第1章 再练一课(范围：§1.3)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

再练一课(范围：§1.3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．等比数列{an}中，若a2＝，a5＝，则a8等于(　　) A．12 B．10 C．8 D．4 答案　D 解析　设等比数列{an}的公比为q， 则 解得所以a8＝a1×q7＝×27＝4. 2．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是(　　) A．－2和2 B．1和4 C．2和4 D．2和1 答案　A 解析　由一元二次方程根与系数的关系可知方程x2－5x＋4＝0的两根之积为4， 又因为4＝(±2)2，故方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是±2. 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝2，a5＝16，则S10等于(　　) A．1 023 B．511 C．－1 023 D．－511 答案　A 解析　设{an}的公比为q，由题意可得q3＝＝8，所以q＝2， 由题意可得a1＝＝1， 故S10＝＝＝1 023. 4．已知等差数列{an}的公差d为正数，等比数列{bn}的公比为q，若a1＝b1＝1，a2＝b2，a14＝b4，则d＋q等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　由a2＝b2，a14＝b4，得 ∵d>0，∴q>1，所以＝13，∴q2＋q－12＝0，解得q＝3，d＝2，d＋q＝5. 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn，若an∈(0,2 022)，则称项an为“和谐项”，则数列{an}的所有“和谐项”的平方和为(　　) A.×412－ B.×411－ C.×410＋ D.×411＋ 答案　D 解析　由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝Sn－Sn－1，即an＋1－an＝an，an＋1＝2an，＝2(n≥2)，∵a1＝2，∴a2＝S1＝a1＝2，故an＝∵an∈(0,2 022)，∴1≤n≤11， ∴数列{an}的所有“和谐项”的平方和为a＋a＋…＋a＋a＝4＋4＋42＋…＋410＝4＋＝4＋＝×411＋. 6．设数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，数列的前m项和Tm＝，则m的值为(　　) A．8 B．10 C．12 D．20 答案　A 解析　＝＝－，Tm＝＋＋＋…＋＝－， 则－＝，得2m＋1＋1＝513，解得m＝8. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且2Sn＝3an＋m，则(　　) A．m＝－1 B．{an}是等差数列 C．an＝n－1 D．Sn＝ 答案　AD 解析　当n＝1时，2S1＝2a1＝3a1＋m，因为a1＝1，所以m＝－1，故A正确； 于是2Sn＝3an－1，当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－1，所以2an＝2Sn－2Sn－1＝3an－1－(3an－1－1)＝3an－3an－1，即an＝3an－1，即＝3， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，故an＝3n－1，Sn＝，故BC错误，D正确． 8．设Sn是公比为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2＝，a3a5＝，则(　　) A．a1＝ B．S3＝ C．an＋Sn为常数 D．{Sn－2}为等比数列 答案　CD 解析　设等比数列{an}的公比为q(q>0)，所以a3a5＝a2qa2q3＝aq4＝q4＝，则q＝，又因为a2＝a1q＝a1＝，则a1＝1，故A错误；an＝a1qn－1＝n－1，Sn＝＝2＝2－n－1，S3＝2－2＝，故B错误；an＋Sn＝n－1＋2－n－1＝2，故C正确；Sn－2＝2－n－1－2＝－n－1，因为＝＝，故{Sn－2}为等比数列，故D正确． 9．《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第n天所织布的尺数为an，bn＝，则(　　) A．b10＝8b5 B．数列{bn}是等比数列 C．a1b30＝105 D.＝ 答案　BD 解析　由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，首项a1＝5， 则30a1＋＝9×4×10＋30＝390， 解得d＝，∴an＝a1＋(n－1)d＝. ∵bn＝2an，∴＝＝2d， ∴数列{bn}是等比数列，B选项正确； ∵5d＝5×＝≠3，∴＝(2d)5＝25d≠23，A选项错误； a30＝a1＋29d＝21，∴a1b30＝5×221>105，C选项错误； a4＝a1＋3d＝5＋3×＝， a5＝a1＋4d＝5＋4×＝， ∴＝＝＝，D选项正确． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．已知数列{an}为递增的等比数列，a1，a2是关于x的方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，则其前5项和S5＝________. 答案　31 解析　由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2， ∵数列{an}为递增的等比数列，a1，a2是关于x的方程x2－3x＋2＝0的两个实数根， ∴a1＝1，a2＝2，∴公比q＝2， ∴其前5项和S5＝＝31. 11．已知等比数列{an}的公比为q，且16a1，4a2，a3成等差数列，则q＝__________. 答案　4 解析　因为{an}为等比数列，且公比为q，所以a2＝a1q，a3＝a1q2且a1≠0，q≠0.因为16a1，4a2，a3成等差数列，所以16a1＋a3＝2×4a2，即16a1＋a1q2＝2×4a1q，整理得q2－8q＋16＝0，解得q＝4. 12．已知数列{an}的首项为2，且满足an＋1＝，则＝________. 答案　3－ 解析　由题知，＝＝＋，则－3＝， 所以＝，因为－3＝－， 所以数列是以－为首项，为公比的等比数列， 所以－3＝×n－1＝－， 则＝3－. 四、解答题(共37分) 13．(12分)在等比数列{an}中， (1)已知a1＝1，公比q＝－2，求前8项和S8；(4分) (2)已知a1＝－，a4＝96，求前4项和S4；(4分) (3)已知公比q＝，前5项和S5＝，求a1，a5.(4分) 解　(1)S8＝1×＝－85. (2)由a4＝a1q3，得96＝－·q3，解得q＝－4，所以S4＝－×＝. (3)由S5＝a1×5＝，得a1＝2，所以a5＝a1q4＝. 14．(12分) 在公差为2的等差数列{an}中，a1＋1，a2＋2，a3＋4成等比数列． (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)求数列{an－2n}的前n项和Sn.(6分) 解　(1)∵{an}的公差为d＝2， ∴a2＝a1＋2，a3＝a1＋4. ∵a1＋1，a2＋2，a3＋4成等比数列， ∴(a1＋1)(a1＋8)＝(a1＋4)2， 解得a1＝8， 从而an＝8＋2(n－1)＝2n＋6. (2)由(1)得an＝2n＋6， ∴an－2n＝2n＋6－2n， ∴Sn＝(8＋10＋…＋2n＋6)－(2＋22＋…＋2n) ＝－ ＝n(n＋7)－(2n＋1－2) ＝n2＋7n－2n＋1＋2. 15．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0，求{bn}的前n项和Tn.(7分) 解　(1)当n＝1时，由4S2＝3S1－9，得4(a1＋a2)＝3a1－9，则4a2＝－9＝－，解得a2＝－， 当n≥2时，由4Sn＋1＝3Sn－9，① 得4Sn＝3Sn－1－9，② ①－②得4an＋1＝3an， ∵a2＝－≠0，∴an≠0，∴＝， 又＝，∴{an}是首项为－，公比为的等比数列， ∴an＝－×n－1＝－3×n. (2)由3bn＋(n－4)an＝0， 得bn＝－an＝(n－4)·n， ∴Tn＝－3×－2×2－1×3＋0×4＋…＋(n－4)·n， Tn＝－3×2－2×3－1×4＋…＋(n－5)·n＋(n－4)·n＋1， 两式相减得Tn＝－3×＋2＋3＋4＋…＋n－(n－4)·n＋1 ＝－＋－(n－4)·n＋1 ＝－＋－4×n＋1－(n－4)·n＋1 ＝－n·n＋1， ∴Tn＝－4n·n＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $