第1章 1.2.1 等差数列及其通项公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦等差数列的概念、通项公式及等差中项核心知识点，从生肖纪年、冬奥会时间等生活实例引入，通过问题链引导观察数列特征抽象概念，再用归纳与累加法推导通项公式，辅以例题与跟踪训练构建梯度学习支架。 资料以生活实例培养学生用数学眼光观察现实世界，通过归纳与累加法推导公式发展数学思维，例题与练习帮助用数学语言表达规律。课中助力教师问题驱动教学，课后梯度练习助学生巩固应用，有效查漏补缺。

1．2.1　等差数列及其通项公式 [学习目标]　1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题． 导语 我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，连续5个龙年的年份为2024，2036，2048，2060，2072.观察这个数列，你能算出下一个龙年是哪一年吗？ 一、等差数列的概念 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022； (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…； (3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？ 提示　对于(1)，我们发现2010－2006＝4，2014－2010＝4，2018－2014＝4，2022－2018＝4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．对于(2)有44－45＝－1，….对于(3)有10－10＝0，以上数列有同样的取值规律． 知识梳理 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 注意点： (1)概念的符号表示：an＋1－an＝d(n∈N＋)． (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (3)差必须是同一个常数． (4)公差可以是正数、负数、零． 例1　判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d. (1)1，3，5，7，9，…； (2)9，6，3，0，－3，…； (3)1，3，4，5，6，…； (4)7，7，7，7，7，…； (5)1，，，，，…. 解　(1)是，a1＝1，d＝2.(2)是，a1＝9，d＝－3.(3)不是．(4)是，a1＝7，d＝0.(5)不是． 反思感悟　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列． 跟踪训练1　(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16 C.，，1，， D．－3，－2，－1，1，2 答案　ABC 解析　由等差数列的定义得， A项d＝0，故是等差数列； B项d＝3，故是等差数列； C项d＝，故是等差数列； D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列． 二、等差数列的通项公式 问题2　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…， 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d. 思路二：a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， …， an－an－1＝d(n≥2)， 把这n－1个等式相加得an－a1＝(n－1)d， 由此得到an＝a1＋(n－1)d. 知识梳理 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 例2　在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an. 解　(1)由题意知 解得 (2)设等差数列的公差为d，由题意知 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N＋. 反思感悟　等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个，那么就可以由通项公式求出第四个，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． 跟踪训练2　已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89. (1)求该数列的通项公式与项数； (2)－51是不是该数列的项？如果是，是第几项？ 解　(1)因为a1＝1，d＝－1－1＝－2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋3. 由－2n＋3＝－89，得n＝46. (2)由(1)知，an＝－2n＋3，令－51＝－2n＋3， 得n＝27. 所以－51是该数列的项，是第27项． 三、等差中项 问题3　由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示　由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2. 知识梳理 在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项． 注意点： (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即M＝. (3)a3是a1和a5的等差中项，特别注意序号之间的关系． 例3　(1)若a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知a，b的等差中项为 ×＝×(－＋＋)＝. (2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解　因为－1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项， 则b＝＝3， 又a是－1与3的等差中项， 所以a＝＝1. 又c是3与7的等差中项， 所以c＝＝5.所以该数列为－1，1，3，5，7. 反思感悟　若a，M，b成等差数列，则M＝；反之，由M＝也可得到a，M，b成等差数列，所以M是a，b的等差中项⇔M＝. 跟踪训练3　已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m－n和2n－m的等差中项是(　　) A．8 B．6 C．4.5 D．3 答案　D 解析　∵m＋2n＝8，2m＋n＝10， ∴3m＋3n＝18，∴m＋n＝6， ∴2m－n和2n－m的等差中项是 ＝＝3. 1．知识清单： (1)等差数列的概念． (2)等差数列的通项公式． (3)等差中项． 2．方法归纳：方程组法(基本量法)． 3．常见误区：定义忽略“从第2项起”． 1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 答案　C 解析　由等差数列的定义，得d＝－2. 2．已知等差数列－5，－2，1，…，则该数列的第20项为(　　) A．52 B．62 C．－62 D．－52 答案　A 解析　公差d＝－2－(－5)＝3， a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52. 3．若a，b是方程x2－2x－3＝0的两根，则a，b的等差中项为(　　) A．－1 B．－ C．1 D. 答案　C 解析　因为a，b是方程x2－2x－3＝0的两根，所以a＋b＝2.所以a，b的等差中项为＝1. 4．在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝________. 答案　16 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则由a2＝2，a5＝8，得 解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16. 　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 答案　ABD 解析　A，B，D项满足等差数列的定义， 是等差数列； C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列． 2．35是数列3，5，7，9，…的(　　) A．第16项 B．第17项 C．第18项 D．第19项 答案　B 解析　数列3，5，7，9，…的通项为2n＋1， 由2n＋1＝35，得n＝17， 所以35是数列3，5，7，9，…的第17项． 3．已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于(　　) A．90 B．96 C．98 D．100 答案　D 解析　由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100. 4．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　) A．15 B．22 C．7 D．29 答案　A 解析　设数列{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意得 解得 所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15. 5．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵b是x，2x的等差中项， ∴b＝＝， 又∵x是a，b的等差中项， ∴2x＝a＋b， ∴a＝，∴＝. 6．在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2(n＋1)2 B．an＝4(n＋1) C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1) 答案　A 解析　由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列， 所以＝2＋(n－1)＝n＋， 故an＝2(n＋1)2. 7．(5分)在等差数列{an}中，a5＝9，且2a3＝a2＋6，则a1＝________. 答案　－3 解析　设数列{an}的公差为d， 则 解得 8．(5分)设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a＋b＝________. 答案　2 解析　∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项， ∴2ln 3＝ln 9a＋ln 3b， ∴ln 32＝ln(9a·3b)＝ln 32a＋b， ∴32＝32a＋b， ∴2a＋b＝2. 9．(10分)在等差数列{an}中， (1)已知a5－a3＝12，a12＝20，求a1和d；(4分) (2)已知a1＝9，公差d＝－2，an＝－15，求n；(3分) (3)已知a3＝9，a9＝3，求{an}的通项公式．(3分) 解　(1)因为a5－a3＝12，所以公差d＝6. 由a12＝a1＋11d＝20，所以a1＝－46， 故a1＝－46，d＝6. (2)由an＝a1＋(n－1)d，得－15＝9－2(n－1)，解得n＝13. (3)由已知可得解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝11－(n－1)＝－n＋12. 10．(12分)在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7. (1)求数列的第10项；(4分) (2)112是数列{an}的第几项？(4分) (3)80到110之间有多少项？(4分) 解　设数列{an}的公差为d， 则解得 (1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25. (2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39. 所以112是数列{an}的第39项． (3)由80<3n－5<110， 解得28<n<38， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项． 11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设an＝－24＋(n－1)d，n∈N＋， 由解得<d≤3. 12．正数a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　由题意可知，a＋b＝1， α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5， 当且仅当a＝b＝时，取等号． 13．(5分)若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，则数列{an}的通项公式为________． 答案　an＝2n 解析　由题意知 ∴ 解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n. 14．(5分)已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为________． 答案　等边三角形 解析　由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b，① 由，，成等差数列得＋＝2， ② 由②2－①得2＝2b，即b2＝ac， 由①平方得a2＋2ac＋c2＝4b2， 将b2＝ac代入得a2＋2ac＋c2＝4ac， 即(a－c)2＝0，得a＝c. 又a＋c＝2b， ∴2a＝2b， ∴a＝b， ∴a＝b＝c. ∴△ABC 是等边三角形． 15．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝4，a3＝9，且{an＋1－an}是等差数列，则a6等于(　　) A．36 B．37 C．38 D．39 答案　A 解析　因为a2－a1＝3，a3－a2＝5，所以(a3－a2)－(a2－a1)＝2， 又{an＋1－an}是等差数列，故首项为3，公差为2， 所以an＋1－an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 所以a6＝(a6－a5)＋(a5－a4)＋…＋(a2－a1)＋a1＝11＋9＋7＋5＋3＋1＝36. 16．(12分)已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式．(6分) 解　(1)设等差数列{an}的公差为d. 由题意得， 解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…， a2n＝2×2n＝4n. 当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. ∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列． ∴bn＝4＋4(n－1)＝4n. 学科网（北京）股份有限公司 $