1.3.1—1.3.2 等比数列及其通项公式 等比数列与指数函数-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

1.3　等比数列 1.3.1　等比数列及其通项公式 1.3.2　等比数列与指数函数 1.等比数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数,那么这个数列称为等比数列.这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0). (2)等比数列定义的数学表达式为=q(n∈N+,q为非零常数). (3)等比数列的通项公式:an=a1qn-1. (4)在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am·an=ap·aq. (5)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),{},{},{an·bn},{}仍然是等比数列. [思考1] 由等比数列的定义式=q(q≠0),你能用累乘法求出用首项a1,公比q表示的通项公式吗?能用等比数列中任意一项am及公比q表示an吗? 提示:由=q知,当n≥2时,=q,=q, =q,…,=q,将以上各式两边分别相乘可得=qn-1,则an=a1qn-1.当n=1时,该等式的两边都是a1,所以an=a1qn-1. 由两式相除得=qn-m, 则an=am·qn-m,事实上该式为等比数列通项公式的推广. 2.等比中项 (1)在两个数a,b之间插入数G,使a,G,b成等比数列,则G称为a与b的等比中项.其中,G2=ab. (2)在等比数列{an}中,若m+n=2k(m,n,k∈N+),则am·an=. 3.等比数列与指数函数 (1)等比数列的通项公式可整理为an=·qn,而f(x)=·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数y=qx的乘积,从图象上看,表示数列{·qn}中的各项的点是函数y=·qx的图象上的孤立点. (2)等比数列的单调性. 公比q 单调性 首项a1 q>1 0<q<1 q=1 q<0 a1>0 递增 数列 递减 数列 常 数列 摆动 数列 a1<0 递减 数列 递增 数列 [思考2] 等比数列通项公式an=a1qn-1是关于n的指数型函数吗? 提示:不一定.如当q=1时,an是关于n的常数函数. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)满足an+1=qan(n∈N+,q为常数)的数列{an}为等比数列.(　×　) (2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.(　×　) (3)如果一个数列的每一项与它的前一项的比是一个常数,那么这个数列是等比数列.(　×　) (4)常数列a,a,a,a,…一定是等比数列.(　×　) (5)任何两个实数都有等比中项,且其等比中项有两个.(　×　) 2.已知等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是(　D　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 3.在等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则a5 等于(　C　) A.5 B.±5 C.4 D.±4 　等比数列的概念与等比中项 [例1] (1)已知1既是a2与b2的等比中项,又是与的等差中项,则的值是(　　) A.1或 B.1或- C.1或 D.1或- (2)判断下列数列是否为等比数列. ①1,3,32,33,…,3n-1,…; ②-1,1,2,4,8,…; ③a1,a2,a3,…,an,…. (1)解析:由题意得a2b2=(ab)2=1,+=2, 所以或 因此==1或-.故选D. (2)解:①记此数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,…. 因为==3(n≥2,n∈N+), 所以此数列为等比数列,且公比为3. ②记此数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…, 因为=-1≠=2, 所以此数列不是等比数列. ③当a=0时,数列为0,0,0,…,是常数列,不是等比数列; 当a≠0时,数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a. 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法:若数列{an}满足=q(q为常数且不为零)或=q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列. (2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=·qn(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列. (3)等比中项法:若=anan+2(n∈N+且an≠0),则数列{an}为等比数列. [变式训练1] (1)(多选题)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么(　　) A.b=-3 B.ac=9 C.ac=-9 D.b=3 (2)(多选题)(2022·江苏连云港高二检测)已知在等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-2,则(　　) A.数列{2an+an+1}是等比数列 B.数列{an+1-an}是等比数列 C.数列{anan+1}是等比数列 D.数列{log2|an|}是递减数列 解析: