5)，a2＋a6＋a10＝10，则S12等于(　　) A．45 B．75 C．80 D．90 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q，由a4＋a8＝8可知a1q3＋a5q3＝8， 所以q＝2，S12＝＋＋＋ ＝(a2＋a6＋a10)＋(a2＋a6＋a10)＋q(a2＋a6＋a10)＋q2(a2＋a6＋a10) ＝ ＝10×＝75. 8．若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”．已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列的前n项和为Tn，若Tn<m2－m－1对一切n∈N＋恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．(－1,3) B．[－1,3] C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 答案　D 解析　由题意，得数列{an}的前n项和为Sn， 由“均值数列”的定义可得＝n， 所以Sn＝n2， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1， 所以＝ ＝， 所以Tn＝ ＝<， 又Tn<m2－m－1对一切n∈N＋恒成立， 所以m2－m－1≥， 整理得m2－2m－3≥0， 解得m≤－1或m≥3. 即实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝3n，n∈N＋ B．an＝3n－1，n∈N＋ C．an＝(－1)n－13n，n∈N＋ D．an＝2n－1，n∈N＋ 答案　AC 解析　由a3＝a1q2，得q2＝9，即q＝±3. ∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n或an＝a1qn－1＝3×(－3)n－1＝(－1)n－13n.故数列{an}的通项公式是an＝3n，n∈N＋或an＝(－1)n－13n，n∈N＋. 10．已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an＋1(2－an)＝2，则(　　) A．a3＝ B．{an}是周期数列且周期为4 C．S4＝ D．S21＝ 答案　BCD 解析　A选项，当n＝1时，a2(2－a1)＝2， 即a2＝2，解得a2＝－4， 当n＝2时，a3(2－a2)＝2，即a3(2＋4)＝2， 解得a3＝，A错误； B选项，当n＝3时，a4(2－a3)＝2，即a4＝2，解得a4＝， 当n＝4时，a5(2－a4)＝2，即a5＝2， 解得a5＝，循环， 故{an}是周期数列且周期为4，B正确； C选项，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝－4＋＋＝，C正确； D选项，由于21＝4×5＋1，故S21＝5S4＋a1＝5×＋＝，D正确． 11．设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的是(　　) A．当n＝15时，Sn取最大值 B．当n＝30时，Sn＝0 C．当d>0时，a10＋a22>0 D．当d<0时，|a10|>|a22| 答案　BC 解析　因为S10＝S20， 所以10a1＋d＝20a1＋d， 解得a1＝－d. 所以Sn＝－dn＋d＝n2－15nd＝[(n－15)2－225]，对于选项A，因为d的正负不确定，Sn不一定有最大值，故A错误； 对于选项B，S30＝30a1＋d＝30×＋15×29d＝0，故B正确； 对于选项C，a10＋a22＝2a16＝2(a1＋15d)＝2＝d>0，故C正确； 对于选项D，a10＝a1＋9d＝－d＋d＝－d，a22＝a1＋21d＝－d＋d＝d， 因为d<0， 所以|a10|＝－d，|a22|＝－d，|a10|<|a22|，故D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”为今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，依此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是__________． 答案　195 解析　设共有n人， 根据题意得3n＋＝100n， 解得n＝195，所以一共有195人． 13．各项均为正数的等比数列{an}中，2a2，a4，3a3成等差数列，则＝________. 答案　 解析　由2a2，a4，3a3成等差数列得2a4＝2a2＋3a3， 由{an}是等比数列得2a1q3＝2a1q＋3a1q2， 化简得2q2＝2＋3q， 因为{an}各项均为正数，所以q>0. 解得q＝2(负值舍去)． 所以＝＝＝＝. 14．设等比数列{an}满足a1＋a2＝12，a1－a3＝6，则an＝__________；a1a2·…·an的最大值为________． 答案　n－4　64 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 由a1＋a2＝12，a1－a3＝6，可得 解得 ∴an＝8×n－1＝n－4. ∴a1a2·…·an＝－3－2－1＋0＋1＋…＋(n－4) ＝. 令f(n)＝n(n－7)＝(n2－7n) ＝2－， ∴当n＝3或n＝4时，f(n)有最小值， 即f(n)min＝－6， ∴a1a2·…·an的最大值为－6＝64. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15．(13分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3＝a3，求Sn.