第1章 1.3.2 等比数列与指数函数（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦等比数列与指数函数的核心关联，梳理从通项公式与指数函数的对应关系出发，到等比数列增减性、常数列、摆动数列等性质推导，再到构造新等比数列及项间关系应用的知识脉络，搭建阶梯式学习支架。 该资料以问题驱动与类比推理为特色，通过问题链引导学生用数学眼光抽象函数关系，类比等差数列推导等比数列性质培养推理意识，如例1结合充分必要条件判断强化逻辑思维。课中助力教师分层教学，课后帮助学生通过跟踪训练查漏补缺，提升数学语言表达与模型应用能力。

1．3.2　等比数列与指数函数 [学习目标]　1.掌握等比数列与函数的关系.2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.3.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．　　　　　　　　　　　　　　　　 一、等比数列的通项公式与函数的关系 问题1　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示　由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 知识梳理 (1)当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列． (2)当a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列． (3)当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列． (4)当a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列． (5)当q＝1时，数列{an}为常数列． (6)当q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． 例1　已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　D 解析　当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,0<q<1，即必要性不成立； 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分又不必要条件． 延伸探究　若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　若等比数列{an}是递增数列， 可得a1<a3<a5一定成立； 反之，例如数列， 此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要而不充分条件． 反思感悟　判断等比数列的增减性时，要结合等比数列的函数性质，选择恰当的性质解题． 跟踪训练1　设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q， 由a1<a2，可得a1(q－1)>0， 解得或 此时数列{an}不一定是递增数列； 由数列{an}为递增数列， 可得a1<a2， 所以“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的必要而不充分条件． 二、由等比数列构造新等比数列 问题2　结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？ 提示 等差数列 等比数列 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列 符号表示 an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋) ＝q(n≥2，n∈N＋) 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 类比 差⇒商；和⇒积，积⇒乘方 性质 等差数列首项a1，公差d 等比数列首项a1，公比q 把等差数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以q为公比的等比数列 等差数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以md为公差的等差数列 等比数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以qm为公比的等比数列 等差数列中每一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中每一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列 两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列 知识梳理　 1．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． 2．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. 3．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续2n(n∈N＋)项的和都是0，故不能构成等比数列． 例2　如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　取等比数列an＝n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误； 对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质． 反思感悟　由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q<0的情况． 跟踪训练2　(多选)等比数列{an}和函数f(x)满足a1＝1，f(n)＝an，则以下数列也为等比数列的是(　　) A．bn＝f(2n) B．bn＝f  C．bn＝(f(n))2 D．bn＝f(n2) 答案　AC 解析　由题意知，数列{an}为等比数列，设其公比为q，则an＋1＝qan. 对于A，bn＝f(2n)＝a2n，则bn＋1＝a2n＋2， 所以bn＋1＝q2bn，b1＝a2＝q，所以数列{bn}是首项为q，公比为q2的等比数列，故A正确； 对于B，当n为奇数时，不为整数，无意义，故B错误； 对于C，bn＝(f(n))2＝a，则bn＋1＝a＝q2a＝q2bn，b1＝a＝1， 所以数列{bn}是首项为1，公比为q2的等比数列，故C正确； 对于D，bn＝f(n2)＝，则bn＋1＝＝q2n＋1bn， 因为q2n＋1不为常数，故D错误． 三、等比数列中项与项之间的关系及应用 问题3　你能根据等差数列里面的an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示　类比可得an＝amqn－m.推导过程：由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，两式相除可得＝＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m. 问题4　你能根据等差数列里面的am＋an＝ak＋al，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N＋，类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示　类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N＋. 