第1章 专题强化练2 数列求和（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

**基本信息** 聚焦数列求和全类型方法训练，通过分层梯度式解析构建"题型-方法-素养"三维体系，强化数学推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分组求和|2题|等差等比混合求和公式直接应用|通项分解→分拆为基本数列→公式法求和| |错位相减|1题|乘公比错位相减标准步骤|等比数列与等差数列乘积模型→错位相减消项→化简求和| |并项求和|2题|符号周期性分组转化|(-1)^n型数列→相邻项合并→分类讨论n奇偶性| |绝对值求和|1题|分段讨论去绝对值符号|等差数列正负项分界点→分段求和→整合表达式| |构造法|2题|递推公式构造新数列|aₙ₊₁=paₙ+q型→构造等比数列→求通项再求和|

专题强化练2　数列求和 1.(2025福建宁德福鼎第一中学月考)已知等差数列{an},a2=3,a5=9,则数列{an+22n}的前n项和Sn=(　　) A.n2+2n+(4n-1)　　　　　B.n2+2n-1 C.n2+(2n-1)　　　 　　D.n2+(4n-1) 2.(2025甘肃甘南州阶段检测)已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列,且lg a1+lg a2 023=0,若f(x)=,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023)等于(　　) A.2 020　　　　　B.4 046　　　　　C.2 023　　　　　D.4 038 3.(多选题)(2025江苏苏州吴江平望中学月考)已知Sn是公比为q(q≠0)的等比数列{an}的前n项和,若a1=1,a5=27a2,则下列说法正确的是　　(　　) A.q=3　　　　　 B.数列{Sn+2}是等比数列 C.S5=121　　　　　 D.2lg an=lg an-2+lg an+2(n≥3) 4.(2024贵州兴义月考)已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1·(4n-3),则S15+S22-S31的值是(　　) A.13　　　　　B.-76　　　　　C.46　　　　　D.76 5.(多选题)(2025内蒙古赤峰开学考试)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,则(　　) A.数列{an+1}是等比数列 B.an=2n-1 C.数列{an}的前n项和Sn=2n-n D.数列的前n项和Tn= 6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an+2=n,则S2 021=　　　　.  7.(2024安徽示范高中皖北协作区联考)已知数列{an}满足(-1)n+1an+2+ (-1)nan=3(-1)n+1(n∈N+),若a1=a2=1,则{an}的前20项和S20=　　　　.  8.(2024天津第二南开学校月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S7=35,a2a4=45. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 9.(2025甘肃兰州期末)已知数列{an}中,a1=1,a2=3,且=+(n∈N+),设bn=(n∈N+). (1)证明:{bn}是等差数列; (2)若cn=(n∈N+),求数列{cn}的前n项和Sn. 答案与分层梯度式解析 专题强化练2　数列求和 1.D　设等差数列{an}的公差为d,由a5=a2+3d,得9=3+3d,则d=2, 所以an=a2+(n-2)d=2n-1, 则数列{an+22n}的前n项和Sn=a1+22+a2+24+…+an+22n =(1+3+…+2n-1)+(22+24+…+22n)=+=n2+(4n-1). 2.C　由题意可知,lg a1+lg a2 023=lg(a1·a2 023)=0,所以a1·a2 023=1. 由等比数列的性质可得a1·a2 023=a2·a2 022=a3·a2 021=…=a1 012· a1 012=1. 由f(x)=,可得f==, 故f+f(x)=+=2,所以f(a1)+f(a2 023)=2. 令T=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023), 则2T=[f(a1)+f(a2 023)]+[f(a2)+f(a2 022)]+…+[f(a2 023)+f(a1)]=2×2 023, 所以T=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023)=2 023. 3.ACD　因为a1=1,a5=27a2,所以a1·q4=27a1·q,解得q=3或q=0(舍去),A正确;Sn+2=+2=(3n+3),因为==3-≠常数,所以数列{Sn+2}不是等比数列,B不正确;因为Sn==×(3n-1),所以S5=×(35-1)=121,C正确;an=a1qn-1=3n-1>0,所以当n≥3时,lg an-2+ lg an+2=lg(an-2·an+2)=lg =2lg an,D正确. 4.B　∵Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1·(4n-3), ∴S15=(1-5)+(9-13)+(17-21)+…+(49-53)+57=-4×7+57=29, S22=(1-5)+(9-13)+(17-21)+…+(81-85)=-4×11=-44, S31=(1-5)+(9-13)+(17-21)+…+(113-117)+121=-4×15+121=61, ∴S15+S22-S31=29-44-61=-76. 解题模板　当数列的通项公式为(-1)n-1与等差数列通项公式的乘积时,可利用(-1)n-1的周期性求和,即数列中相邻的两项的和为定值,将其结合成一组,根据n为奇数或偶数来判断结合后的组数,当n为偶数时,共有组;当n为奇数时,最后一项单独计算,前面有组. 5.ABD　对于A,B,由an+1=2an+1可得an+1+1=2(an+1),又a1+1=2≠0, 故{an+1}为等比数列,且其首项为2,公比为2, 则an+1=2×2n-1=2n,故an=2n-1,A,B正确; 对于C,数列{an}的前n项和Sn=-n=2n+1-n-2,C错误; 对于D,==-, 故Tn=++…+-=1-=,D正确. 6.答案　1 011 解析　当n≥2时,an+2=n,则an+1+2Sn=n+1,两式相减,可得an+an+1=1,所以a2+a3=1,a4+a5=1,a6+a7=1,……,所以S2 021=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 020+a2 021)=1+×1=1 011. 7.答案　-250 解析　由(-1)n+1an+2+(-1)nan=3(-1)n+1, 可得当n为奇数时,an+2-an=-2,则数列{a2n-1}是以a1=1为首项,-2为公差的等差数列, 于是a2n-1=1+(n-1)·(-2)=-2n+3; 当n为偶数时,-an+2+an=4,即an+2-an=-4, 则数列{a2n}是以a2=1为首项,-4为公差的等差数列,所以a2n=1+(n-1)·(-4)=-4n+5, 所以{an}的前20项和S20=×10+×10=-250. 8.解析　(1)设数列{an}的公差为d, 由S7=35,a2a4=45, 得解得 所以an=11+(n-1)×(-2)=13-2n. (2)由(1)得Sn==12n-n2, 令13-2n>0,得n<, 所以当n≤6时,an>0,此时Tn=Sn=12n-n2, 当n>6时,an<0,此时Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a6-(a7+a8+…+an)=S6-(Sn-S6)=2S6-Sn=2×(12×6-62)-(12n-n2)=n2-12n+72. 所以Tn= 9.解析　(1)证明:将=+两边同时乘以n(n+1),可得=+,即bn+1=bn+,∴bn+1-bn=, 又∵b1===, ∴数列{bn}是以为首项,为公差的等差数列. (2)由(1)知,bn=+(n-1)=,n∈N+, 即=,整理得an+1=3an, ∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列, ∴an=3n-1,n∈N+,∴cn==, ∴Sn=c1+c2+…+cn =+++…+ =×①, 则Sn=×②, 由①-②,可得Sn=× =×=×, ∴Sn= - . 7 学科网（北京）股份有限公司 $