清单02 数列概念与等差、等比数列（考点清单，知识导图+15个考点清单+题型解读）高二数学上学期湘教版2019

清单02 数列的概念与等差、等比数列 （15个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】数列的概念 1．定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列． 2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．第一个位置上的数叫做这个数列的第1项(或称为首项)，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，…，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项． 3．数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，其中n∈N *. 【清单02】数列的分类与通项公式 1．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 有穷数列 项数有限的数列 个数 无穷数列 项数无限的数列 按项的变 化趋势 递增数列 从第项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 【清单03】数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 【清单04】 等差数列的概念 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 【清单05】等差数列 1．等差数列的通项公式 　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 2．等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用 公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 【清单06】等比数列 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，第一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab. 3.等比数列的通项公式 　已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1. 4.等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1、项数n与公比q 首项a1、末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 5.等比数列前n项和的性质 　(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝；若项数为2n＋1，则＝. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)． (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列． 【考点题型一】数列的概念 【例1】（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 【变式1-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 【考点题型二】求数列项的最值 求数列最大(小)项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项. 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 【例2】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】（24-25高三上·山西大同·期末）等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【考点题型三】数列的周期性 【例3】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．2 【变式3-1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·四川·期中）已知数列满足，，则数列前2024项的积为（ ） A．4 B．1 C．     D． 【变式3-3】（23-24高二下·河南·期中）已知数列满足，且，若，则m的值可能为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【考点题型四】等差数列的概念 判断或证明一个数列是等差数列的方法 1、定义法：（常数）是等差数列； 2、中项法：是等差数列； 3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。 【例4】（23-24高二下·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·山东菏泽·期中）从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（    ） A．16个 B．24个 C．32个 D．48个 【变式4-2】（23-24高二下·浙江·期中）对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点题型五】等差数列基本量的计算 （1）在等差数列中，，或，两个公式共涉及，，，及五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前项和；、 （2）依据方程的思想，在等差数列前项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。 【例5】（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）等差数列满足，，则该等差数列的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为（    ） A．52 B．62 C． D． 【变式5-2】（23-24高二下·广东·期中）已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（    ） A．910 B．900 C．890 D．880 【变式5-3】（23-24高二下·江西萍乡·期中）等差数列中，，则（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 【考点题型六】等差数列项的性质 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）等差数列中，若，为方程的两根，则等于（   ） A．10 B．15 C．20 D．40 【变式6-1】（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 【变式6-2】（23-24高二下·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【变式6-3】（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 【考点题型七】等差数列和的性质 【例7】（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 【变式7-1】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为30，前项和为90，则它的前项和为（    ） A．130 B．150 C．180 D．210 【考点题型八】等差数列和的最值问题 【例8】（23-24高二下·全国·课堂例题）若数列为等差数列，为前n项和，，，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．和均为的最大值 【变式8-1】（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式8-2】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）解关于x的不等式. 【考点题型九】等差数列的应用 【例9】（23-24高二下·北京房山·期中）世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（    ） A．磅 B．磅 C．磅 D．磅 【变式9-1】（24-25高二下·全国·单元测试）有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2024个数字为（    ） A．5983 B．5984 C．5985 D．以上都不对 【变式9-2】（24-25高二上·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升 【考点题型十】等比数列的定义 【例10】（23-24高二下·辽宁·期中）（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p； （2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列． 【变式10-1】（23-24高二下·浙江·开学考试）已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C．数列中任意三项不能构成等比数列 D．数列中可能存在三项成等比数列 【变式10-2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列数列是否为等比数列： (1)； (2)； (3). 【变式10-3】（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)判断数列是否为等比数列； (3)证明：数列为等差数列，并求该数列的前项和． 【考点题型十一】等比数列的基本量计算 【例11】（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）等比数列中，若，则公比为（ ） A．1 B．－2 C．2 D．2或－2 【变式11-1】（2024高二·全国·专题练习）记为等比数列的前项和．若，，则 ． 【变式11-2】（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 【考点题型十二】等比数列项的性质 【例12】（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式12-1】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列是等比数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24高二下·山东日照·期末）已知等比数列，，为函数的两个零点，则（    ） A． B． C． D．3 【考点题型十三】等比数列和的性质 【例13】（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．75 【变式13-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【变式13-2】（23-24高二下·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【变式13-3】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【考点题型十四】等比数列前n项积的最值 【例14】（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于4044 【变式14-1】（多选）（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）记等比数列的前n项和为，前n项积为，且满足，则（　　） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【变式14-2】（多选）（23-24高二下·陕西渭南·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值 【考点题型十五】等比数列的应用 【例15】 （23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 【变式15-1】（23-24高二下·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【变式15-2】（23-24高二下·北京怀柔·期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数 ；第个图形的周长 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 数列的概念与等差、等比数列 （15个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】数列的概念 1．定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列． 2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．第一个位置上的数叫做这个数列的第1项(或称为首项)，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，…，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项． 3．数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，其中n∈N *. 【清单02】数列的分类与通项公式 1．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 有穷数列 项数有限的数列 个数 无穷数列 项数无限的数列 按项的变 化趋势 递增数列 从第项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 【清单03】数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 【清单04】 等差数列的概念 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 【清单05】等差数列 1．等差数列的通项公式 　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 2．等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用 公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 【清单06】等比数列 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，第一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab. 3.等比数列的通项公式 　已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1. 4.等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1、项数n与公比q 首项a1、末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 5.等比数列前n项和的性质 　(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝；若项数为2n＋1，则＝. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)． (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列． 【考点题型一】数列的概念 【例1】（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 【答案】BD 【解析】A选项，有限数列的项数是有限的，故A错误； B选项，因数列的项数均为正整数，则若将项数作为横坐标， 项作为纵坐标画在平面直角坐标系中，则相应图象为一系列孤立的点，故B正确. C选项，相同数列是指，两个数列，相同的项数对应相同的项， 则数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，故C错误； D选项，因数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有限数列与无限数列， 则数列可看作定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数，故D正确. 故选：BD 【变式1-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 【答案】A 【解析】对于A项，设， 则对恒成立， 所以，数列是递增数列.故A正确； 对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误； 对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误； 对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关. 所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误.故选：A. 【考点题型二】求数列项的最值 求数列最大(小)项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项. 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 【例2】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】数列中，，则， 令，解得，则当时，，即， 同理当时，，即，而当时，， 所以数列的偶数项中最大项为.故选：D 【变式2-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】， 当，时，，，且随着的变大，变大， 当，时，，，且随着的变大，变大， 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，.故选：C 【变式2-2】（24-25高三上·山西大同·期末）等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比，再根据等比数列的前项和公式求出，判断出数列的单调性即可得解. 【解析】设公比为， 由成等差数列，得， 又数列为等比数列，所以得，解得， 所以， 令， 则， 所以数列递增数列， 所以当时，取得最小值1. 故选：D. 【考点题型三】数列的周期性 【例3】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据递推式写出数列前面几项得出数列周期，进一步即可求解. 【解析】由题意可得：， 由此可以发现数列的周期是3， 从而. 故选：A. 【变式3-1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，找到规律，即可判断. 【解析】因为且， 所以，， ，，，， 所以是以为周期的周期数列，所以. 故选：C 【变式3-2】（23-24高二下·四川·期中）已知数列满足，，则数列前2024项的积为（ ） A．4 B．1 C．     D． 【答案】B 【分析】先找到数列的周期，然后求得数列前2024项的积. 【解析】因为，所以， ，所以数列的周期为4. 由，则，，， 所以数列前2024项的乘积为. 故选：B. 【变式3-3】（23-24高二下·河南·期中）已知数列满足，且，若，则m的值可能为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【解析】数列的递推公式为，由， 则有，，，， ，则是以4为周期的周期数列， ，有，，故m的值可能为2024，故选：D． 【考点题型四】等差数列的概念 判断或证明一个数列是等差数列的方法 1、定义法：（常数）是等差数列； 2、中项法：是等差数列； 3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。 【例4】（23-24高二下·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 【变式4-1】（23-24高二下·山东菏泽·期中）从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（    ） A．16个 B．24个 C．32个 D．48个 【答案】C 【分析】分别对公差的各不同取值判断等差数列的个数，即可求解． 【详解】解：当公差时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9共7个； 当公差时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5个； 当公差时，数列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9共3个； 当公差时，数列有1，5，9共1个， 同理，当时，有7个， 当时，有5个， 当时，有3个， 当时，有1个， 故共有． 故选：C． 【变式4-2】（23-24高二下·浙江·期中）对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式计算可证明充分性；由得，两式相减，结合等差中项的应用即可证明必要性. 【详解】充分性：若是等差数列， 则． 必要性：若，则， 两式相减得， 即，所以是等差数列． 所以甲是乙的充要条件. 故选：C． 【考点题型五】等差数列基本量的计算 （1）在等差数列中，，或，两个公式共涉及，，，及五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前项和；、 （2）依据方程的思想，在等差数列前项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。 【例5】（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）等差数列满足，，则该等差数列的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据条件，利用等差数列的前项和公式，得到，进而得到，即可求解. 【详解】由，得到，又，所以 故. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为（    ） A．52 B．62 C． D． 【答案】A 【分析】由题意先求出等差数列的首相和公差，可求出等差数列的通项公式，令即可得出答案. 【详解】由题意设等差数列的首相和公差分别为， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 【变式5-2】（23-24高二下·广东·期中）已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（    ） A．910 B．900 C．890 D．880 【答案】A 【分析】先确定新数列的首项，再根据两个等差数列的公共项构成的数列依然是等差数列，且公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数确定公差，可求前10项和. 【详解】因为两个等差数列的首项均为1，公差分别为4，5， 所以是首项为1，公差为的等差数列，则． 故选：A 【变式5-3】（23-24高二下·江西萍乡·期中）等差数列中，，则（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解． 【详解】设等差数列的公差为， ，则， ，则，解得，， ． 故选：B． 【考点题型六】等差数列项的性质 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）等差数列中，若，为方程的两根，则等于（   ） A．10 B．15 C．20 D．40 【答案】B 【分析】根据韦达定理求得，然后利用等差数列下标和的性质求解即可. 【详解】∵，为方程的两根，∴， 由等差数列的性质得，即， ∴. 故选：B 【变式6-1】（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 【答案】B 【分析】根据下标和性质计算可得. 【详解】因为，且，所以， 又，所以， 又，所以，解得. 故选：B 【变式6-2】（23-24高二下·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】直接由等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 【变式6-3】（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为和，且， 所以. 故选：C 【考点题型七】等差数列和的性质 【例7】（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和性质解题即可. 【详解】记为等差数列的前项和,则也是等差数列. 由于，则成等差数列. 则，解得. 则成等差数列．故，则. 故选：B. 【变式7-1】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】B 【分析】利用等差数列的前项和的性质代入计算即得. 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 即，即，解得. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为30，前项和为90，则它的前项和为（    ） A．130 B．150 C．180 D．210 【答案】C 【分析】由等差数列片段和的性质即可求解. 【详解】等差数列的前项和中，也成等差数列， 即成等差数列，． 故选：C． 【考点题型八】等差数列和的最值问题 【例8】（23-24高二下·全国·课堂例题）若数列为等差数列，为前n项和，，，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．和均为的最大值 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，结合等差数列的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】依题意，设等差数列的公差为， 由，得， 对于A，由，A正确； 对于B，由，B正确； 对于C，由，，C错误； 对于D，由，可得数列为递减数列，且，则， 所以和均为的最大值，D正确. 故选：C 【变式8-1】（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质，探讨数列单调性，并确定非正数项即可得解. 【详解】等差数列中，，，则， 因此数列是递增等差数列，前5项均为负数，从第6项起为正， 所以当取得最小值时，. 故选：B 【变式8-2】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）解关于x的不等式. 【考点题型九】等差数列的应用 【例9】（23-24高二下·北京房山·期中）世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（    ） A．磅 B．磅 C．磅 D．磅 【答案】D 【分析】结合题意，利用等差数列的性质计算即可得. 【详解】设五个人从小到大所得面包为、、、、，设其公差为， 则由题意可得，即， 整理可得，又，即， 即有，即，即最小的1份为磅. 故选：D. 【变式9-1】（24-25高二下·全国·单元测试）有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2024个数字为（    ） A．5983 B．5984 C．5985 D．以上都不对 【答案】B 【分析】由数列的求和公式求解． 【详解】由题意知，A第n次报数的个数为：， 则A第n次报完数后共报的个数为：， 再代入正整数n，使得，则， 解得n的最小值为37，得， 而A第37次报时，3人总共报了次， 当A第109次报完数，3人总的报数个数为：， 则A报出的第2035个数字为5995， 故A报出的第2024个数字为：， 故选：B 【变式9-2】（24-25高二上·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升 【答案】A 【分析】根据题意建立数列模型，由等差数列定义可求得首项和公差，即可求出结果. 【详解】设从下至上各节的容积分别为， 由题意知为等差数列，公差为， 因为，即， 解得 所以． 故选：A 【考点题型十】等比数列的定义 【例10】（23-24高二下·辽宁·期中）（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p； （2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列． 【答案】（1）或；（2）证明见解析 【分析】（1）利用等比数列的定义及等比中项的性质待定系数计算即可； （2）利用等比数列的定义，证前三项不符合等比数列定义即可. 【详解】（1）∵是等比数列， ∴， 将代入上式，得 ， 即， 整理得：． 解得：或； （2）设，的公比分别为p，q，，， 为证不是等比数列，只需证：． 事实上，， ． 由于，， 又，不为零，则， 因此，，故不是等比数列． 【变式10-1】（23-24高二下·浙江·开学考试）已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C．数列中任意三项不能构成等比数列 D．数列中可能存在三项成等比数列 【答案】BC 【分析】设数列的公差为，求出的值，求出、，利用等差数列的定义可判断AB选项；利用反证法结合等比数列的定义可判断CD选项. 【详解】设数列的公差为，则， 所以，， 所以，，则， 所以，数列为等差数列， 所以，， 所以，数列为等差数列，故B正确，A错误； （反证法）假设数列中存在三项、、能构成等比数列， 即成立，由上可得， 所以，， 整理得：， 所以，，可得， 可得，整理可得，可得， 与已知条件矛盾，所以，数列中任意三项不能构成等比数列， 同理可知，数列中任意三项不能构成等比数列，故C正确，D错误. 故选：BC. 【变式10-2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列数列是否为等比数列： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)是等比数列 (2)不是等比数列 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）由等比数列定义判断或证明即可. 【详解】（1）记数列为，则． ， 数列为等比数列，且公比为3； （2）记数列为，则，，，…， ， 数列不是等比数列． （3）当时，数列为不是等比数列； 当时，因为， 所以数列是等比数列，且公比为； 综上所述，当时，数列不是等比数列； 当时， 数列是等比数列. 