推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1， 所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝aqm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝aqk＋l－2， 因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal. 知识梳理　 1．等比数列通项公式的推广和变形：an＝amqn－m. 2．设数列{an}为等比数列，则 (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． 注意点： (1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则amanap＝axayaz. 该性质要求等号两边下标的和相等，且等号两侧项数相同． (2)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝…. 例3　(1)在等比数列{an}中： ①已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n； ②已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an. 解　设等比数列{an}的公比为q. ①由得q＝. 再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36，得a3＝32， 则an＝a3·qn－3＝32×n－3＝n－8＝， 所以n－8＝1，所以n＝9. ②由a5＝8，a7＝a5·q2＝2，得q2＝. 因为an>0，所以q＝， 所以an＝a5·qn－5＝8×n－5＝n－8. (2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． 解　方法一　设前三个数分别为，a，aq， 则·a·aq＝216， 所以a3＝216， 所以a＝6. 因此前三个数为，6,6q. 由题意知第4个数为12q－6. 所以6＋6q＋12q－6＝12， 解得q＝. 故所求的四个数为9,6,4,2. 方法二　设后三个数为4－d，4,4＋d， 则第一个数为(4－d)2， 由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216， 解得4－d＝6. 所以d＝－2. 故所求的四个数为9,6,4,2. 反思感悟　(1)等比数列的通项公式及变形的应用 ①在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项． ②在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项． (2)利用等比数列的性质解题 ①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． ②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． (3)几个数成等比数列的设法 ①三个数成等比数列设为，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为 …，，，a，aq，aq2，…. ②四个符号相同的数成等比数列设为 ，，aq，aq3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为 …，，，，aq，aq3，aq5，…. ③四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 跟踪训练3　(1)已知等比数列{an}满足a1＋a5＋a9＝21，a4＋a8＋a12＝42，则a7等于(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案　B 解析　设数列{an}的公比为q， 则a4＋a8＋a12＝(a1＋a5＋a9)q3， 即21q3＝42，解得q＝. 因为a1＋a5＋a9＝a1(1＋q4＋q8)＝21a1＝21， 所以a1＝1，则a7＝a1q6＝8. (2)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________． 答案　45 解析　设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 即 整理得解得 因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45. 1．知识清单： (1)等比数列的通项公式与函数的关系． (2)由等比数列构造新的等比数列． (3)等比数列项与项之间的关系及应用． 2．方法归纳：公式法、类比法、定义法、分类讨论法． 3．常见误区： (1)构造新的等比数列易忽视有等于0的项． (2)四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况． 1．等比数列{an}中，首项a1<0，则数列{an}是递增数列的充要条件是公比q满足(　　) A．q>1 B．q<1 C．0<q<1 D．q<0 答案　C 解析　由等比数列的函数特征可知，首项a1<0，公比q满足0<q<1⇔数列{an}是递增数列． 2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 答案　D 解析　记{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，A项中，a＝(a1·q2)2≠a1·a9＝a·q8，故A项说法错误； B项中，a＝(a1·q2)2≠a2·a6＝a·q6，故B项说法错误； C项中，a＝(a1·q3)2≠a2·a8＝a·q8，故C项说法错误； D项中，a＝(a1·q5)2＝a3·a9＝a·q10，故D项说法正确． 3．已知数列{an}为各项都是正数的等比数列，a＝9a1·a9，则等于(　　) A．3 B. C. D. 答案　D 解析　设正项等比数列{an}的公比为q， 由a＝9a1·a9， 得(a1q5)2＝9a1·a1q8， 即q2＝9， 而q>0，解得q＝3， 所以＝＝＝. 4．若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当＋取最小值时，数列{an}的公比是________． 答案　2 解析　设正项等比数列{an}的公比为q， 因为a1a5＝4，所以由等比数列的性质可得a2a4＝4， 因此＋≥2＝2， 当且仅当＝，即＝q2＝4，即q＝2(负值舍去)时，等号成立． 所以数列{an}的公比是2.　 　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3等于(　　) A．4 B. C. D．2 答案　A 解析　由等比数列的性质可得a＝a9a3，得a3＝4. 2．已知等比数列{an}的公比为q，则“a1>0且q>1”是“{an}为递增数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　在等比数列中，当a1>0且q>1时，{an}为递增数列，故充分性成立；当a1<0且0<q<1时，{an}也为递增数列，故必要性不成立．故“a1>0且q>1”是“{an}为递增数列”的充分而不必要条件． 3．在等比数列{an}中，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a50的值为(　　) A．10 B．16 C．±4 D．4 答案　C 解析　依题意，得a1·a99＝16，而a1·a99＝a， 所以a50＝±4. 4．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 答案　C 解析　当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列． 