第1章 习题课 数列求和(二)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

习题课　数列求和(二)

[学习目标]　1.熟练掌握等差和等比数列前n项和的结构特点以及各个符号的意义.2.掌握错位相减法的一般过程和思路以及数列求和中的创新问题．

一、错位相减法求和

例1　在①：Sn＝2n－3n－1；②：an＋1＝2an＋3，a1＝－1这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．设数列{an}的前n项和为Sn，且________．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝n·(an＋3)，求数列{bn}的前n项和Tn.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

解　(1)若选①：∵Sn＝2n－3n－1，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3n－1－[2n－1－3(n－1)－1]＝2n－1－3，

当n＝1时，a1＝S1＝－2满足上式，

故an＝2n－1－3.

若选②：an＋1＝2an＋3，a1＝－1，

易得an＋1＋3＝2(an＋3)，

于是数列{an＋3}是以a1＋3＝2为首项，2为公比的等比数列，

∴an＋3＝2n，∴an＝2n－3.

(2)若选①：由(1)得bn＝n·2n－1，

从而Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，

2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，

作差得－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n

＝－n·2n＝(1－n)2n－1，

于是Tn＝(n－1)2n＋1.

若选②：由(1)得bn＝n·2n，

从而Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，

2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，

作差得－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1

＝－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，

于是Tn＝(n－1)2n＋1＋2.

反思感悟　(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项

和时，可采用错位相减法．

(2)用错位相减法求和时，应注意：

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．

②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．

跟踪训练1　设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N＋.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设anbn＝n，求数列{bn}的前n项和Sn.

解　(1)由于a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N＋，

所以当n≥2时，a1＋3a2＋…＋3n－2an－1＝，

两式相减得3n－1an＝，故an＝.经验证当n＝1时上式也成立，故数列{an}的通项公式为an＝.

(2)由题意及(1)知bn＝n·3n，得

Sn＝3＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n·3n，

两边同乘3，得3Sn＝32＋2×33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1，

两式相减得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1

＝－n·3n＋1＝－＋·3n＋1，

所以Sn＝＋·3n＋1.

二、数列求和中的创新问题

例2　在①S3＝6，S5＝15；②公差为1，且a2，a4，a8成等比数列；③a1＝1，a2＋a3＋a5＋a6＝16，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．

问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足________．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令cn＝[lg an ]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求c1＋c2＋…＋c2 023.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

解　(1)设等差数列{an}的公差为d，

若选①，因为S3＝6，S5＝15，

所以解得a1＝d＝1，

所以an＝a1＋(n－1)d＝n.

若选②，

因为等差数列{an}的公差为1，且a2，a4，a8成等比数列，所以a2a8＝a，

即(a1＋1)(a1＋7)＝(a1＋3)2，解得a1＝1，

所以an＝a1＋(n－1)d＝n.

若选③，

因为等差数列{an}中，a1＝1，

a2＋a3＋a5＋a6＝16，

所以4a1＋12d＝16，

即4＋12d＝16，解得d＝1，

所以an＝a1＋(n－1)d＝n.

(2)由(1)知cn＝[lg an]＝[lg n]，

因为c1＝[lg 1]＝0，c10＝[lg 10]＝1，

c100＝[lg 100]＝2，c1 000＝[lg 1 000]＝3，

所以当1≤n≤9时，cn＝0，

当10≤n≤99时，cn＝1，

当100≤n≤999时，cn＝2，

当1 000≤n≤2 023时，cn＝3，

所以c1＋c2＋…＋c2 023＝9×0＋90×1＋900×2＋(2 023－999)×3＝4 962.

反思感悟　数列求和中的创新问题往往和函数、不等式、平面几何等实际问题相结合，重点考查数列求和的应用意识．

跟踪训练2　“提丢斯数列”是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0,3,6,12,24,48,96,192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4,7,10,16,28,52,100,196，…；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6，…，则下列说法中，正确的是(　　)

A．“提丢斯数列”是等比数列

B．“提丢斯数列”的第99项为

C．“提丢斯数列”的前31项和为＋

D．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项

答案　C