【变式10-3】（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)判断数列是否为等比数列； (3)证明：数列为等差数列，并求该数列的前项和． 【答案】(1) (2)数列不为等比数列 (3)数列为等差数列， 【分析】（1）分和两种情况，根据与之间的关系分析求解； （2）由（1）可知：，取前三项检验即可； （3）由（1）可知：，利用等差数列的定义以及求和公式分析求解. 【详解】（1）因为， 若，可得； 若，可得； 由于不符合，所以. （2）由（1）可知：， 则，可知， 所以数列不为等比数列. （3）因为，则， 由（1）可知：， 则， 可知数列是以首项，公差的等差数列， 所以该数列的前项和. 【考点题型十一】等比数列的基本量计算 【例11】（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）等比数列中，若，则公比为（ ） A．1 B．－2 C．2 D．2或－2 【答案】C 【分析】由等比数列定义得，结合已知即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 所以， 故选：C. 【变式11-1】（2024高二·全国·专题练习）记为等比数列的前项和．若，，则 ． 【答案】 【分析】运用等比数列通项公式构造方程组，解出首项和公比，即可求出 【详解】设等比数列的公比为，① 由， 可得解得② 所以．③ 故答案为：． 【变式11-2】（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）（2）根据题意结合等比数列的通项公式列式求解即可. 【详解】（1）因为，则，解得， 当时，； 当时，． 综上所述：或. （2）因为，则，即． 又因为，则，即． 两式相除得，所以． 【考点题型十二】等比数列项的性质 【例12】（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用等比数列的下标性质，结合对数性质可解. 【详解】，则， 根据等比数列的性质，知道, 则，则，即，则. 故选：C. 【变式12-1】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列是等比数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质运算即可. 【详解】因为是等比数列，所以，所以. 故选：. 【变式12-2】（23-24高二下·山东日照·期末）已知等比数列，，为函数的两个零点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由题意，结合对数运算性质、等比数列性质即可求解. 【详解】由题意是一元二次方程的两个根，由韦达定理有， 而对于等比数列而言，， 从而 . 故选：C. 【考点题型十三】等比数列和的性质 【例13】（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．75 【答案】B 【分析】利用等比数列的片段和性质列式运算即可得解. 【详解】因为正项等比数列中，为其前项和， 则也是等比数列，即， 又，，所以，解得. 故选：B. 【变式13-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 【变式13-2】（23-24高二下·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】法一：由性质可得答案；法二：求出，再求出其公比为2，则，化简即可. 【详解】法一：设等比数列的公比为， 等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1， 则， 令，则有，由题意，得. 法二：当时，， 当时，. ， 为等比数列，当时，， 化简得. 故选：C. 【变式13-3】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 【考点题型十四】等比数列前n项积的最值 【例14】（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于4044 【答案】AD 【分析】先由条件分类讨论得到，，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】，，， 同号，且或， 若，则不同号； 若，则，不满足要求； 故可得，，故A正确； ，且，可得，故B错； ，又，且最大，故C错； ，且为等比数列， 由等比数列的性质可得，， 使成立的最大自然数等于4044，故D正确. 故选：AD. 【变式14-1】（多选）（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）记等比数列的前n项和为，前n项积为，且满足，则（　　） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，由等比数列性质得到；B选项，；C选项，得到，C正确；D选项，由等比数列性质得到，故D正确. 【详解】A选项，由等比数列性质得，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，设公比为，因为， 所以，故， 故是数列中的最大项，C正确； D选项，由等比数列性质得， 故，D正确. 故选：ACD 【变式14-2】（多选）（23-24高二下·陕西渭南·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值 【答案】ABC 【分析】根据题中条件，分析出为单调递减的数列，，.A选项利用即可判断正确；B选项利用等比中项即可判断正确；C选项可分析出数列中多少项比大即可判断；D选项，利用C的判断，可判断D的正误. 【详解】由，，可得为单调递减的数列且， 由可得，. A选项：，显然A正确； B选项：， 根据等比中项可得，显然B正确； C选项：由，为单调递减的数列且， 可知的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1， 所以数列中的最大值是，所以C正确； D选项：由C正确可知，有最大值，所以D错误. 故选：ABC. 【考点题型十五】等比数列的应用 【例15】 （23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 【答案】B 【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可. 【详解】依题意，当时，，则， 于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 【变式15-1】（23-24高二下·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【答案】C 【分析】由已知结合等差数列与等比数列的求和公式即可判断． 【详解】第一种可以领取报酬元； 第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列， 则第二种可以领取报酬元； 第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列， 则第三种可以领取报酬元， 因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬． 故选：C． 【变式15-2】（23-24高二下·北京怀柔·期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数 ；第个图形的周长 ．    【答案】 48 【分析】根据已知，结合图形，寻找规律，再利用等比数列的通项公式求解. 【详解】由题知，下个图形的边长是上一个图形的，边数是上一个图形4倍， 因为第1个图形的边数3，所以第2个图形的边数12，第3个图形的边数48. 设第个图形的周长为，则周长之间的关系为， 所以数列是首先为3，公比为的等比数列，所以. 故答案为：48；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$