5．等比数列{an}的公比q满足|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18,36,81}中，则q等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　∵{an}中的项必然有正有负，∴q<0.又|q|>1，∴{|an|}单调递增． 由此可得{an}中的连续四项为－24,36，－54,81. ∴q＝－. 6．在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为(　　) A．4 B．4或 C．6或 D．6 答案　B 解析　设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为. 由a，，20成等差数列，得2×＝a＋20. 整理得a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5. 当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4. 当a＝5时，插入的两个数的和为a＋＝. 7．(5分)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________. 答案　－ 解析　因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，所以＋＋＋＝＝÷＝－. 8．(5分)已知，是等比数列{an}图象上的两点，则an＝________. 答案　3×n－1 解析　方法一　由等比数列与函数的关系，可设过，的函数解析式为y＝A·qx(A为常数，Aq≠0)， 则解得 ∴y＝6×x. 故an＝6×n＝3×n－1. 方法二　由题意知a2＝，a5＝， ∴q3＝＝， ∴q＝， ∴an＝a2·qn－2＝×n－2＝3×n－1. 9．(10分)已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值． 解　∵{an}为等比数列， ∴a1·a9＝a3·a7＝64. 又∵a3＋a7＝20， ∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4. ①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4， 此时a11＝a3q8＝4×42＝64. ②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝， 此时a11＝a3q8＝16×2＝1. 10．(12分)已知数列{an}是一个各项均为正数，且单调递增的等比数列，其前4项之积为16，第2项与第3项之和为5，求这个等比数列的前4项． 解　方法一　设这个等比数列的前4项分别为a，aq，aq2，aq3， 由题意，得即 将②式平方后除以①式，得＝， 整理得4q2－17q＋4＝0，解得q＝4或q＝. 因为{an}为各项均为正数，且单调递增的等比数列， 所以a>0，q>1，即q＝4，a＝.所以这个等比数列的前4项分别为，1,4,16. 方法二　根据数列{an}是一个各项均为正数的等比数列， 可设这个数列的前4项分别为，，aq，aq3.其中aq>0，公比为q2. 由题意，得解得或 或或 又因为数列{an}单调递增， 所以q2>1，即或所以这个等比数列的前4项分别为，1,4,16. 11．(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是(　　) A．q>1⇒{an}为递增数列 B．{an}为递增数列⇒q>1 C．0<q<1⇔{an}为递减数列 D．q>1D⇒/{an}为递增数列且{an}为递增数列D⇒/q>1 答案　ABC 解析　若a1＝－2，q＝2>1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…，是递增数列，则q＝<1，B不正确，D正确；若a1＝－16，q＝∈(0,1)，则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，C不正确． 12．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于(　　) A．±2 B．±4 C．2 D．4 答案　C 解析　∵T13＝4T9， ∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9， ∴a10a11a12a13＝4. 又∵a10a13＝a11a12＝a8a15， ∴(a8a15)2＝4， ∴a8a15＝±2. 又∵{an}为递减数列， ∴q>0，∴a8a15＝2. 13．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1(i＝1,2，…)的矩形面积，则{An}为等比数列的充要条件为(　　) A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 答案　D 解析　因为Ai是边长为ai，ai＋1(i＝1,2，…)的矩形面积，所以Ai＝aiai＋1(i＝1,2，…)， 则数列{An}的通项为An＝anan＋1.根据等比数列的定义， 数列{An}为等比数列的充要条件是＝＝＝q(常数)． 14．(5分)已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________． 答案　4 解析　设数列{an}的公比为q(q>0)，∵a2·a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2，又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，∴＝－3(舍去)或＝2，即q＝，a1＝8.又an＝a1qn－1＝8×n－1＝n－4，∴an·an＋1·an＋2＝3n－9>，即23n－9<9，∵n∈N＋， ∴n的最大值为4. 15．(5分)已知三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于____________． 答案　28 解析　依题意设原来的三个数依次为，a，aq. ∵·a·aq＝512，∴a＝8. 又第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列， ∴＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0， 解得q＝2或q＝， ∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4. ∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28， ∴原来的三个数的和等于28. 16．(12分)设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值范围．(6分) 解　(1)设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1. 由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3， 所以64q＝30＋8q2， 解得q＝或q＝(舍去)， 所以an＝8×n－1＝24－n，n∈N＋. (2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n， 由bn＞bn＋1， 得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n， 即λ＜n＋1(n∈N＋)， 所以λ＜(n＋1)min＝2， 故实数λ的取值范围为(－∞，2)． 学科网（北京）股份有限公司 $