(7分) 解　(1)因为a1＝1，an＋1＝3an， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1. (2)由(1)得，b1＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3＝9，则b3－b1＝2d＝－4，d＝－2， 所以Sn＝13n＋×(－2)＝－n2＋14n. 16．(15分)在等差数列{an}中，a5－a2＝6，且a1，a6，a21依次成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(7分) (2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝，求n的值．(8分) 解　(1)设数列{an}的公差为d， 因为a5－a2＝6， 所以3d＝6，解得d＝2. 因为a1，a6，a21依次成等比数列， 所以a＝a1a21， 即(a1＋5×2)2＝a1(a1＋20×2)， 解得a1＝5， 所以an＝2n＋3. (2)由(1)知bn＝＝， 所以bn＝， 所以Sn＝ ＝，由＝， 得n＝15. 17．(15分)在数列{an}中，前n项和Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)． (1)证明：数列{an}为等比数列；(5分) (2)求数列{an}的通项公式；(5分) (3)当k＝－1时，求a＋a＋…＋a.(5分) (1)证明　因为Sn＝1＋kan，① Sn－1＝1＋kan－1(n≥2)，② 由①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)， 所以an＝an－1. 由已知可得当an＝0时，Sn＝1无意义， 所以an≠0. 当n＝1时，S1＝a1＝1＋ka1，所以a1＝. 所以{an}是首项为，公比为的等比数列． (2)解　因为a1＝，q＝， 所以an＝·n－1＝－. (3)解　因为在数列{an}中，a1＝， 公比q＝， 所以数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列． 当k＝－1时，{a}是首项为，公比为的等比数列， 所以a＋a＋…＋a ＝＝×. 18．(17分)近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平．某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元． (1)引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？(8分) (2)引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？(9分) 解　(1)设引进设备n年后总盈利为f万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为an，构成等差数列， 前n年成本之和为万元， 所以f＝100n－[24n＋4n(n－1)＋196] ＝－4n2＋80n－196＝－42＋204，n∈N＋， 所以当n＝10时，fmax＝204(万元)， 即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元． (2)设n年后平均盈利为g万元， 则g(n)＝＝－4n－＋80，n∈N＋， 因为g＝－4＋80， 当n∈N＋时，n＋≥2＝14， 当且仅当n＝，即n＝7∈N＋时取等号， 故n＝7时，gmax＝g＝24(万元)， 即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元． 19.(17分)在如图所示的三角形数阵中，第n行有n个数，aij表示第i行第j个数，例如，a43表示第4行第3个数．该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从 第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0)．已知a11＝2，a41＝a32＋2，＝m. (1)求m及a53；(8分) (2)记Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann，求Tn.(9分) 解　(1)由已知得a31＝a11＋(3－1)×m＝2m＋2， a32＝a31×m＝(2m＋2)×m＝2m2＋2m， a41＝a11＋(4－1)×m＝3m＋2， ∵a41＝a32＋2， ∴3m＋2＝(2m2＋2m)＋2， 即m2－2m＝0. 又m>0，∴m＝2， ∴a51＝a11＋4×2＝10， ∴a53＝a51×22＝40. (2)由(1)得an1＝a11＋(n－1)×2＝2n. 当n≥3时，ann＝an1·2n－1＝n·2n.(*) 又a21＝a11＋2＝4，a22＝ma21＝2×4＝8. a11＝2，a22＝8符合(*)式， ∴ann＝n·2n. ∵Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann， ∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n，① 2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，② 由①－②得， －Tn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1 ＝－n·2n＋1 ＝2n＋1－2－n·2n＋1 ＝(1－n)·2n＋1－2， ∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $